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我们知道，二级债券市场上的债券成交，都是以债券的到期收益率（或行权收益率）为谈判标的。图2-9是某一天的二级债券成交明细。
图2-9 债券报价
资料来源：Wind.
从图2-9中我们可以看出，成交价都以到期收益率为标的，而不是债券净价或全价。原因很容易理解：如果以净价为交易标的，你还得自己再倒算到期收益率，还不如直接以到期收益率为标的进行谈判及成交，更为直接方便。
此外，债券的结算价格以及你的盈亏，都是以债券价格（尤其是净价，因为应计利息是确定性的）为计算基准的。收益率多1个基点或少1个基点，对债券净价，乃至整个结算金额，有什么影响呢？
当然，一种最容易想到的方法是通过收益率去计算净价和全价，然后再计算结算金额。收益率多几个基点或少几个基点，也可以利用这个方法算出来。
例2-6 直接计算债券损益
假设在2018年2月1日上午，你买入3000万元面值的17国开15（170215），成交明细如下：
债券代码：170215
结算日：2018/2/1
成交面值：3000万元
成交收益率：5.06%
成交净价：93.8786元
成交全价：95.7488元
结算金额：28724641.48元
当天下午，170215的收益率上涨到5.10，即上涨4个基点。你的头寸估值亏损多少？如果止损，实现亏损多少？
最简单粗暴的方法就是通过最新收益率再倒算债券净价及全价：
面值：3000万元
收益率：5.10%
成交净价：93.5929元
成交全价：95.4632元
结算金额：28638956.62元
每百元面值的全价（净价）波动=95.4632-95.7488=-0.2856（元）
与买入价差额：28638956.62-28724641.48=-85684.86（元）
因此，估值亏损85684.86元；如果卖出，会实现同样的亏损。■
这种使用收益率再计算债券价格的方法固然没错，但是太过复杂烦琐，不利于投资决策。投资经理需要通过心算就能知道，自己的头寸估值盈亏和买卖盈亏，只有这样才能快速决策。
我们需要一种速算法，对于任何一只债券，收益率每变动1个基点或几个基点，都能迅速知道对应价格的变化，从而能够粗略计算出你的头寸盈亏情况。
于是，久期的概念应运而生。
按照定义，久期指的是收益率每变动1个基点，债券全价的百分比变动。用公式表示就是：
㊀ 在久期的公式中，之所以使用收益率双向波动来计算平均值，是因为收益率向上和向下的波动，对于债券价格的影响是不一样的，因此一般采用上下波动并取平均值的办法。
式中Δ y ——收益率的变动，如1个基点就是0.01%；
V 0 ——债券初始全价；
V - ——收益率下降Δ y 时，对应的债券全价；
V + ——收益率上升Δ y 时，对应的债券全价。
假设在2018年2月1日，170215的久期是7.473。也就是说，收益率变动1个基点，170215的债券全价反向变动7.473×0.01%=0.0743%。
例2-7 使用久期速算债券损益
在上述例子中，170215的收益率从5.06上涨至5.10，即上涨4个基点。
170215的久期为7.473，则：
每百元面值的价格百分比变动=7.473×0.04%=0.2989%
每百元面值的价格的绝对值变动=0.2989%×95.7488=0.2862（元）
这与之前使用传统方法计算出来的85684.86元相差178.83元，误差在0.2%左右，足够精确。
注：在上述计算中，均假设先进行计算，再四舍五入。■
由于债券价格与收益率变动是反向关系（收益率上升时，债券价格下降），因此按照公式，久期应该是个负数。但是市场约定俗成，不说正负号，久期直接就是一个正数，大家心里知道就行了。使用久期计算的时候，公式是这样：
债券价格的百分比变动=-久期×收益率的百分比变动
使用久期去速算当然很方便！不过，使用久期进行速算，其实内含了一个假设。再去看久期的公式：
实际上，久期假设债券收益率与价格是线性关系：
债券价格的百分比变动=-久期×收益率的百分比变动
实际上，根据我们上面的叙述，债券价格 P 是收益率 y 的多项式函数（负次方），而不是线性函数：
P = f （ y ）
如果学过微积分，我们都知道，当收益率 y 变动在很小的范围内时（一般当日市场的收益率波动也不会很大），可以使用线性函数去近似拟合多项式函数（见图2-10）。
图2-10 债券收益率与价格关系
如图2-10所示，实际的债券价格 P 与收益率 y 的图形是曲线，使用久期来进行速算，实际上是使用直线（线性关系）来替代曲线求解近似值。当收益率变动Δ y 较小时，误差很小。
但是当收益率变动比较大时，只用久期的线性函数去求近似解，误差就比较大了。这时候，凸性就派上用场了。
简单说，久期是用一次方函数（线性函数、直线）去近似真实的“债券价格-收益率”曲线，而凸性是二次方函数，使用“久期+凸性”组合成一个二次方函数去近似真实的“债券价格-收益率”曲线，误差就更小了。或者说，凸性是对久期速算的一种误差调整。这时候，债券价格变动的速算公式变成了这样：
式中
——债券全价的百分比变动；
Δ y ——收益率变动；
D ——久期；
C ——凸性。
具体这个公式的推导，我相信大部分读者是不感兴趣的，大家只要记住就好了。具体的推导过程在后面的章节中有介绍。
例2-8 各类债券损益速算方法的比较
假设在2018年2月1日上午，你买入3000万元面值的17国开15（170215），成交明细如下：
债券代码：170215
结算日：2018/2/1
成交面值：3000万元
成交收益率：5.06%
成交净价：93.8786元
成交全价：95.7488元
结算金额：28724641.48元
当天下午，170215的收益率大幅上涨了50个基点至5.56%。估值亏损多少？
通过收益率再倒算债券净价及全价：
收益率：5.56%
成交净价：90.3845元
成交全价：92.2547元
结算金额：27676415.36元
每百元面值的全价（净价）波动=92.2547-95.7488=-3.4941（元）
与买入价差额：27676415.36-28724641.48=-1048226.12（元）
因此，估值亏损1048226.12元；如果卖出，会实现同样的亏损。
通过久期进行速算：
170215的久期：7.473
每百元面值的价格百分比变动=7.473×0.50%=3.7365%
每百元面值的价格的绝对值变动=3.7365%×95.7488=3.5777（元）
与实际的亏损1048226.12元相差25070元，误差为2.39%。
通过“久期+凸性”的组合进行速算：
170215的久期 D ：7.473
170215的凸性 C ：70.4827
每百元面值的价格百分比变动：
-7.473×0.50%+0.5×70.4827×（0.50%） 2 =3.6484%
每百元面值的价格的绝对值变动=3.6484%×95.7488=3.4933（元）
与实际的亏损1048226.12元相差237.32元，误差为0.02%。
我们可以看出，当收益率变动幅度较小时，使用久期进行估算是足够精确的，误差不大。但是当收益率变动幅度较大时，使用久期估算的误差就比较明显了，这时候使用“久期+凸性”的组合进行估算，能够明显缩小估算误差。久期方法就好比是牛顿理论体系，适用于物体低速运动的情形，而“久期+凸性”的方法就好比是爱因斯坦的理论体系，同时适用于物体的低速和高速运动情形。
注：在上述计算中，均假设先进行计算，再四舍五入。■
凸性的一大特点是：久期相同时，凸性越大越好。凸性越大，当利率下行时价格上升越多，而利率上行时价格下跌越少，即“涨多跌少”。我们从“债券价格-收益率”曲线上可以很明显看出区别（见图2-11）。
图2-11 债券凸性
延伸阅读2-2 久期及凸性的推导公式
债券价格与到期收益率的关系公式如下：
式中 P ——债券净价；
AI——债券的应收利息；
y ——债券的到期收益率。
如果用一般性函数表示债券净价 P 与到期收益率 y 之间的关系，则是：
P = f （ y ）
其中， f （ ）是个多项式函数。
根据泰勒公式：
则：
式中Δ y ——债券到期收益率的变动（%）；
——久期的相反数
-D
；
——凸性
C
。
因此，债券价格的变化（应收利息不变，且应收利息占比较小，因此可以近似认为是净价的变化）：
久期 D 就是价格对收益率的一次导数，凸性 C 是价格对收益率的二次导数。■
久期的久有几种写法
上面详述了如何使用久期进行债券价格变动的速算，但是没有回答一个问题：久期如何计算？
久期的概念最早于1938年由麦考利（Macaulay）提出。麦考利提出久期的概念时，可不是为了计算“债券价格-收益率”的敏感性，而是为了衡量所有现金流的加权期限，它是一个时间的概念。从久期的英文duration就能看出，它最初是为了衡量一只债券平均（加权的概念）多长时间能收回所有现金流。因此，有的时候你会听到有些人把久期说成××年。
实际上，麦考利久期是最没有用的久期，几乎可以忽略不计。你知道了一只债券的现金流的加权剩余期限是4.3年，又能得到什么信息呢？只不过由于出现的最早，名气还是在那儿的。
根据定义，麦考利久期的计算公式如下：
式中 CF n ——债券的第 n 笔现金流；
t n ——第 n 笔现金流的期限；
PV（CF n ）——第 n 笔现金流的贴现值，使用到期收益率进行贴现；
P ——债券的全价。
既然麦考利久期的意义不大，为什么还要提它呢？这是因为，一个更有用的久期——修正久期，可以通过麦考利久期进行计算。
式中 y ——债券的到期收益率；
f ——每年付息次数。
修正久期是对麦考利久期的修正，它就有点用处了。它表示债券价格百分比变动对收益率变动的相对值，可以用作速算。
目前中债登提供的估值数据都是估值修正久期。
修正久期有一个重要的假设：其预期的未来现金流不会随着收益率变化而变化。这个前提假设，对于不含权的债券是没有问题的。但是对于含权债或者浮息债，包括资产支持证券（ABS），这个假设并不成立。这时候就需要用到有效久期了。
有效久期真有效！不管什么情况下，使用有效久期肯定没错！
因为有效久期就是按照久期的定义而来的，指的就是债券价格百分比变动对收益率变动的敏感性。
对于含权债，市场收益率水平的变动可能对未来发行人或投资人行使权利的可能性产生影响，进而影响其现金流的估计。对于资产支持证券（ABS）就更明显了，如住房抵押贷款的支持证券（MBS），收益率的变动会对贷款人的提前还款行为产生明显影响，从而影响其未来的现金流，进而影响对新的收益率下的债券价格（ V - 或者 V + ）。
那么，究竟该如何计算有效久期呢？公式如下：
在修正久期的计算中，收益率的变动Δ
y
只会影响未来现金流的贴现值
，不会对现金流本身产生影响。而有效久期所针对的含权债及资产支持证券，收益率的变动Δ
y
不但影响未来现金流的贴现值，还会影响现金流本身（现金流的时间、金额，都可能会影响）。在这种情况下，最常用也最精确的就是使用简单的蒙特卡罗模拟。
（1）模拟收益率变动下的各种不同利率路径。
（2）估计在不同利率路径下的债券的现金流。
（3）现金流贴现得出债券价格（ V - 或者 V + ）。
（4）通过久期的公式进行计算。