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当买入一笔债券时，我们究竟要依据什么来确定这笔买入是否划算呢？一个简单的方法就是：如果买入这笔债券，我能够获取多少年化收益？这就是债券的到期收益率（yield-to-maturity，YTM）。当你买入一笔债券时，这笔买入的到期收益率就是：当你持有这只债券至到期时，你所能获得的年化收益率。
到期收益率是债券交易中最重要的一个指标。所有的债券交易，均以到期收益率作为讨价还价的依据，并根据到期收益率成交。具体交割时，再根据到期收益率计算债券净价及全价。
到期收益率，顾名思义，就是买方如果一直持有这只债券至到期，所获得的收益率（年化）。到期收益率与票面利率不同，因为债券的成交净价不一定是票面价值100元。
如上所述，债券的到期收益率指的是，以某个结算价格成交的债券，持有至到期的整个期间，投资人所获得的年化收益率。或者说，到期收益率是这样的一个内部收益率（IRR），使得这只债券所有的未来现金流根据到期收益率进行贴现，恰好等于债券当前的成交全价。
对于每年付息一次的固定利率债券而言，其全价与到期收益率之间的关系如下：
式中 PV——贴现值（present value）；
Cash Flow i ——第 i 笔现金流；
y ——到期收益率；
t i ——第 i 笔现金流的日期距离计算日的时间（在实际计算中，实际天数/每年实际天数）。
当然，实际上到期收益率的计算要稍微复杂一点，需要考虑付息频率的问题。
延伸阅读2-1
对于不处于最后付息周期的固定利率债券，到期收益率按复利计算。外汇交易中心公布的其前台交易系统的到期收益率计算公式为：
式中 PV——债券全价；
C ——票面年利息；
f ——年付息频率；
y ——到期收益率；
d ——债券结算日至下一最近付息日之间的实际天数；
TS——本期付息的实际天数；
n ——结算日至到期兑付日的债券付息次数；
M ——债券面值。
如果是贴现债或者处于最后付息周期的固定利率债券，则使用单利去计算到期收益率：
式中 y ——到期收益率；
FV——到期兑付日债券本息之和；
PV——债券全价；
D ——债券结算日至到期兑付日的实际天数；
TY——当前计息年度的实际天数，算头不算尾。■
上述公式比较复杂，很难通过债券价格直接计算到期收益率。最常用的方法是通过试错法计算到期收益率：先给定一个初始到期收益率（如4%），计算债券全价，再比较计算结果与目标全价的大小，再逐步调整到期收益率，逐步缩小计算出的全价与目标全价之间的误差，从而得出足够精确的到期收益率 y 。这种方法就是数学上的牛顿迭代法。
我知道，你对上面的公式早已感到厌烦了。你只需要记住以下四点就行了：
（1）债券价格（全价或者净价）与到期收益率是反向关系。价格越高，收益率越低，反之亦然。
（2）债券价格 P 是到期收益率 y 的多项式函数（负次方）： P = f （ y ）。
（3）由债券全价计算到期收益率，是通过试错法。
（4）债券价格 P 与到期收益率 y 的图像（见图2-4）。
图2-4 债券价格-收益率曲线图
当你在债券二级市场买入一只债券时，其实际的买入标的是到期收益率，而不是票面利率。如两只同样剩余期限的债券（不考虑其他因素），一只票面利率是4%，另外一只是5%，如果成交的到期收益率都是4.5%，对你而言，这两只大体是一样的，区别不大（不考虑税收因素）。只不过在具体的债券净价上会略有不同。
一般来说，当你购入的债券净价大于面值100元时，你为此付出了额外的成本（超过面值100元的部分，即所谓的溢价）。因此买入的到期收益率低于票面利率。反之亦然（见表2-1）。
表2-1 到期收益率与净价之间的关系
例2-2 折溢价计算
假设在2018年1月30日，180402的成交收益率为4.85%，对应的成交净价99.9167元，则折价=100-99.9167=0.0833元。
如果成交收益率为4.80%，对应的成交净价100.0526元，则溢价=100.0526-100=0.0526元。■
实际上，在债券二级市场成交的债券，很难凑巧是按照净价100元成交的，绝大部分都有折价或者溢价，反映的是到期收益率随利率市场而波动。
在进行投资收益的测算时，票息的部分是确定的，很容易计算。但是对于折溢价该如何处理？如果置之不理，最大的问题是到这只债券还本付息时，会出现一笔较大的投资亏损或投资收益，对利润形成很大的干扰。
例2-3 折溢价的影响
假设在2018年1月30日，你买入一笔5000万元面值的16上药01（代码：136198．SH），成交明细如下：
债券：16上药01（代码：136198.SH）
票面利率：2.98%
到期日：2019/1/26
交易日：2018/1/30
交割日：2018/1/31
成交净价：97.9530元
成交收益率：5.15%
成交面值：5000万元
则这只债券的折价=100-97.9530=2.0470元
如果在持有期间按照票面利率2.98%计提利息，而不考虑折价的摊销，则在到期日（2019/1/26）时，发行人按照100元的面值兑付，投资人一次性获得2.0470元的折价收入。这对2018年及2019年的利润影响较大（2018年利润较小，而2019年则利润较大）。■
按照权责发生制的会计准则，折价产生的收益，以及溢价产生的亏损，应在买入债券的开始日至到期日就逐步摊销（见图2-5），以免到期日一次性兑付对利润造成的大幅波动。折溢价的摊销方式，一般采用实际利率法。
例2-4 折溢价的摊销
假设在2018年5月28日，你买入5年期国家开发银行债180204，T+1日交割，成交收益率为4.31%，成交净价为101.6068元，180204的票面利率为4.69%（见表2-2）。
图2-5 债券的折溢价摊销
表2-2 180204基本要素
可见180204为溢价买入，溢价金额为1.6068元。如果持有至到期，则需要在剩余的4.82年中，逐步将溢价金额摊销至0，且摊销金额计入当年的利润亏损。表2-3是摊销的现金流表。
表2-3 180204摊销现金流（单位：元）
在到期日，整个溢价金额摊销完毕，账面价值等于面值。■
到期收益率固然很好很强大，但是对含权债，到期收益率是一个非常不可靠的指标，可能让投资人误入歧途。而行权收益率对于含权债而言，是个更具参考意义的指标。
具有双向选择权的含权债
具有双向选择权的含权债的原始期限，一般是A+B型。在A年后附发行人的赎回权、调整票面利率选择权以及投资者的回售权。对于发行人的调整票面利率选择权，有的条款规定是既可以上调也可以下调，还可以不调，有的条款规定是只可以上调或者不调。
如图2-6所示，15闽高速（代码：122431．SH）的基本条款如下。
图2-6 15闽高速基本要素
资料来源：Wind.
这只债券的票面利率为3.53%，期限是3+2年，附第3年年末发行人调整票面利率选择权、发行人赎回选择权和投资者回售选择权。
如果按照到期收益率去评估这笔交易，则意味着你假设在3年后，发行人不选择赎回且保持利率不变，并且投资者不选择回售。这种假设是否合理？
例2-5 行权收益率与到期收益率
假设在2016年10月21日，你以估值净价102.2489元买入15闽高速（代码：122431．SH），到期收益率是2.8952%（2020年8月11日到期，剩余期限3.8年），而行权收益率只有2.2362%（行权日为2018年8月11日，剩余期限1.8年），如图2-7所示。
图2-7 15闽高速试算截图
如果发行人福建发展高速公路股份有限公司在2018年8月11日前想行使赎回权，则投资人所获得的真实收益就是行权收益率，只有区区的2.2362%。
对于这只债券，行权收益率明显低于到期收益率：买入净价溢价2.2489元，需要从买入日开始到债券到期日（或者回售日）逐步摊销至0，逐步实现摊销亏损。因此，剩余到期日越短，年化亏损越多；也就是说，按照行权日，这2.2489元的溢价要在剩余1.8年内摊销完毕。
反之，如果当前净价是折价成交，行权收益率就会大于到期收益率。■
永续债
永续债的原始期限是A+N型，永续债中包含的选择权都是发行人的权利，而投资人是没有选择的。因此，所谓的行权收益率，是指发行人行权情况下的到期收益率，这对投资人而言是非常不利的。投资永续债时，需要考虑发行人行权的可能性。
永续债条款中促使发行人赎回的条款主要是利率调升条款。但是，发行人是否如所设想的那样行使赎回权，主要取决于两点：
（1）利率调升幅度是否足够？
（2）发行人是否出现融资困难，以至于愿意以更高的调升利率去延续这只债券？
如15森工集MTN001（代码：101560002．IB）这只永续债，其基本条款如下（见图2-8）。
图2-8 15森工集MTN001基本要素
资料来源：Wind.
在3年后，如果发行人选择不赎回，则利率跳升300个基点。
2018年1月29日，发行人中国吉林森林工业集团有限责任公司发布公告，决定不赎回这只债券。
因此，对于含权债，首先要看选择权（主动权）在发行人还是投资人，相比于到期收益率，行权收益率更有参考意义。
我们知道，二级债券市场上的债券成交，都是以债券的到期收益率（或行权收益率）为谈判标的。图2-9是某一天的二级债券成交明细。
图2-9 债券报价
资料来源：Wind.
从图2-9中我们可以看出，成交价都以到期收益率为标的，而不是债券净价或全价。原因很容易理解：如果以净价为交易标的，你还得自己再倒算到期收益率，还不如直接以到期收益率为标的进行谈判及成交，更为直接方便。
此外，债券的结算价格以及你的盈亏，都是以债券价格（尤其是净价，因为应计利息是确定性的）为计算基准的。收益率多1个基点或少1个基点，对债券净价，乃至整个结算金额，有什么影响呢？
当然，一种最容易想到的方法是通过收益率去计算净价和全价，然后再计算结算金额。收益率多几个基点或少几个基点，也可以利用这个方法算出来。
例2-6 直接计算债券损益
假设在2018年2月1日上午，你买入3000万元面值的17国开15（170215），成交明细如下：
债券代码：170215
结算日：2018/2/1
成交面值：3000万元
成交收益率：5.06%
成交净价：93.8786元
成交全价：95.7488元
结算金额：28724641.48元
当天下午，170215的收益率上涨到5.10，即上涨4个基点。你的头寸估值亏损多少？如果止损，实现亏损多少？
最简单粗暴的方法就是通过最新收益率再倒算债券净价及全价：
面值：3000万元
收益率：5.10%
成交净价：93.5929元
成交全价：95.4632元
结算金额：28638956.62元
每百元面值的全价（净价）波动=95.4632-95.7488=-0.2856（元）
与买入价差额：28638956.62-28724641.48=-85684.86（元）
因此，估值亏损85684.86元；如果卖出，会实现同样的亏损。■
这种使用收益率再计算债券价格的方法固然没错，但是太过复杂烦琐，不利于投资决策。投资经理需要通过心算就能知道，自己的头寸估值盈亏和买卖盈亏，只有这样才能快速决策。
我们需要一种速算法，对于任何一只债券，收益率每变动1个基点或几个基点，都能迅速知道对应价格的变化，从而能够粗略计算出你的头寸盈亏情况。
于是，久期的概念应运而生。
按照定义，久期指的是收益率每变动1个基点，债券全价的百分比变动。用公式表示就是：
㊀ 在久期的公式中，之所以使用收益率双向波动来计算平均值，是因为收益率向上和向下的波动，对于债券价格的影响是不一样的，因此一般采用上下波动并取平均值的办法。
式中Δ y ——收益率的变动，如1个基点就是0.01%；
V 0 ——债券初始全价；
V - ——收益率下降Δ y 时，对应的债券全价；
V + ——收益率上升Δ y 时，对应的债券全价。
假设在2018年2月1日，170215的久期是7.473。也就是说，收益率变动1个基点，170215的债券全价反向变动7.473×0.01%=0.0743%。
例2-7 使用久期速算债券损益
在上述例子中，170215的收益率从5.06上涨至5.10，即上涨4个基点。
170215的久期为7.473，则：
每百元面值的价格百分比变动=7.473×0.04%=0.2989%
每百元面值的价格的绝对值变动=0.2989%×95.7488=0.2862（元）
这与之前使用传统方法计算出来的85684.86元相差178.83元，误差在0.2%左右，足够精确。
注：在上述计算中，均假设先进行计算，再四舍五入。■
由于债券价格与收益率变动是反向关系（收益率上升时，债券价格下降），因此按照公式，久期应该是个负数。但是市场约定俗成，不说正负号，久期直接就是一个正数，大家心里知道就行了。使用久期计算的时候，公式是这样：
债券价格的百分比变动=-久期×收益率的百分比变动
使用久期去速算当然很方便！不过，使用久期进行速算，其实内含了一个假设。再去看久期的公式：
实际上，久期假设债券收益率与价格是线性关系：
债券价格的百分比变动=-久期×收益率的百分比变动
实际上，根据我们上面的叙述，债券价格 P 是收益率 y 的多项式函数（负次方），而不是线性函数：
P = f （ y ）
如果学过微积分，我们都知道，当收益率 y 变动在很小的范围内时（一般当日市场的收益率波动也不会很大），可以使用线性函数去近似拟合多项式函数（见图2-10）。
图2-10 债券收益率与价格关系
如图2-10所示，实际的债券价格 P 与收益率 y 的图形是曲线，使用久期来进行速算，实际上是使用直线（线性关系）来替代曲线求解近似值。当收益率变动Δ y 较小时，误差很小。
但是当收益率变动比较大时，只用久期的线性函数去求近似解，误差就比较大了。这时候，凸性就派上用场了。
简单说，久期是用一次方函数（线性函数、直线）去近似真实的“债券价格-收益率”曲线，而凸性是二次方函数，使用“久期+凸性”组合成一个二次方函数去近似真实的“债券价格-收益率”曲线，误差就更小了。或者说，凸性是对久期速算的一种误差调整。这时候，债券价格变动的速算公式变成了这样：
式中
——债券全价的百分比变动；
Δ y ——收益率变动；
D ——久期；
C ——凸性。
具体这个公式的推导，我相信大部分读者是不感兴趣的，大家只要记住就好了。具体的推导过程在后面的章节中有介绍。
例2-8 各类债券损益速算方法的比较
假设在2018年2月1日上午，你买入3000万元面值的17国开15（170215），成交明细如下：
债券代码：170215
结算日：2018/2/1
成交面值：3000万元
成交收益率：5.06%
成交净价：93.8786元
成交全价：95.7488元
结算金额：28724641.48元
当天下午，170215的收益率大幅上涨了50个基点至5.56%。估值亏损多少？
通过收益率再倒算债券净价及全价：
收益率：5.56%
成交净价：90.3845元
成交全价：92.2547元
结算金额：27676415.36元
每百元面值的全价（净价）波动=92.2547-95.7488=-3.4941（元）
与买入价差额：27676415.36-28724641.48=-1048226.12（元）
因此，估值亏损1048226.12元；如果卖出，会实现同样的亏损。
通过久期进行速算：
170215的久期：7.473
每百元面值的价格百分比变动=7.473×0.50%=3.7365%
每百元面值的价格的绝对值变动=3.7365%×95.7488=3.5777（元）
与实际的亏损1048226.12元相差25070元，误差为2.39%。
通过“久期+凸性”的组合进行速算：
170215的久期 D ：7.473
170215的凸性 C ：70.4827
每百元面值的价格百分比变动：
-7.473×0.50%+0.5×70.4827×（0.50%） 2 =3.6484%
每百元面值的价格的绝对值变动=3.6484%×95.7488=3.4933（元）
与实际的亏损1048226.12元相差237.32元，误差为0.02%。
我们可以看出，当收益率变动幅度较小时，使用久期进行估算是足够精确的，误差不大。但是当收益率变动幅度较大时，使用久期估算的误差就比较明显了，这时候使用“久期+凸性”的组合进行估算，能够明显缩小估算误差。久期方法就好比是牛顿理论体系，适用于物体低速运动的情形，而“久期+凸性”的方法就好比是爱因斯坦的理论体系，同时适用于物体的低速和高速运动情形。
注：在上述计算中，均假设先进行计算，再四舍五入。■
凸性的一大特点是：久期相同时，凸性越大越好。凸性越大，当利率下行时价格上升越多，而利率上行时价格下跌越少，即“涨多跌少”。我们从“债券价格-收益率”曲线上可以很明显看出区别（见图2-11）。
图2-11 债券凸性
延伸阅读2-2 久期及凸性的推导公式
债券价格与到期收益率的关系公式如下：
式中 P ——债券净价；
AI——债券的应收利息；
y ——债券的到期收益率。
如果用一般性函数表示债券净价 P 与到期收益率 y 之间的关系，则是：
P = f （ y ）
其中， f （ ）是个多项式函数。
根据泰勒公式：
则：
式中Δ y ——债券到期收益率的变动（%）；
——久期的相反数
-D
；
——凸性
C
。
因此，债券价格的变化（应收利息不变，且应收利息占比较小，因此可以近似认为是净价的变化）：
久期 D 就是价格对收益率的一次导数，凸性 C 是价格对收益率的二次导数。■
久期的久有几种写法
上面详述了如何使用久期进行债券价格变动的速算，但是没有回答一个问题：久期如何计算？
久期的概念最早于1938年由麦考利（Macaulay）提出。麦考利提出久期的概念时，可不是为了计算“债券价格-收益率”的敏感性，而是为了衡量所有现金流的加权期限，它是一个时间的概念。从久期的英文duration就能看出，它最初是为了衡量一只债券平均（加权的概念）多长时间能收回所有现金流。因此，有的时候你会听到有些人把久期说成××年。
实际上，麦考利久期是最没有用的久期，几乎可以忽略不计。你知道了一只债券的现金流的加权剩余期限是4.3年，又能得到什么信息呢？只不过由于出现的最早，名气还是在那儿的。
根据定义，麦考利久期的计算公式如下：
式中 CF n ——债券的第 n 笔现金流；
t n ——第 n 笔现金流的期限；
PV（CF n ）——第 n 笔现金流的贴现值，使用到期收益率进行贴现；
P ——债券的全价。
既然麦考利久期的意义不大，为什么还要提它呢？这是因为，一个更有用的久期——修正久期，可以通过麦考利久期进行计算。
式中 y ——债券的到期收益率；
f ——每年付息次数。
修正久期是对麦考利久期的修正，它就有点用处了。它表示债券价格百分比变动对收益率变动的相对值，可以用作速算。
目前中债登提供的估值数据都是估值修正久期。
修正久期有一个重要的假设：其预期的未来现金流不会随着收益率变化而变化。这个前提假设，对于不含权的债券是没有问题的。但是对于含权债或者浮息债，包括资产支持证券（ABS），这个假设并不成立。这时候就需要用到有效久期了。
有效久期真有效！不管什么情况下，使用有效久期肯定没错！
因为有效久期就是按照久期的定义而来的，指的就是债券价格百分比变动对收益率变动的敏感性。
对于含权债，市场收益率水平的变动可能对未来发行人或投资人行使权利的可能性产生影响，进而影响其现金流的估计。对于资产支持证券（ABS）就更明显了，如住房抵押贷款的支持证券（MBS），收益率的变动会对贷款人的提前还款行为产生明显影响，从而影响其未来的现金流，进而影响对新的收益率下的债券价格（ V - 或者 V + ）。
那么，究竟该如何计算有效久期呢？公式如下：
在修正久期的计算中，收益率的变动Δ
y
只会影响未来现金流的贴现值
，不会对现金流本身产生影响。而有效久期所针对的含权债及资产支持证券，收益率的变动Δ
y
不但影响未来现金流的贴现值，还会影响现金流本身（现金流的时间、金额，都可能会影响）。在这种情况下，最常用也最精确的就是使用简单的蒙特卡罗模拟。
（1）模拟收益率变动下的各种不同利率路径。
（2）估计在不同利率路径下的债券的现金流。
（3）现金流贴现得出债券价格（ V - 或者 V + ）。
（4）通过久期的公式进行计算。