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第3章
场的计算和强电场中的击穿效应 [1,5,8]

3.1 静电场、恒定电场与磁场的边值问题

50 场的边值问题

均匀媒质内的静电场、恒定电场与磁场的分析都可归结为求解相应的电位函数 φ ,磁位函数 φ m 和磁矢位函数 A 的拉普拉斯方程或泊松方程。将求满足给定边界条件的位函数的拉普拉斯方程或泊松方程的解的问题称为场的边值问题,它有唯一的解答。

51 泊松方程与拉普拉斯方程

电位函数 φ 满足泊松方程:

在电荷体密度 ρ =0的区域, φ 满足拉普拉斯方程:

Δ 2 φ =0

磁位函数 φ m 满足拉普拉斯方程:

Δ 2 φ m =0

磁矢位函数 A 满足泊松方程:

Δ 2 A = J

在电流密度 J =0的区域, A 满足拉普拉斯方程:

Δ 2 A =0

52 位函数的定解条件

(1)场域边界上的边界条件,分别称为第一、二、三类边界条件:1)给定边界上的位函数值 φ = f s );2)给定位函数在边界上的法向导数值 ;3)前两者的线性组合 f 2 s )。

(2)两种不同媒质的分界面上的衔接条件

1)电位函数 φ 的衔接条件

2)磁位函数 φ m 的衔接条件

3)磁矢位函数 A 的衔接条件

53 边值问题的求解方法

(1)直接积分的方法 当场源与场域的形状比较简单,位函数仅是一个坐标的函数,所求解的泊松方程和拉普拉斯方程为二阶的常微分方程,可采用直接积分的方法求解。

(2)分离变量法 当位函数是两个或三个坐标的函数,但场域的边界与所选择的坐标系中坐标面相吻合时,常采用分离变量法:先将待求的位函数如 φ x y z )分离成两个或三个各自仅含一个坐标的函数的乘积,组成 φ x y z )= X x Y y Z z ),把它代入场方程,借助“分离常数”可得每一变量的常微分方程,并分别求得其通解,然后组合成偏微分方程的通解,再由边界条件决定分离常数与积分常数,得到位函数的解。

(3)复位函数法 能用来处理场域边界的几何形状比较复杂的问题,如椭圆,多角形截面的电极、偏芯电缆、电机气隙及波导等电磁场问题。它是利用复变函数中解析函数的实部与虚部在复平面 Z 的某一区域 D 内都满足拉普拉斯方程的特性,当所求解的二维拉普拉斯场域边界与某一解析函数的图形一致时,则此解析函数的实部或虚部就是所求位函数的解。

(4)保角变换法 是利用解析函数 W = f Z )的保角变换特性,将 Z 平面上的边界形状较复杂的场域 D ,以对应的几何方式变换到边界形状较为简单的 W 平面,求解后再反变换到 Z 平面,获得原问题的解。

(5)镜像法 是边值问题中的一种间接求解法,其理论依据是场的唯一性定理。镜像法的基本原理是在求解的场域之外用虚设的镜像电荷或镜像电流等效替代边界上复杂分布的感应电荷、极化电荷或磁化电流等,只要求解区在等效前后满足同一边值问题,则其解答是唯一的。应用镜像法的关键是找到镜像电荷或电流的位置与大小。注意点是解答适用的区域。

54 静电场与恒定电场和磁场的类比法

在边值问题的分析计算中,根据位场解答的唯一性定理可以采用类比法,即不论位函数的物理意义是否相同,只要它们具有相似的场方程和相似的边值条件,则它们的解答在形式上必完全相似。因而在理论计算和实验研究时可以把某一位场的分析计算及实验结果根据对应关系推广到相同边值问题的其他位场中去。对于由拉普拉斯方程所描述的静电场、恒定电场和磁场,其基本关系式和物理量之间的类比关系见表2.3-1和表2.3-2。

表2.3-1 导体内(无源部分)恒定电场与 ρ =0区域静电场间的比拟

表2.3-2 ρ =0区域静电场与 J =0区域恒定磁场间的类比

3.2 静电场的数值计算与调整

55 电气工程中的静电场

相对于观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场称为静电场。在工程上绝大多数电气设备上的电压变化缓慢,设备尺寸远小于相应电磁波的波长。因此,设备上任一瞬间的电场可以按静电场来分析。

电气工程中的电场分布常常是相当复杂的。为了检查电介质中的最大电场强度是否超过临界场强,也为了选择电极形状和绝缘结构,工程上常需要算出电介质中的最大电场强度。高压静电场的计算方法,可分为分析计算法和数值计算法两大类。

56 静电场的数值计算法

大体分为两大类:1)以微分方程式的形式出现,以离散整个场域为特征,有有限差分法和有限元法;2)以积分方程式的形式出现,以离散边界为特征,有模拟电荷法、表面电荷法和边界元法。另外,还有一种利用统计方法的蒙特卡洛法。

(1)有限差分法 将电场空间划分成适当的网格(常用等步距正交网格),空间节点上的电位为未知数。应用差分原理,用各节点电位的差商来近似替代该点的偏导数,并利用电极上电位为已知的边界条件,把求解电场的偏微分方程转化为一组相应的差分方程组。解方程,就得到空间各点的电位,由电位梯度可求得电场强度。

(2)有限元法 根据变分法中的欧拉理论,求解静电场拉普拉斯方程的定解问题与求解静电场能量为最小的极值问题等效。将电场空间划分成有限个单元(二维场为小面积,三维场为小体积),假设单元内的电位可用简单关系式给出,从而可将静电场的能量表示成有限个节点电位的函数。使电场能量 W 取得最小值的条件是 W 对各节点电位 φ i 的导数为0,即 ,便可建立对电位的方程组。

与差分法相比,有限元法的程序编制及数据输入要繁杂得多,但对电极形状复杂和多种介质的电场处理方便,在提高计算精度方面有较大的灵活性。

(3)模拟电荷法 根据叠加原理和静电场的唯一性定理,将实际上连续分布在电极表面的电荷用置于电极内部的有限个离散的假想电荷(模拟电荷)来替代,这些模拟电荷共同产生的电场与原电场相同。以模拟电荷的电荷量为未知数,在电极表面上适当位置取与模拟电荷数目相等的轮廓点,模拟电荷群在这些轮廓点上产生的电位应等于电极电位,列出方程组。解方程组,求得各个模拟电荷的电荷量。接着,根据所求得的模拟电荷,就可求出空间任一待求点的电位和电场。

模拟电荷法不需要通过电位的梯度求电场,因而能获得较高的电场精度。但设置模拟电荷凭经验,并且对于薄电极的情况不易处理。

(4)表面电荷法 表面电荷法的计算步骤与模拟电荷法类似。将电极表面划分成适当的小块,并设各小块内的电荷密度为一定值。以电荷密度为未知数,在电极表面上取与电荷小块数目相等的轮廓点,利用轮廓点的电位等于电极电位的关系,列出方程组,求出各小块的电荷密度,从而计算场域内任一待求点的电位和电场。

与模拟电荷法相比,表面电荷法程序复杂,计算时间长,但可以处理薄层电极和多层介质的界面问题,可以与模拟电荷法混合使用。

(5)边界元法 边界元法是以边界积分方程式和有限元离散手法为基础的一种方法,分为直接法和间接法两种。采用直接法计算时,对于无空间电荷区域,将某一闭合边界划分成 N 个单元,并假设各单元的电位 φ 的分布。于是,边界上的 φ q 值就可用各节点 i 的值 φ i q i (作为未知变量)表示出来。以 N 个常数单元为例,可对 N 个节点建立 N 个方程。虽然变量 φ i q i 共有2 N 个,但对于每个节点, φ i q i 中总有一个是以边界条件给出的已知数,所以一共只有 N 个未知数,可以求出边界上全部节点的 φ i q i 。从而可用边界积分算出区域内任一点的电位。

与表面电荷法相比,边界元法可取任意曲面为边界,而前者只能取电极表面和介质分界面为边界。

(6)蒙特卡洛法 运用概率理论来求解静电场的一种方法。基于描述质点作随机游动时增益期望的方程与泊松方程的差分格式有相同的数学描写,并适合已知的边界条件。根据解答的唯一性,用统计试验方法求出质点作随机游动时增益的期望,即为所求静电场电位的数值解。

蒙特卡洛法适用于只需计算个别点的电场的情况,对于需要计算整个电场分布的问题,则不如前面几种方法。

57 电场的测量

从原理上区分,电场测量方法大体可分为两大类:1)测定相近两点的电位差从而求得电位梯度;2)检测与电场有关的物理量,直接指示出电场值或电场分布。前类测量中常用静电探针;后类测量又可分为电气方法和光学方法两种。

电气方法中的检测量有感应电荷、电场力、离子电流等;基于介质的电光效应,光学方法利用光折射率随电场线性变化(波克斯效应)或随电场二次方变化(克尔效应)的介质-偏振片系统,做得能使透光强度随电场作线性或非线性变化的传感器,测定介质中的电场分布。

58 强电场的产生与调整

工程上,分析解决高压电场问题的主要目的,是在特定的电压和绝缘条件下,如何使最高电场强度不超过规定值。

(1)边缘效应与尖端效应 导体表面的电场强度,与其表面电荷密度成正比。在电极的边缘或尖端,因其曲率半径最小,表面电荷密度最大,电场强度最高,容易发生局部放电。这种现象称为边缘效应与尖端效应。所以,不论电极处于高电位还是接地,必须改善电极形状,避免曲率半径过小或出现尖端。

(2)均匀电场与不均匀电场 电场强度的大小和方向在各处都相同的电场称为均匀电场,如平板电容器极板中间部分的电场,其他情况统称不均匀电场。按不均匀程度的差别,常分为稍不均匀电场和极不均匀电场。前者如球间隙不大于球半径的球隙电场;后者如棒-板间隙的电场。棒对棒间隙的电场是对称的不均匀场,但比棒-板间隙的电场要均匀些。间隙距离相同时,电场愈不均匀,击穿电压愈低。而电气设备中的电场多为不均匀电场,为了提高绝缘结构的电气强度,必须设法减少其不均匀度。

3.3 气体放电和电介质击穿现象

59 气体中的火花放电

在大气压下,在强电场作用下使气体击穿。若电源的功率不太大,则产生火花放电,放电时伴有爆裂声。由于气体击穿后,电流猛增,电源功率不够,电压下降,放电暂时熄灭,待电压恢复后再行放电,因此,火花放电具有间歇性。

火花放电是最常见的一种放电。雷电也是一种火花放电。若其他条件不变,则火花放电的击穿电压取决于电极间距离。高电压技术中常采用测量两个球形电极间产生火花时的距离来测定高电压。

火花放电过程是由电子崩发展到流注等几个阶段所组成的。

(1)电子崩 在外施电压下,气体中的带电粒子沿电场方向加速,当与气体原子相碰撞时,可能使其电离而产生新的电子和正离子。电子的质量小,比起正离子容易积累动能,碰撞电离能力强。因此,碰撞电离可以看成主要是由电子引起的。新形成的电子和原有电子一起又沿电场加速,碰撞电离产生更多的电子和正离子。在高场强下,带电粒子如高山雪崩那样急剧增多的现象称为电子崩。

电子沿电场方向行经单位距离时若发生 α 次碰撞电离,则当沿电场行经距离 s 时,电子总数将为e αs

(2)从流注到火花放电 在大气压下,由于空气密度大,电子崩产生后形成的空间电荷不易扩散,使原电场发生畸变,崩内电场削弱,电子和正离子的复合增强;而复合过程中发生的短波光引起周围气体产生光电离,此处新形成的电子又处于局部加强了的电场作用下,更易碰撞电离而出现许多新的电子崩(二次崩)。二次崩与初崩的汇合,组成了充满正负带电粒子的混合通道,此即流注。形成流注的条件是e αs ≥10 8 。流注通道的直径虽仅零点几毫米,但导电性能良好,其发展速度比电子运动速度(10 7 cm/s)要大1~2个数量级,这即流注理论。

在均匀电场中,一旦出现流注,即形成贯穿整个间隙的火花放电。在不均匀电场中,流注先局限在场强较大的电极附近,当电压再高,才会有贯穿整个间隙的火花放电。

当间隙距离相当长时,间隙内弱电场区较宽,流注通道伸展到一定距离后就停滞下来,在火花放电形成前先出现先导放电。间隙中如出现先导放电,则平均火花放电场强度显著降低,使长间隙的平均放电电压远低于短间隙的。

(3)放电迟延 气体间隙形成火花放电,不仅需要足够的场强,还需一定的电压作用时间(放电迟延时间):1)统计时延 指从电压上升至放电电压的瞬间起,到出现能产生碰撞电离的有效电子所经的时间;2)放电形成时延 指有效电子出现到形成间隙火花放电的时间。均匀电场中,放电迟延较小;在极不均匀电场中放电形成时间较长,且分散性也大。

因此,当电极布置及距离一定时,均匀电场中的冲击、工频、直流电压下的火花放电电压相近、分散性也小,而不均匀场中的冲击放电电压比工频、直流的高得多。

(4)极性效应 在棒-板等不均匀电场中,气隙放电表现出明显的极性效应。这是因为棒极附近的电场强度很高,而远离棒极的区域,电场强度要低得多,因此局部放电首先发生在棒极附近。电子崩产生后迅速形成空间电荷,由于正离子运动慢,正空间电荷出现在棒极附近。根据棒极性不同,空间电荷对放电的影响是不同的。

无论是直流或冲击电压下,当棒极为正时,间隙的火花放电电压较低。同样,工频电压下的火花放电发生在当棒极为正半周时,峰值接近于正极性时的直流放电电压值。

(5)压力效应 空气间隙的火花放电电压与气体压力有关。当气压下降后,电子在两次碰撞间所经的平均自由行程增大,从电场获得的动能增多;碰撞电离能力增强,火花放电电压降低。因而在高海拔地区,每升高1km,放电电压约降低10%。

在真空度高于10 -2 Pa时,放电电压很高,且与真空度关系不大;但若真空度<10 -2 Pa,则放电电压急剧下降。这是因为高真空间隙中,电子平均自由行程比间隙大得多,很难直接由气体电离引起火花放电,但真空间隙在一定电压下仍会发生放电现象,放电电压受很多因素的影响,分散性很大。

高气压下,电子的平均自由行程短,碰撞电离困难,因而间隙的火花放电电压高。在均匀或稍不均匀电场中,当气压在1MPa以下时,压缩空气的放电电压几乎随气压线性增大。

60 真空中气体的辉光放电

在气体压强较低(约133Pa)的条件下,当两极间的电压增加到一定数值时,气体被击穿,出现图2.3-1的特性。图中 CF 段称为辉光放电。图中 DE 段称为正常辉光放电,这时随着电流的增加,分子的碰撞电离也加剧,气体的电导随电流正比增加,从而使 U = I/G 约为常数。当电流继续增加时,电导不再增加,图中 EF 段称为异常辉光放电。当电流到达 F 点时,电压又突然下降,辉光放电过渡到弧光放电。

图2.3-1 辉光放电的特性曲线

辉光放电时,气体中有特殊的亮区和暗区。极间电压集中在阴极附近极窄区域内。而且电压不随电流变化,有稳压特性。辉光放电用于日光灯、霓虹灯等。其稳压特性可用做氖稳压管。近年来气体辉光放电技术广泛应用于晶体及非晶体半导体薄膜技术以及各种化学真空淀积(CVD)技术中。

61 电晕放电

在极不均匀电场的空气间隙中,随外施电压升高,曲率半径较小的电极表面附近的场强将首先达到引起空气电离的值,并在满足形成流注的条件后,形成自激导电并发光,称为电晕放电。电晕放电时,气体的电离和发光只在带电体表面周围形成电晕层,在电晕层外不发生电离。当电压增大时,有可能过渡到火花放电。

导线表面附近发生电晕放电时,伴随有较大的噪声及无线电干扰。电晕和无线电干扰的电平,主要取决于导线表面场强的大小。对于非高海拔地区的输电线路,一般以场强28kV/cm(峰值)为控制值。导线表面状态对电晕放电也有很大影响,往往使用一段时间后,表面突出点会减少,干扰明显下降。电晕放电往往是高压输电线线路损失的主要原因。

电晕放电也可以利用。例如避雷针是利用电晕放电,使导体上的电荷逐渐漏失。

62 气体中的沿面放电

指固体(或液体)介质与气体同处于电场中时,常发生的沿介质分界面的气体放电。当沿面放电到达另一电极时为闪络。因受固体介质表面状态、形状等因素的影响,闪络电压总是低于(最多等于)相同电极结构、相同距离的纯气体间隙的火花放电电压。图2.3-2所示的绝缘结构是各式绝缘结构中闪络电压最低的。

图2.3-2 几种绝缘结构的沿面电场分布

a)均匀电场

b)、c)不均匀电场、电力线与分界面平行

d)不均匀电场、电力线与分界面斜交

沿面放电与固体介质表面的电场分布有很大关系。

(1)均匀电场 电力线与分界面平行,见图2.3-2a。由于固体介质表面电阻的不均匀,使闪络电压降低。

(2)不均匀电场 1)电力线与分界面平行,见图2.3-2b、c,放电过程包括电晕、刷形放电、闪络几个阶段,闪络电压接近于相同电极布置的空气间隙的火花放电电压;2)电力线与分界面垂直,见图2.3-2d,其特点是具有很大的垂直于介质表面的电场法线分量,例如套管式电缆终端的近法兰处、电机线棒出槽处、平板电容器极板边缘处等,这种结构的闪络电压比电力线与界面平行时低得多,放电阶段明显,往往经电晕、刷形放电而形成滑闪放电最终导致闪络。滑闪放电对有机绝缘的损伤特别明显,必须采用防止的措施。

防止表面滑闪放电的方法有:1)减小绝缘结构的表面比电容值,如加大具有空腔的套管在法兰处的直径,在电缆终端处增绕绝缘使直径加大等;2)电力线不斜入介质,如法兰紧靠裙边,使此处电力线只经过单一介质(瓷体),而不经过空气后再斜入固体介质;3)在场强最集中处涂半导体漆,如高压电机绝缘线棒出槽口处,涂后可改善电场的分布;4)在电极附近加均压环,如电容式套管中的均压极板,可改善沿面电压分布。

63 弧光放电

通常产生弧光放电的方法是使两极接触后随即分开,由于短路产生的焦耳热,使阴极表面温度升得很高,产生热电子发射;此外,正离子撞击阴极产生二次电子发射;阴极表面附近极窄区域内形成的强电场产生场致发射。这些因素使得放电电流很大,产生几千摄氏度甚至上万摄氏度的高温。伴随弧光放电有强烈的光辉。

弧光放电用于闪光灯、光谱电源、冶炼、焊接及高熔点金属切割等。但是,大电流电路开关断开会产生弧光,必须采取灭弧措施。

64 液体电介质的击穿规律

(1)击穿过程 工程用液体介质总含有少量气体和杂质,使其击穿场强远低于纯净的液体介质。例如变压器油(以下简称油)中若含气泡,在外施交变电压下,气泡中分配到的场强比油中场强高,而气泡的击穿场强却低得多,这导致气泡先电离,温度升高、体积膨胀,形成的带电粒子又促使旁边的油分解。这样逐步扩大了的气泡容易在电极间排成“小桥”,导致击穿。

电力设备中的油又常含有纤维,尤其是那些含潮的纤维很容易在电极间排成杂质小桥,使电场畸变、局部场强增高,促使油分解出气体,最后在气体通道中先击穿。

(2)油中沿面放电 油中沿固体介质表面的闪络与气体中沿面闪络很相似。当电力线与分界面平行时,油中沿面闪络电压随极间距离而增大,在固体介质吸潮后降低。试验指出,工频下的闪络电压与纯油间隙时的击穿电压相近;当电力线与分界面斜交时,与气体中相似,在很低交变电压下就出现滑闪放电,闪络电压很低。

(3)油-屏障绝缘 工程用油不可避免地会含有杂质。为减小杂质的影响,提高油间隙的击穿电压,在油隙中常采用油-屏障绝缘,如覆盖层、绝缘层、屏障等。在图2.3-3b中,在不均匀电场中曲率半径小的电极上,覆盖零点几毫米以下的电缆纸、塑料薄膜或涂以绝缘漆膜,叫覆盖层,它能阻止杂质“小桥”的形成。在图2.3-3c中,当纸和薄膜在曲率半径小的电极上包到几毫米以上时称绝缘层,它不但起着覆盖层的作用,并能承受部分电压。在图2.3-3d中,在油间隙中放置比电极形状稍大、厚度为1~3mm的绝缘筒或板作为极间屏障,用以阻止杂质“小桥”的形成。在断路器和变压器中广泛采用油-屏障或覆盖加屏障,见图2.3-3e。当油隙愈小,油的击穿场强愈高,为此,高压电力变压器中采用多层屏障,见图2.3-3f。

图2.3-3 油-屏障绝缘示意图

a)纯油间隙 b)覆盖 c)绝缘 d)屏障 e)覆盖+屏障 f)多层屏障

1—覆盖层 2—绝缘层 3—屏障

65 固体电介质的击穿规律

击穿形式主要有电击穿、热击穿及电化学击穿等。

(1)电击穿 在强电场中固体介质的导带中可能因冷发射或热发射而存在少量电子,这些电子一面在外电场作用下被加速获得动能,一面与晶格振动相互作用而激发晶格振动。当电子从电场获得的能量大于损失给晶格振动的能量时,电子的动能就不断增大,在大到一定值后,电子与晶格振动的相互作用将导致电离产生新电子,自由电子迅速增多、电流剧增,发生电击穿。电击穿在很短暂电压下就可能发生,击穿电压高。

(2)热击穿 在交变电场中,固体介质因介质损耗等产生的热量使其温度升高;随着温度的上升,往往介质损耗及发热更大,如散热跟不上,热平衡将被破坏而温度不断增高,最终使最热处的介质局部熔化、烧焦而热击穿。与电击穿相比,热击穿往往在较长时间电压作用下发生,击穿电压较低,且与环境温度、散热条件等有关。

(3)电化学击穿 是由局部放电引起的电、热和化学等因素的长期综合作用所致。例如高电压复合介质内部不可避免地含有气隙,气体的局部放电不但发热,且放电产生的带电粒子在电场下加速运动撞击介质表面,而且又分解出臭氧等氧化剂,引起介质劣化而导致击穿,对纸、薄膜等有机材料的危害很大。电化学击穿在更长期电压作用下形成,击穿电压远低于电击穿电压。

(4)电树枝化 电树枝化是固体介质在电场作用下的一种老化形式,在高电压聚合物介质中常见到这种气化了的俨如树枝状的放电痕迹。电树枝引发于介质内部电场最集中处的电子发射,当吸收足够的注入电子的能量后,聚合物产生间隙,其中发生局部放电而导致介质分解气体所形成的树枝通道,树枝化使击穿电压下降。

(5)电痕化 如电气设备暴露在高湿度和污秽环境下,固体介质表面能解离的污物在电场作用下由于漏电或局部放电而逐步在表面积累形成的导电通道。

(6)组合介质击穿 例如高压绝缘结构中常用的油纸组合介质,因纸纤维在油中起屏障作用,而纸中空隙又被油所填充,使其绝缘强度、特别是短时绝缘强度很高,可达1MV/mm以上。若用高质量塑料薄膜代替纸与油组合,可比油纸组合介质的绝缘强度更高;此外,不同介质的组合还可满足不同的要求。 us57bHD80S+hLB/mZBv22p4dX5jLMQZeEuUgCEcvMgAMmc9Tv2PcSfYFrkQ/T93b



第4章
电路 [1,6]

4.1 电路与电路定律

66 电路与电路模型

电路理论所涉及的电路是实际电路的数学模型,也称为电路模型。电路由理想电路元件(简称电路元件)和理想导线连接而成,电路元件是概括实际电路中主要物理过程的一种集中参数元件,理想导线在电路中不产生电场、磁场和能量损耗。

67 电路变量

电路中最基本的变量是电压 u t )、电流 i t )、电荷 q t )及磁链 Ψ t )。在线性电路中,通常用 u t )及 i t )作为基本变量。

在电路分析和计算中,当不能确定某两点之间电压的真实方向时,可假定电压的方向,称为电压的参考方向;当不能确定电流在元件或导线中真实流向时,可假定电流的方向,称为电流的参考方向。

68 电路元件

(1)电阻元件 二端电阻元件的端电压 u 与电流 i 有确定的代数关系。该函数关系在 u-i 坐标轴上的图形表示称为电阻的伏安特性。

(2)电容元件 二端电容元件的电荷 q 与电压 u 有确定的代数关系。该函数关系在 q-u 坐标轴上的图形表示称为电容的库伏特性。

(3)电感元件 二端电感元件的磁链 Ψ 与电流 i 有确定的代数关系。该函数关系在 Ψ-i 坐标轴上的图形表示称为电感的韦安特性。

(4)独立电源 是电路中的能量源或信号源,也是电路中产生响应的激励。独立电源有两种类型:1)电压源 为二端元件,当它接入任一电路后,无论流过的电流值为多少,其两端总保持规定的电压 u s t ),如果 u s t )是一个常数,则该电压源称为恒定电压源;2)电流源 也是一个二端元件,当它接入任一电路后,无论该电路的端电压为多少,而电流源流入该电路的电流总保持规定值 i s t )。

(5)受控电源 称为非独立电源,其电源参数 u s i s 不是独立量,而是电路中某处电压或电流的函数。受控电源有四种:电压控制电压源[VCVS],电流控制电压源[CCVS],电压控制电流源[VCCS],电流控制电流源[CCCS]。当受控源的控制系数是常数时,称为线性受控电源。

(6)耦合电感 两个相互耦合的电感线圈见图2.4-1,图中 M 为电感 L 1 L 2 的互感系数,简称互感。 L 1 L 2 加小黑点的端子称为同名端,或对应端。端口处电压、电流关系为

u 1 = L 1 [d i 1 / d t ]+ M [d i 2 / d t ]

u 2 = M [d i 1 / d t ]+ L 2 [d i 2 / d t ]

图2.4-1 耦合电感

(7)理想变压器 是二端口元件,图形符号见图2.4-2;端口处电压、电流关系为

图2.4-2 理想变压器

n —理想变压器一、二次的变比

(8)回转器 是二端口元件,图形符号见图2.4-3;端口处电压、电流关系为

图2.4-3 回转器

g —回转器的回转电导,有时也用回转电阻 r =1 /g 作为回转器的参数

(9)运算放大器 运算放大器简称运放,是一种电压放大器件。理想化的运放模型是一个多端电路元件,其图形符号见图2.4-4。图中端子1为倒向输入端,端子2为非倒向输入端,端子3为输出端。输出电压与输入电压的关系为

u 0 = A u + -u -)

式中 A ——运放的放大倍数。

图2.4-4 运算放大器

a)运算放大器的图形符号 b)运算放大器的受控源模型

69 基尔霍夫定律

基尔霍夫第一定律又称基尔霍夫电流定律(KCL);基尔霍夫第二定律又称基尔霍夫电压定律(KVL)。

(1)KCL 在电路中任何时刻,对任一节点,所有支路电流的代数和恒等于零。写为 =0,式中若流出节点的电流前面取“+”号,则流入节点的电流前面取“-”号,而电流是流出节点还是流入节点均按电流的参考方向来判断; l 为连接该节点的支路数。

(2)KVL 在电路中任何时刻,沿任一回路所有支路电压的代数和恒等于零,写为 =0。写该式时,首先需要任意指定一个绕行回路的方向。凡支路电压的参考方向与回路绕行方向一致者,在该式中此电压前面取“+”号;支路电压参考方向与回路绕行方向相反者,则前面取“-”号。式中 m 为包含在回路中的支路数。

70 电能与电功率

在一个端口(电路向外引出的一对端子)上,各物理量的参考方向见图2.4-5,则电功率 p = ui ,如果乘积为正值,为该端口所吸收的电功率。如果乘积为负值,则该端口实际发出电功率,其值为

图2.4-5 电功率

当电压、电流的单位分别取V和A时,电功率单位为W(瓦)。在 t 0 t 时间内对应电功率 p 的能量由下式计算:

当功率为恒定值 P 时,上式成为 W = P t-t 0 )。

4.2 正弦电流电路

71 正弦量的最大值、频率和相角

电路变量电压 u t )、电流 i t )均按同频率正弦时间函数变化的线性电路称为正弦电流电路。按正弦函数变化的电路变量称为正弦量。例如正弦电流 i t )定义为

式中 I m ——正弦电流的最大值或振幅(A)。

式(2.4-1)中的角度( ωt + ψ )称为正弦电流的相角或相位。 t =0时的相角 ψ 称为初相角,简称为初相。两个同频率正弦量的初相之差称为它们的相位差。相位差为零的两个正弦量,称之为同相。

相角在每秒中变化的弧度数称为角频率,以 ω (rad/s)表示,有以下关系:

式中 f ——频率(s -1 );

T ——周期。

线性电路在正弦电源作用下,稳态时电路中所有电压和电流都是同频率的正弦量。

72 正弦量的有效值和平均值

(1)有效值 与周期量的一个周期的平均效应相等的恒定量(直流量)称为周期量的有效值,又称方均根值。例如式(2.4-1)定义的正弦电流 i t )的有效值 I

交流电工设备中标称的额定电压、电流和许多交流仪表(电压表、电流表)的读数均为有效值。

(2)平均值 周期量的平均值是指一个周期内绝对值的平均值。例如式(2.4-1)定义的正弦电流 i t )的平均值 I a

73 波形因数与波顶因数

用来反映周期性交流量波形的性质:

波形因数 k f =有效值 / 平均值,

波顶因数 k c =最大值 / 有效值。

74 相量法(复数符号法)

是利用复数量来表示正弦量以求解正弦电流电路稳态响应的方法。由于在一个稳态正弦电流电路中各正弦量都是同频率的,所以分析时可暂时不考虑它们的角频率 ω ,只要以复数的模表示正弦量的有效值(或幅值),以复数的幅角表示正弦量的初相角,就能完全确定该正弦量。这种复数称为相量。其关系如下:

瞬时正弦量 相量

电流

电压

一个正弦量采用相量表示后,该正弦量的导数和积分也是相量。如采用相量 后,则

正弦电流电路KCL的相量形式为∑ I ·=0,KVL的相量形式为∑ U ·=0。

75 电路元件的电压、电流关系(VCR)与相量图

电阻、电容、电感、耦合电感的VCR及其相量图见表2.4-1。

表2.4-1 R C L M )的VCR的相量形式

①互感电压前的正负号可根据同名端以及指定的电流和电压的参考方向来判别。当施感电流的进端与互感电压的正极性端互为同名端时取正号,否则取负号。当耦合电感有公共端钮时,也可应用互感消去法先将含有互感的电路变换为无互感的电路,然后再进行分析。

76 复阻抗与复导纳

电阻、电感与电容串、并联的VCR、复阻抗或复导纳见表2.4-2。

4.3 三相正弦电流电路

77 对称三相电源

三个同频、等幅、依次的相位差相等的三个正弦电压源称为对称三相电源。它们依次称为A相、B相和C相,它们的表达式及其相量分别为

A相

B相

C相

式中, 。当 φ =120 ° 时称为正序(顺序);当 φ =-120 ° 时称为负序(反序);当 φ =0 ° (360 ° )时称为零序。除零序外,有 u A + u B + u C =0。

含有三个频率相同而相位各异的正弦电压源的电路,称为三相正弦电流电路。

表2.4-2 电阻、电感与电容的串联和并联

78 星形( )联结

三相电源和三相负载的星形联结,称 联结(三相三线制)和 联结(含虚线所示部分为三相四线制),见图2.4-6。虚线所示部分称为中性线(或零线),节点N、N 称为电源和负载的中性点。电源和负载之间的三条连接线称为端线, Z l 称为端线阻抗。

图2.4-6 (含虚线时 )联结

(1)相电压、线电压、相电流、线电流 图2.4-6中 是相电压; 是线电压; 是线电流; 是中线电流。不论电源或负载,在星形联结时有下列关系:

1)相电流就是线电流;

2)

3)

若无中性线,则 为零,即

4)不论有无中性线,都有下式关系

(2)对称三相星形电路的计算:由对称的三相电源,对称的三相负载(三个负载阻抗相等)和对称的三相输电线路(三条线路阻抗相等)组成的电路称为对称三相电路。对称三相电路都可以等效转换为一相(如A相)计算,其他两相可按对称关系直接写出。

电流(正序):

线电压和相电压(正序):

79 三角形(△)联结

三相电源和三相负载的三角形联结,见图2.4-7。这种联结也属于三相三线制。

图2.4-7 △-△联结

(1)相电压、线电压、相电流、线电流 不论电源或负载,在三角形联结时有下列关系:

1)线电压就是相电压;

2)

3) 4)

(2)对称三相三角形电路的计算 电源与负载先变换为等效星形的电源与负载,再按星形电路求解。求出线电流,则相电流

80 对称分量法

对称分量法是分析具有不对称电源或负载的三相电路的重要方法。任一组三相不对称电源,如设为 ,可以分解成三部分,即正序对称分量(设为 )、负序对称分量(为 )和零序对称分量(为 ), 为三部分之和。各对称分量与不对称量之间的关系为

1)

2)

4.4 非正弦周期电流电路

81 非正弦周期量与高次谐波

对于一个非正弦的周期量 f t ),在一个周期内函数是连续的或仅有有限个第一类间断点,仅有有限个极大值与极小值时,可利用傅里叶级数展开为各种不同频率的正弦分量与直流分量:

式中 F 0 ——直流分量;

F m1 cos( ωt + ψ 1 )——基波分量;

F m2 cos(2 ωt + ψ 2 )——二次谐波分量;余类推。所有 k ≥2的各次谐波总称为高次谐波;

F m k ——k 次谐波的幅值;

ψ k ——k 次谐波的初相角。

式(2.4-2)中的 F 0 A k B k 可直接由给定的非正弦周期量 f t )求出;式(2.4-3)中的 F m k ψ k 可由 A k B k 求出,分别列出如下关系:

式中 T——f t )的周期;

ω ——周期为 T 的正弦量的角频率,即 f t )的基波角频率。

82 非正弦周期量的有效值

非正弦周期量 f t )的方均根值定义为它的有效值 F

式中 F 1 F 2 、…——基波、二次谐波、…的有效值,且

83 非正弦周期电流电路的计算

根据线性电路的叠加定理,非正弦周期电源激励的稳态响应等于电源的傅里叶级数展开式中各分量单独作用时的稳态响应的代数和(时域形式)。计算的一般步骤为:1)将非正弦周期电源(给定函数)分解为傅里叶级数;2)按 k =0,1,2,…的顺序逐项计算相对应的稳态响应( k ≥1的各次谐波可用相量法计算),计算所取项数(截断项数)视精度要求而定;3)最后按时域形式求响应的代数和。

4.5 功率与功率因数

84 正弦电流电路的功率与功率因数

正弦电流一端口见图2.4-8,设其端电压 ,输入电流

图2.4-8 正弦电流一端口

(1)瞬时功率 正弦电流一端口吸收的瞬时功率 p t )(W)为

正弦电流电路的瞬时功率是非正弦周期量。

(2)有功功率 周期电流一端口在一个周期 T 内吸收的电磁能的平均值定义为有功功率 P (W),又称平均功率。正弦电流一端口吸收的有功功率为

P = UI cos( ψ u i

(3)无功功率 正弦电流一端口的无功功率 Q (var)定义为

Q = UI sin( ψ u i

(4)视在功率 周期电流一端口电路的视在功率 S (VA)定义为

S = UI

(5)功率因数 正弦电流一端口的功率因数定义为

λ =cos( ψ u i )=cos φ

式中 φ ——功率因数角,有正负。它的正负分别说明了电路是感性还是容性。因此功率因数常须注明滞后( φ >0)或超前( φ <0)。

85 对称三相电路的功率与功率因数

有功功率

无功功率

视在功率

功率因数

瞬时功率

p t )= P

式中 U I 下标 l 表示“线”;

φ ——负载相电压超前于相电流的相角。

86 非正弦周期电流电路的功率

u i 分别为

有功功率

式中 us57bHD80S+hLB/mZBv22p4dX5jLMQZeEuUgCEcvMgAMmc9Tv2PcSfYFrkQ/T93b



第5章
电网络分析 [6,7]

5.1 电路分析的基本方法

87 电路分析

已知电路结构和元件参数,从而求出电路中的电压、电流,或求出电路中激励与响应之间的关系等,这类问题称为电路分析。通常将独立电源(电压源或电流源)称为激励,而由激励在电路中产生的电压、电流称为响应。电路分析的基本依据是基尔霍夫电流定律(KCL)、电压定律(KVL),及元件的伏安关系(VCR)。

线性电路分析方法可归纳为三类:1)利用基尔霍夫定律和元件VCR进行直接计算,如支路电流法,回路电流法,节点电压法等;2)利用线性电路的特性,如应用叠加定理、等效发电机定理等进行计算;3)利用等效电路的概念,如电阻的△联结与 联结等效变换,电压源与电阻的串联组合对外等效为电流源与电阻的并联组合等。

适用于线性电阻电路的上述方法,用相量法就可推广应用于正弦电流电路。

88 电阻的△联结与 联结等效变换

等效变换的条件是:当对应的三个端钮间加上相同的电压时,流入对应端钮的电流应相等。

电阻△联结与 联结等效变换见图2.5-1。图中已知 联结的三个电阻 R 1 R 2 R 3 ,则等效△联结的三个电阻 R 12 R 23 R 31

时,

已知△联结的三个电阻 R 12 R 23 R 31 ,则等效 联结的三个电阻 R 1 R 2 R 3

图2.5-1 电阻△联结与 联结等效变换

R 12 = R 23 = R 31 = R 时, R 1 = R 2 = R 3 = R / 3。

89 支路法

以支路电流为未知量,应用KCL和KVL列写出与支路电流数目相等的独立方程,从而解出各支路电流,称为支路电流法。

90 回路(网孔)电流法

以沿着 l 个[ l = b -( n -1)]独立回路环流的假想的回路电流为未知量,应用KVL列出 l 个独立回路电流方程,从而解出各回路电流,称为回路电流法。由于电路电流本身的连续性,故它能自动满足KCL,与支路电流法相比,回路电流法的独立方程数减少了( n -1)个。对平面电路,以网孔电流作为未知量列出方程,称为网孔电流法。

91 节点法

对具有 n 个节点的电路,任选一个节点作为参考节点,其余( n -1)个节点相对参考节点之间的电压为节点电压。以节点电压为未知量,应用KCL列出( n -1)个独立节点电压方程。从而解得各节点电压,称为节点电压法。各节点电压自动满足KVL。

92 叠加定理

在线性电路中,任意一条支路电压(或电流)都是各个独立源单独作用于电路时,在该支路产生的电压(或电流)的代数和。

在线性系统中,凡是能够用数学的一次表达式描述其相互关系的物理量都具有可叠加性;所以叠加定理仅适用于线性电路中的电压或电流响应,不适用于功率。

在线性电阻电路中,响应与激励之间的线性关系为

式中 y ——电压或电流响应;

U s i ——独立电压源的电压;

I s j ——独立电流源的电流;

α i β j ——由电路结构和元件决定的常数。

93 戴维南定理和诺顿定理

(1)戴维南定理 图2.5-2a所示的任意一个线性含源一端口网络,对外可用一个电压源和一个电阻的串联组合等效替代(见图2.5-2b)。其中电压源的电压等于含源一端口网络的开路电压 U oc ,电阻 R eq 为含源一端口网络内部所有独立源为零值时的输入电阻。

(2)诺顿定理 任意一个线性含源一端口网络,对外可用一个电流源与一个电阻的并联组合等效替代(见图2.5-2c)。其中电流源等于含源一端口网络端口的短路电流 I sc ;电阻 R eq 为含源一端口网络里所有独立源为零值时的输入电阻。

图2.5-2 含源一端口等效电路

a)含源一端口网络 b)戴维南等效电路 c)诺顿等效电路

戴维南等效电路与诺顿等效电路之间的等效互换关系为

94 特勒根定理

特勒根定理是电路理论中一个普遍适用的定理。

(1)特勒根定理1 对一个具有 n 个节点和 b 条支路的网络,令列向量 i u 分别表示支路电流和支路电压,即 i =[ i 1 i 2 i b ] T u =[ u 1 u 2 u b ] T ,且假设各支路电流、电压的参考方向一致,则对任何时间 t ,有

特勒根定理1的实质是功率守恒的具体体现。

(2)特勒根定理2 如果有两个网络 N ,它们由不同的二端元件所构成,但它们的图完全相同,设它们的支路电流和支路电压列向量分别用 i u 来表示,则对任何时间 t ,有

特勒根定理2仅仅是对两个具有相同拓扑结构的网络,一个网络的支路电压和另一个网络的支路电流(或不同瞬间的同一网络的相应支路电压和电流)所必须遵循的数学关系。

95 互易定理

任一线性无源网络在单一激励的情况下,若将该网络的激励和响应互换位置且保持激励值不变,则该网络的响应值也保持不变。互易定理共有三种形式。

5.2 线性动态电路

96 动态电路

含有储能元件的电路。描述线性动态电路动态过程的方程是常系数线性常微分方程,微分方程的阶数 n 就是电路中作为电路变量的动态元件电压或电流的独立初始条件的个数。对应的电路称为 n 阶电路。动态电路求解的基本方法有两种:1)经典解法,整个求解过程在时域中进行;2)运算法,用拉氏变换将时域分析问题转化为复频域分析问题,具体是将时域中的线性常微分方程转化为复频域中的复系数的代数方程求解。动态电路的解分为零输入响应、零状态响应、全响应,或暂态分量(自由分量)、稳态分量(强制分量)。

97 线性动态电路的电路变量初始值

动态电路中开关的接通或断开,元件参数的变化等所引起的电路结构突然改变,统称为换路。将电路换路的时刻记为 t =0,电路换路前一瞬间记为 t =0 - ,把电路换路后一瞬间记为 t =0 + 。在换路的一瞬间

若电容电流为有限值时,则 u C (0 + )= u C (0 -) q (0 + )= q (0 -)

若电感电压为有限值时,则 i L (0 + )= i L (0 -) Ψ (0 + )= Ψ (0 -)

显然, u C (0 -) i L (0 -) 应根据换路前电路状态来计算确定。

电路变量的初始值是指电路变量在 t =0 + 时的值。初始值是确定微分方程一般解中积分常数所必需的条件。

98 一阶电路及其时间常数

只含有一个储能元件的电路通常称为一阶电路。一阶电路的时间常数 τ 决定了电路所有响应中自由分量的衰减速度,对于含一个电阻和一个电容的一阶 RC 电路, τ = R 0 C ;对于含一个电阻和一个电感的一阶 RL 电路, τ = L/R 0

99 零输入响应、零状态响应、全响应

电路中激励为零,仅由储能元件的初始储能所产生的响应,称为零输入响应;当电路中储能元件的初始值为零,仅由激励产生的响应称为零状态响应;由激励和储能元件初始值共同产生的响应被称为全响应。全响应中与激励变化规律相同的分量,称为稳态分量或强制分量,按指数规律衰减变化的分量,称为暂态分量或自由分量。

100 一阶动态电路的求解

响应 y t )的一般表示式为

式中 y s t )——响应的稳态分量;

y s (0 + )——稳态分量在 t =0 + 时的值;

y (0 + )——响应 y t )的初始值;

τ ——时间常数。

101 一阶电路的阶跃响应和冲激响应

一阶电路在零初始条件下由单位阶跃激励产生的响应称为一阶电路的阶跃响应。其求解方法与求解一阶电路的零状态响应相同。

一阶电路在零初始条件下由单位冲激激励产生的响应称为一阶电路的冲激响应。由于冲激函数是阶跃函数的一阶导数,所以冲激响应是阶跃响应的一阶导数。

表2.5-1 基本电路元件的等效运算电路

102 运算法

是用拉氏变换分析线性电路中动态过程的一种常用方法,它能直接求出符合给定初始条件的解。运算法的步骤如下:1)根据给定电路作出运算电路图,其基本电路元件的等效运算电路见表2.5-1;如果电路中有受控源,其控制量要用象函数表示;2)选用合适的分析方法,节点法、回路法等,求出响应的象函数;3)进行反变换,求出时域响应。

103 网络函数

(1)网络函数 H s )定义如下:

式中 R s )——零状态响应 r t )的象函数;

E s )——单一激励 e t )的象函数。

激励 E s )可以是电压源,也可以是电流源,响应 R s )可以是电流,也可以是电压,在激励与响应的位置都确定的情况,网络函数仅取决于电路结构和元件参数。当激励和响应在同一端口时,相应的网络函数 H s )为驱动点函数,否则称为转移函数。

(2)网络的单位冲激响应 h t

h t )= L -1 [ H s )] H s )= L [ h t )]

可见网络函数与冲激响应成拉氏变换对。

(3)卷积积分 已知 H s ),则可求出任意激励作用下的零状态响应:

此式称为卷积积分。

5.3 电路图论

104 电路的图

(1)图的定义 一个图( G )是节点和支路的集合,每条支路都连接在相应的节点上。如果图中各支路都有确定的方向(规定支路的方向就是支路电流的方向,也是支路电压的方向),称为有向图。

图2.5-3说明怎样把一个给定的电路画成所对应的图 G ;这里 G 的每一条支路代表一个电路元件。有时,为了需要可以把某些元件的串联组合或并联组合作为一条支路来处理。

图2.5-3 网络及其图

a)网络 b)图

(2)子图、回路和连通图 1)子图若图 G 1 的每个节点和每条支路都是图 G 的节点和支路,就称 G 1 G 的一个子图;2)回路 图 G 中任一闭合路径,且路径上每个节点所关联的支路数都是2;3)连通图图 G 的任意两个节点之间至少存在一条支路,称图 G 为连通图。

(3)树 是连通图 G 的一个子图,用 T 表示,1)它是连通的,2)它包含了 G 的所有节点,3)它没有构成回路,则称 T G 的一个树。构成树的支路称为树支,树支数为( n -1), G 的其余支路称为连支,连支数为( b-n +1),其中 n 为节点数, b 为支路数。

(4)平面图 可画在平面上,是支路仅在节点相交的图(见图2.5-3b)。网孔是平面图的一个自然的“孔”。

(5)割集 Q 是连通图 G 的一个有关支路的集合,移去 Q 中的全部支路,将使图 G 分离为两个部分,但若少移去任意一条支路,图 G 仍是连通的,则称 Q 为图 G 的一个割集。

105 关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵

(1)关联矩阵 A 表示图 G 中节点与支路的关联关系,设节点数为 n 、支路数为 b ,则 A 是一个( n -1)× b 阶矩阵,矩阵的元素用 a ij 表示,当支路 j 与节点 i 关联,支路 j 的方向背离节点 i 时, a ij =+1,指向节点 i 时, a ij =-1,支路 j 与节点 i 不关联时, a ij =0。在 A 中未列出的那个节点为参考节点。

KCL、KVL可用 A 来表示:

式中 i b ——支路电流列向量;

u b ——支路电压列向量;

u n ——节点电压列向量。

(2)基本回路矩阵 B f 表示了回路与支路的关联关系。对于网络的图,先选一个树,每连一个连支就构成一个单连支回路,称为基本回路。该回路的绕行方向就是所含连支的方向。一个图共有 l =( b-n +1)个基本回路,其 B f l × b 阶矩阵。写 B f 时,其支路编号次序为先连支,后树支(反之亦可)。其矩阵元素用 b ij 表示。当支路 j 在基本回路 i 之中且 j 的方向与 i 的绕行方向一致时 b ij =1,方向相反时 b ij =-1,若支路 j 不在回路 i 中,则 b ij =0。

KCL、KVL、可通过 B f 来表示:

式中 i l ——基本回路中的回路电流列向量,即连支电流列向量。

(3)基本割集矩阵 Q f 表示了割集与支路的关联关系。在图 G 中先选一个树,每个割集只能含一个树支和有关的连支,称为单树支割集,即基本割集。每个割集的方向就选为所含的树支的方向。一个图 G 共有( n -1)个基本割集,其矩阵 Q f 为( n -1)× b 阶矩阵。其元素用 q ij 表示。当支路 j 在基本割集 i 中,且支路 j 与割集 i 的参考方向一致时, q ij =+1,反之 q ij =-1,当支路 j 不在割集 i 中, q ij =0,对于基本割集矩阵 Q f ,支路编号次序为先树支后连支(反之亦可)。

KCL、KVL可用 Q f 来表示:

式中 u t ——树支电压列向量。

106 节点电压方程的矩阵形式

在大规模网络的计算机辅助分析中,是用系统化的方法来建立电路方程的矩阵形式。以节点电压方程为例,用相量表示的矩阵为

式中 Y ——支路导纳矩阵;

——节点电压列向量;

——由独立电源引起流入节点的电流列向量;

Y n ——节点导纳矩阵。

在大型网络的机辅分析中,只要将有关网络拓扑结构和元件类型、参数的原始数据输入计算机,就能自动地建立电路方程并求解。

107 状态方程

状态方程是用状态变量来描述动态电路特性的一组独立的一阶微分方程。其矩阵形式为

式中 X t )=[ x 1 t ), x 2 t )… x n t )] T ——状态向量,其中的元素为状态变量;

V t )=[ v 1 t )、 v 2 t )… v m t )] T ——输入向量,其中的元素为网络中的 m 个独立电源;

A n × n )、 B n × m )——由网络结构和元件参数决定的系数矩阵。对线性动态网络,一般取电容电压(或电荷)和电感电流(或磁通链)为状态变量。

108 列表法

该法对网络支路类型没有过多的限制,其适应性很强,且网络方程易于建立,如同填写表格一样。这里仅介绍节点列表方程的矩阵形式。列表法规定:一个元件一条支路。节点列表方程的矩阵形式为

式中 A ——电网络的图 G 的( n -1)× b 阶关联矩阵;

F H ——取决于网络元件的 b 阶方阵;

——独立节点电压列向量;

——支路电压列向量;

——支路电流列向量;

——b 阶电压源列向量和 b 阶电流源列向量, 1 b b 阶单位矩阵。

109 计算机仿真技术

随着电路的规模和复杂度不断增加,很多电路的分析已无法通过人工来完成。需要借助计算机进行仿真和分析。

电路的计算机仿真对象一般是难以人工分析的电路,通常是非线性电路,或者是线性电路,但规模相对较大。不过,由于电路易于进行计算机仿真,有时为了快速得到结果,或者对手工计算结果进行验证,即使是简单的线性电路,人们也可能进行计算机仿真。

电路的计算机仿真软件非常多,例如PSpice、Multisim、MATLAB、PSCAD等。不同的仿真软件具有不同的特点,限于篇幅,仅对几种常用的电路仿真软件做扼要的介绍。

PSpice是发布较早的电路仿真软件,主要用于电子电路,对电路元件的建模与实际比较接近,但是仿真速度相对较慢,目前使用已越来越少。

Multisim是目前使用较多的电路仿真软件,简明易用,非常适合用于教育领域。大多数电路都可以用Multisim仿真,不过对于非常复杂的大规模电路,Multisim仿真能力有限。

MATLAB是一个通用的数学软件,其自带的Simulink仿真平台可以仿真各类系统。如果用于电路仿真,需要用到Simpowersystem工具箱。由于MATLAB自身是一个数学软件,所以基于MATLAB的Simulink电路仿真具有模型清晰,可以建立任意复杂电路模型的优势,并且在仿真数据后处理方面功能也十分强大。不过MATLAB/Simulink电路仿真毕竟不是专业的电路仿真软件,仿真速度相对较慢,这限制了其在大规模复杂电路仿真中的应用。

PSCAD是世界上广泛使用的电磁暂态仿真软件,非常适合进行大规模复杂电路的仿真。PSCAD是专业的仿真软件,在仿真速度方面具有较大的优势。相对于MATLAB/Simulink而言,PSCAD电路模型构建的灵活性略差,数据后处理能力也略差。相对于Multisim而言,PSCAD的简明易用性略差。

无论采用哪种电路仿真软件,电路的计算机仿真过程都是类似的。主要包括以下6个步骤:

1)确定电路原理图。

2)根据电路原理图选择或构建电路仿真需要用到的元件模型。绝大部分电路仿真用到的元件模型都可以在仿真软件的元件库中找到,但对于少数特殊的电路元件,如果在元件库中找不到对应的元件模型,那么可以根据特殊元件的数学模型在软件中构建相应的电路元件模型。

3)根据电路原理图和仿真元件模型建立完整的电路仿真模型。这一步是电路仿真过程中最关键的一步,也是工作量最大的一步。

4)确定电路模型的测量位置,并放置相应的虚拟测量仪器。电路仿真可以通过虚拟仪器测量任意位置的电压、电流等电路物理量。但是,测量位置过多会使得内存需求增大,并且会使得仿真系统看起来十分混乱。因此,应根据不同电路的需要来选择合理的测量位置。

5)进行电路仿真,如果仿真出错,需要根据错误提示对仿真模型进行修改。这一步是电路仿真中最耗时的一步。如果出错,大多数是因为第3)步建立电路仿真模型时不够细心或不够合理导致。

6)最后一步是查看仿真结果,必要时还要对仿真结果做进一步数据处理。一般说来,通过电路仿真软件的虚拟测量仪器和数据分析功能就能得到想要的电路仿真结果。不过,如果电路仿真软件不具备某些数据分析功能,或者对于仿真图形有特别的格式要求,此时需要将仿真结果存储为数据矩阵,然后通过MATLAB等软件对仿真数据做进一步处理。

电路的计算机仿真不是简单地将元件模型连接起来就能得到正确的仿真结果。要想高效准确地进行电路的计算机仿真,需要注意以下事项:

1)要注意不同电路仿真软件的具体要求。例如Multisim要求一定要将接地符号放置在电路模型中,而人们在绘制电路原理图时,并不一定会标出接地符号。

2)要注意仿真步长的选择。电路仿真本质上是通过数值方法进行计算,因此所有电路仿真都涉及仿真步长的选择。仿真步长可以选择变步长或定步长,两者各有优缺点。变步长适用于电路相对简单的情况,此时步长较大时也可以获得较高的仿真精度。但是,如果电路非常复杂,变步长很可能为了达到期望仿真精度而大幅度增加仿真时间。随着计算机计算能力的大幅度提高,目前对于复杂电路的仿真一般采用定步长。定步长简单明了,仿真时间易于控制。如果对仿真精度要求低,步长可以大一点;如果对仿真精度要求高,步长可以小一点。建议初步仿真时用相对较大的步长,如果发现仿真结果与预期结果一致,就不需要用较小的步长,这样可以节省仿真时间。如果发现仿真结果与预期结果明显不一致,再将仿真步长逐步减小,直到仿真结果与预期结果一致为止。

3)建立复杂电路的仿真模型时,建议采用模块化分层次的结构。复杂电路仿真模型建立时,建议先搭建总体框架,整个系统由多个大的模块组合而成。每个大的模块再由若干个小的模块组成,每个小的模块可以进一步细分为更小的模块,直至最小的模块由电路元件模型组成。这样的建模过程思路清晰,界面整洁,易于仿真调试。

5.4 二端口

110 二端口网络的基本方程和基本参数

若一个网络有两对与外电路相连接的端钮(见图2.5-4),每一对端钮形成一个端口,对一个端口流进的电流必等于流出的电流,这种网络统称为二端口网络。

图2.5-4 二端口网络

表示两个端口处的电压、电流关系的方程称为二端口网络的基本方程,方程中自变量前的系数称为二端口网络的基本参数,它取决于二端口网络的结构和元件参数。其基本方程有六种形式。这些反映同一个二端口网络端口特性的基本方程和基本参数可以互相转换。常用的四种基本方程见表2.5-2。

当线性二端口网络中无受控源时,这种线性无源二端口网络端口特性具有互易性,也就是说当激励和响应互换位置时,并不改变同一激励所产生的响应。对凡具有互易性的二端口网络只有三个参数是独立的。若二端口网络的两个端口互换位置后与外电路连接,其端口电气性能相同,则称此二端口网络是对称二端口网络,对称二端口网络只有两个参数是独立的。

表2.5-2 二端口基本方程

111 二端口网络的等效电路

两个结构不同的二端口网络,若它们的基本参数相同,就称这两个二端口网络端口特性对外等效。具有互易性的二端口网络只有三个独立参数,其最简单的等效电路将由三个元件组成,且只有两种可能的形式,即Π形电路和T形电路,见图2.5-5。

图2.5-5 互易二端口网络的等效电路

a)T形电路 b)Π形电路

112 二端口网络的联接

二端口网络三种基本联接方式见图2.5-6。

在正确的串、并联方式中,应使每个二端口网络满足端口条件,即进出每个端口的电流相等。如将基本参数写成矩阵形式:

则复合二端口网络与部分二端口网络的关系为

级联 T = T 1 T 2

并联 Y = Y 1 + Y 2

串联 Z = Z 1 + Z 2

图2.5-6 二端口网络的联接

a)串联 b)并联 c)级联

5.5 非线性电路

113 非线性元件

电路元件的参数与电压或电流有关,就称为非线性元件,含有非线性元件的电路称为非线性电路。

(1)非线性电阻 电阻元件的伏安特性曲线不是一条通过坐标原点的直线,这种电阻元件称为非线性电阻。当非线性电阻的伏安特性函数关系表示为 u = f i )时,电阻两端电压是其电流的单值函数。这种电阻称为电流控制的非线性电阻。当非线性电阻的伏安特性函数关系表示为 i = g u )时,电阻中的电流是两端电压的单值函数。这种电阻称为电压控制的非线性电阻。另一种非线性电阻属于“单调型”,其伏安特性是单调增长或单调下降的。它同时是电流控制又是电压控制的。

非线性电阻的静态电阻:

动态电阻:

(2)非线性电容 电容元件的库伏特性曲线不是一条通过坐标原点的直线,这种电容元件称为非线性电容。当非线性电容元件的电荷-电压关系式为 q = f u ),即电荷是电容电压的单值函数。此电容为电压控制的电容。当非线性电容元件的电荷-电压关系式为 u = h q ),即电容电压是电容电荷的单值函数。此电容为电荷控制的电容。

非线性电容的静态电容:

动态电容:

(3)非线性电感 非线性电感元件的韦安特性曲线不是一条通过坐标原点的直线,这种电感元件称为非线性电感。当非线性电感元件的电流与磁通链关系式为 i = h Ψ ),此电感称为磁通链控制的电感。当非线性电感元件的电流与磁通链关系式为 Ψ = h i ),此电感称为电流控制电感。多数的实际非线性电感元件是由铁磁材料制成的,由于铁磁材料的磁滞现象,它的 Ψ-i 特性具有回线的形状,此电感既非电流控制又非电压控制。

非线性电感的静态电感:

动态电感:

114 非线性电阻电路

含有非线性电阻元件的电阻电路称为非线性电阻电路。基尔霍夫定律KCL和KVL是编写非线性电阻电路方程的两条基本定律。在编写电路方程时,同时要考虑表征元件特性的方程。采用表格法或改进节点分析法,可以编列非线性电阻电路的方程,结果得到一组非线性代数方程。它一般无闭式解析解,工程上主要采用图解法、数值分析法(如牛顿-拉夫逊算法)、分段线性化法、小信号分析法等近似方法求解。

115 非线性动态电路

含有储能元件(电感和电容)的非线性电路称为非线性动态电路。其中含有非线性储能元件的一阶电路称为一阶非线性电路。基尔霍夫定律KCL和KVL是编写一阶非线性微分方程的两条基本定律。在编写电路方程时,同时要考虑表征非线性储能元件特性的方程。

当一阶非线性微分方程为

该式显含时间 t ,称为一阶非线性非自治微分方程。

该式不显含时间 t ,称为一阶非线性自治微分方程。在已知状态的初始值 x (0)的条件下,式(2.5-1)或式(2.5-2)的解,可通过下列方法求得:1)数值分析法;2)分段线性化法;3)图解法。 us57bHD80S+hLB/mZBv22p4dX5jLMQZeEuUgCEcvMgAMmc9Tv2PcSfYFrkQ/T93b

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