2．边形数的点与点之间连线形成的三角形的量的循序逐增规律

事实表明，多边形图是由若干大三角形组成的整体。而大三角形又由若干小三角形组成。据此，笔者将边形数的点与点之间以直线相连形成为（小）三角形，从中发现三角形的量的循序逐增规律。

2.1 三边形数的点与点之间连线形成的三角形的量的循序逐增规律

图2-9是将图2-1（三边形数图）中的点与点之间以直线相连形成为三角形（简称为“点之间形成的三角形”）的图。图2-10是反映图2-9的三角形的量的统计表。从图2-9、图2-10看出，三边形数的“点之间形成的三角形”的量，随着有序扩延，是循着奇数“1、3、5、7……”的规律逐增，其数列差为2。笔者研究结果表明，奇数“1、3、5、7……”的循序逐增规律实际上是两个自然数循序相加之和，即：1=1＋0，3=2＋1，5=3＋2，7=4＋3，……根据此规律，笔者又将三边形的整体设定为1个大三角形的整体，那么，可求得三边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。其定理为：

三边形数的“点之间形成的三角形”的量=0＋［（1＋0）×1］＋［（2＋1）×1］＋［（3＋2）×1］＋［（4＋3）×1］＋……＋［（ n ＋ n -1）×1］

（式中 n 表示扩延次数）

2.2 四边形数的点与点之间连线形成的三角形的量的循序逐增规律

图2-11是将图2-3（四边形数图）中的点与点之间以直线相连形成为三角形的图。图2-12是反映图2-11的三角形的量的统计表。从图2-11看出，图2-11（即四边形）是由2个图2-9（即大的三角形）组成的整体。因此，从图2-12看出，四边形数的“点之间形成的三角形”的量，其每次有序扩延，均是三边形的2倍，由此可求得四边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。其定理为：

四边形数的“点之间形成的三角形”的量=0＋［（1＋0）×2］＋［（2＋1）×2］＋［（3＋2）×2］＋［（4＋3）×2］＋……＋［（ n ＋ n -1）×2］

（式中 n 表示扩延次数）

2.3 五边形数的点与点之间连线形成的三角形的量的循序逐增规律

图2-13是将图2-5（五边形数图）中的点与点之间以直线相连形成为三角形的图。图2-14是反映图2-13的三角形的量的统计表。从图2-13看出，图2-13（即五边形）是由3个图2-9（即大的三角形）组成的整体。因此，从图2-14看出，五边形数的“点之间形成的三角形”的量，其每次有序扩延，均是三边形的3倍，由此可求得五边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。其定理为：

五边形数的“点之间形成的三角形”的量=0＋［（1＋0）×3］＋［（2＋1）×3］＋［（3＋2）×3］＋［（4＋3）×3］＋……＋［（ n ＋ n -1）×3］（式中 n 表示扩延次数）

2.4 六边形数的点与点之间连线形成的三角形的量的循序逐增规律

图2-15是将图2-7（六边形数图）中的点与点之间以直线相连形成为三角形的图。图2-16是反映图2-15的三角形的量的统计表。从图2-15看出，图2-15（即六边形）是由4个图2-9（即大的三角形）组成的整体。因此，从图2-16看出，六边形数的“点之间形成的三角形”的量，其每次有序扩延，均是三边形的4倍，由此可求得六边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。其定理为：

六边形数的“点之间形成的三角形”的量=0＋［（1＋0）×4］＋［（2＋1）×4］＋［（3＋2）×4］＋［（4＋3）×4］＋……＋［（ n ＋ n -1）×4］（式中 n 表示扩延次数）

2.5 求证边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增定理

从上证明中已知：

三边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增定理为“0＋［（1＋0）×1］＋［（2＋1）×1］＋［（3＋2）×1］＋［（4＋3）×1］＋……＋［（ n ＋ n -1）×1］”，其式中的乘数“1”，正是三边形的3-2（即 B -2）之差；

四边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增定理为“0＋［（1＋0）×2］＋［（2＋1）×2］＋［（3＋2）×2］＋［（4＋3）×2］＋……＋［（ n ＋ n -1）×2］”，其式中的乘数“2”，正是四边形的（4-2）（即 B -2）之差；

五边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增定理为“0＋［（1＋0）×3］＋［（2＋1）×3］＋［（3＋2）×3］＋［（4＋3）×3］＋……＋［（ n ＋ n -1）×3］”，其式中的乘数“3”，正是五边形的（5-2）（即 B -2）之差；

六边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增定理为“0＋［（1＋0）×4］＋［（2＋1）×4］＋［（3＋2）×4］＋［（4＋3）×4］＋……＋［（ n ＋ n -1）×4］”，其式中的乘数“4”，正是六边形的（6-2）（即 B -2）之差。

依照归纳法，求得边形数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增定理为：

边形数的“点之间形成的三角形”的量=0＋［（1＋0）×（ B -2）］＋［（2＋1）×（ B -2）］＋［（3＋2）×（ B -2）］＋［（4＋3）×（ B -2）］＋……＋［（ n ＋ n -1）×（ B -2）］ （式中 B 是表示边形的边的量， B ≥3， n 表示扩延次数）

2.6 边形数可置换为扇形图来表达

从上证明中已知，三边形是由1个大三角形组成的整体，四边形是由2个大三角形组成的整体，五边形是由3个大三角形组成的整体，六边形是由4个大三角形组成的整体，其余依此类推。根据此规律，边形数完全可以图2-17来表达，应用拓扑原理，边形数又可置换为扇形图来表达，见图2-18。