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边形数是指以点为记号，以起点为始点，循着图形的边形的有序扩延而形成的边形点数（如图2-1是三边形数图）。对于边形数，公元1世纪希腊数学家尼可马科斯曾作研究。笔者只是遵循循序逐增原理，从边形数的循序逐增现象来论证边形数循序逐增的规律性。
1.1 三边形数的循序逐增现象及其规律
图2-1是三边形数图。图2-2是三边形点数规律表。从图2-1、图2-2看出，三边形起点为1，之后扩延的边形点数，是循着自然数“2、3、4、5……”的规律有序逐增，其数列差为1。假如将每次扩延边形的点的第一个点设为1，那么，就会发现三边形扩延边形的点数，是循着“1＋（1×1），1＋（2×1），1＋（3×1）……”的规律有序逐增，而被乘数“1、2、3……”，正好与扩延次序的“1、2、3……”相吻合。据此，可求得三边形数的规律，其定理为：
图2-1 三边形数图
图2-2 三边形点数规律表
三边形数=1＋［1＋（1×1）］＋［1＋（2×1）］＋［1＋（3×1）］＋…＋［1＋（ n ×1）］ （式中 n 表示扩延次数）
1.2 四边形数的循序逐增现象及其规律
图2-3是四边形数图。图2-4是四边形点数规律表。从图2-3、图2-4看出，四边形起点为1，之后扩延的边形点数，是循着奇数“3，5，7……”的规律有序逐增，其数列差为2。
图2-3 四边形数图
图2-4 四边形点数规律表
假如将每次扩延边形的点的第一个点设为1，那么，就会发现四边形扩延边形的点数，是循着“1＋（1×2），1＋（2×2），1＋（3×2）……”的规律有序逐增，而被乘数“1、2、3……”，正好与扩延次序的“1、2、3……”相吻合。据此，可求得四边形数的规律，其定理为：
四边形数=1＋［1＋（1×2）］＋［1＋（2×2）］＋［1＋（3×2）］＋…＋［1＋（ n ×2）］ （式中 n 表示扩延次数）
1.3 五边形数的循序逐增现象及其规律
图2-5是五边形数图。图2-6是五边形点数规律表。从图2-5、图2-6看出，五边形起点为1，之后扩延的边形点数，是循着“4，7，10……”的规律有序逐增，其数列差为3。假如将每次扩延边形的点的第一个点设为1，那么，就会发现五边形扩延边形的点数，是循着“1＋（1×3），1＋（2×3），1＋（3×3）……”的规律有序逐增，而被乘数“1、2、3……”，正好与扩延次序“1、2、3……”相吻合。据此，可求得五边形数的规律，其定理为：
图2-5 五边形数图
图2-6 五边形点数规律表
五边形数=1＋［1＋（1×3）］＋［1＋（2×3）］＋［1＋（3×3）］＋…＋［1＋（ n ×3）］ （式中 n 表示扩延次数）
1.4 六边形数的循序逐增现象及其规律
图2-7是六边形数图。图2-8是六边形点数规律表。从图2-7、图2-8看出，六边形起点为1，之后扩延的边形点数，是循着“5，9，13……”的规律有序逐增，其数列差为4。假如将每次扩延边形的点的第一个点设为1，那么，就会发现六边形扩延边形的点数，是循着“1＋（1×4），1＋（2×4），1＋（3×4）……”的规律有序逐增，而被乘数“1、2、3……”，正好与扩延次序的“1、2、3……”相吻合。据此，可求得六边形数的规律，其定理为：
图2-7 六边形数图
图2-8 六边形点数规律表
六边形数=1＋［1＋（1×4）］＋［1＋（2×4）］＋［1＋（3×4）］＋…＋［1＋（ n ×4）］ （式中 n 表示扩延次数）
1.5 求证边形数的循序逐增定理
从上证明可知：三边形扩延边形的点数，是循着“1＋（1×1），1＋（2×1），1＋（3×1）……”的规律有序逐增，乘数“1”正是三边形的（3-2）之差；
四边形扩延边形的点数，是循着“1＋（1×2），1＋（2×2），1＋（3×2）……”的规律有序逐增，乘数“2”正是四边形的（4-2）之差；
五边形扩延边形的点数，是循着“1＋（1×3），1＋（2×3），1＋（3×3）……”的规律有序逐增，乘数“3”正是五边形的（5-2）之差；
六边形扩延边形的点数，是循着“1＋（1×4），1＋（2×4），1＋（3×4）……”的规律有序逐增，乘数“4”，正是六边形的（6-2）之差。
依照归纳法，得出结论，式中乘数正是边形的边的量减去2之差。据此，将边形的边的量以“边”的汉语拼音第一个字母“ B ”来表示，那么，边形数的定理为：
边形数=1＋［1＋1×（ B -2）］＋［1＋2×（ B -2）］＋［1＋3×（ B -2）］＋…＋［1＋ n ×（ B -2）］ （式中 n 表示扩延次数， B 表示边形的边的量， B ≥3）