3．从组合数表看组合数的循序逐增规律

3.1 循序逐增的组合数表

现将前文图1-11表中的“逐增数”、“组合数”，删去“逐增数”，只留下“组合数”，并遵循循序逐增的原理表达出来，即形成“组合数表”，如图1-15所示。

现对该表做分析，可发现其所隐藏的奥秘和规律。

3.2 组合数表的奥秘

奥秘1 横看成岭侧成峰，横竖斜列规律异有同

认真细看组合数表的数字，不论是横看还是竖看、斜看，都是一串有规律的循序逐增的组合数。横看，是 n 不变、 m 依序“＋1”逐增的组合数；竖看，是 m 不变、 n 依序“＋1”逐增的组合数；斜看（左上角至右下角），是 n 、 m 同依序“＋1”逐增的组合数。此奥秘又藏着若干规律。

奥秘2 从组合数表中看出，在 n 不变（即 n 相同）的条件下，最大的组合数，既不是最大的 m 的组合数，也不是最小的 m 的组合数，而是处于中间的 m （即中轴线框内）的组合数。组合数与 m 既不存在正比关系，也不存在反比关系（即既不是 m 越大则组合数越大，也不是 m 越小则组合数越大）。

奥秘3 组合数表与杨辉三角（帕斯卡三角）完全是同曲异工。

对于组合数表中的有序数字，不少数学学者也许有似曾相识的感觉。其实，笔者当初也是如此。只要将图向右倾斜45 ° ，就会发现图1-15的数字与杨辉三角（见图1-16，也称帕斯卡三角）完全相同。这表明，杨辉三角（帕斯卡三角）的每一个数字都是 的组合数。由此可见，组合数表与杨辉三角（帕斯卡三角）完全是同曲异工。

3.3 杨辉三角（帕斯卡三角）已知的规律

规律1 三角形中的每一行数字表示的是二项式的整系数（ a ＋ b ）的特定次幂，见图1-17。

规律2 三角形中的每一行数字相加之和，从第二行起，是2的次幂之积，见图1-18。

规律3 三角形中，每条斜线所经过的数字相加之和均为斐波纳契数列，见图1-19。

3.4 组合数表中反映出来的组合数循序逐增的规律

规律1 横列组合数的规律之一

例证1

例证

例证

例证

依照归纳法，这一规律的定理可表为：

规律2 横列组合数的规律之二

如 m ₁ ＋ m ₂ = n ，则 ，亦即 （式中 n ≥ m ）

将图1-15中加黑的线框内的数字作为中轴线，可清楚看到，中轴线两边相对应的组合数是等同的。即在 n 相同的同一行组合数中，在相对应的位置可找到两个相同的组合数，且此两个相同的组合数的 等式的两个 m 相加之和正好等于 n 。

例如 的组合数

已知 n =7， 的组合等式有8个，组合数相同的等式有4对：

又例如 的组合数

已知 n =8， 的组合等式有9个，组合数相同的等式有4对：

两个相同的组合数的 等式还告诉我们这样一个规律：

以 的组合等式为例，如 ，已知 n =7， m =3，那么， 。 =35 =35可见 。

又如 ，已知 n =7， m =5，那么， 。 =21 =21可见 。

在此，应指出的，我们不能以除法的计算方法来理解“ ”的问题，而以组合的对等原理来理解“ （包括 ）”的问题，因为证明结果表明： 。组合的计算方式只是“借用”了除法的计算方法而已。

事实证明1循序逐增的组合数表清楚地告诉我们： 。

事实证明2 的定理表明： ，所以 =1。

因此， ，更不存在“设定 ”的问题。

规律3 横列组合数的规律之三

横列组合数依序相加， 的 n =2 ⁿ 的 n ，即： （式中 n ≥2）

如： n =1那么， =1＋1=2 2=2 ¹

n =2那么， =1＋2＋1=4 4=2 ²

n =3那么， =1＋3＋3＋1=8 8=2 ³

n =4那么， =1+4+6+4+1=16 16=2 ⁴

n =5那么， =1+5+10+10+5＋1=32 32=2 ⁵

依照归纳法，得： ＋ ＋ ＋…＋ =2 ⁿ （式中 n ≥2）

此规律还告诉我们， n 为3的组合数依序相加之和是 n 为2的组合数依序相加之和的2倍； n 为4的组合数依序相加之和是 n 为3的组合数依序相加之和的2倍； n 为5的组合数依序相加之和是 n 为4的组合数依序相加之和的2倍，其余依此类推。可见，横列每行组合数依序相加之和随着 n 的增加而翻一番增加。

规律4 纵列（竖列）组合数的规律之一

单列纵列组合数循序累加规律。即在 的 m 不变的条件下， n 循着“＋1”逐增，以 =1为累加起始数，依序将各组合数累加。其定理为：

例证1 见图1-20。

例证2 见图1-21。

例证3 见图1-22。

根据例证1的 组合数循序累加之规律，可将其公式表为：

根据例证2的 组合数循序累加之规律，可将其公式表为：

根据例证3的 组合数循序累加之规律，可将其公式表为：

综例证1、例证2、例证3的证明，依照归纳法，其定理为：

单列纵列组合数循序累加规律表明，在 的 m 不变的条件下， n 循着“＋1”逐增，以 =1为累加起始数，其组合数依序累加之和，正是“ m ＋1”后不变、 n 循着“＋1”逐增的组合数，即上纵列组合数循序累加之和，正是下纵列的组合数。如 组合数循序累加之和，乃是 的组合数；而 组合数循序累加之和，乃是 的组合数；又 组合数循序累加之和，则是 的组合数……其余依此类推。可见，单列纵列组合数循序累加规律是一条“上加成下”的循序累加“链条”，没有穷尽（见图1-23）。

在此，我想起了少年高斯巧算自然数1至100累加之和的故事。其实，自然数1至100累加，实质是 组合数循序累加，依照组合数的循序逐增原理，其答案为： = = =5050。

规律5 纵列（竖列）组合数的规律之二

相邻双列纵列组合数循序累加的规律。其定理为：

例证1 见图1-24。

例证2 见图1-25。

根据例证1的“ ＋ ”组合数循序累加之规律，可将其公式表为：

根据例证2的“ ＋ ”组合数循序累加之规律，可将其公式表为：

综例证1、例证2的证明，依照归纳法，其定理为：

图1-24、图1-25、图1-26的证明表明，相邻双列纵列组合数依序累加之和正是后列下一纵列循序逐增的组合数。从图1-26看出， 与 双列组合数循序累加之和，是 下一纵列 的组合数，即与前文 单列组合数循序累加之和同； 与 双列组合数循序累加之和，是 下一纵列 的组合数，即与前文 单列组合数循序累加之和同； 与 双列组合数循序累加之和，是 下一纵列 的组合数，即与前文 单列组合数循序累加之和同。其余依此类推。可见，双列纵列组合数循序累加规律也是一条“上加成下”的循序累加“链条”，没有穷尽。

规律6 纵列（竖列）组合数的规律之三

相邻3列以上纵列组合数循序累加的规律。

前文对单列、相邻双列纵列组合数循序累加的规律进行了证明。那么，当相邻列数增至3列、4列、5列…… n 列，其组合数循序累加又是什么样的规律呢，请看下面证明。

笔者研究结果表明，3列以上纵列组合数循序累加有两种方法。方法不同，反映出来的规律也不同。

循序累加方法1的证明 将相邻的第二、第三、第四……列的起始组合数1，与首列的第二个组合数为同行位置上（即同一括号内），见图1-27、图1-28。

例证1 图1-27所示，是相邻3列纵列组合数循序累加规律例证表。

从图1-27看出， 、 、 3列纵列组合数循序累加的结果，与前文图1-23的 单列纵列组合数循序累加的结果相同，累加之和为 的组合数； 、 、 3列纵列组合数循序累加的结果，与前文图1-23的 单列纵列组合数循序累加的结果相同，累加之和为 的组合数； 、 、 3列纵列组合数循序累加的结果，与前文图1-23的 单列纵列组合数循序累加的结果相同，累加之和为 的组合数。由此可见，相邻3列纵列组合数循序累加之规律与相邻2列纵列组合数循序累加之规律同，相邻3列纵列组合数循序累加之和等于后列单列纵列组合数循序累加之和。

例证2 图1-28所示，是相邻4列纵列组合数循序累加规律例证表。

从图1-28看出， 、 、 、 4列纵列组合数循序累加的结果，与前文图1-23的 单列纵列组合数循序累加的结果相同，累加之和为 的组合数； 、 、 、 4列纵列组合数循序累加的结果，与前文图1-23的 单列纵列组合数循序累加的结果相同，累加之和为 的组合数； 、 、 、 4列纵列组合数循序累加的结果，与前文图1-23的 单列纵列组合数循序累加的结果相同，累加之和为 的组合数。由此可见，相邻4列纵列组合数循序累加之规律与相邻2列纵列组合数循序累加之规律同，相邻4列纵列组合数循序累加之和等于后列单列纵列组合数循序累加之和。

综图1-27、图1-28的证明，得出结论：循序累加方法1的累加结果为，不论多少列纵列组合数循序累加，其累加之和为后列下一纵列的组合数，与后列单列纵列组合数循序累加之和同。亦即其答案的组合数的组合式，是后列纵列最后一个组合式 的 n ＋2、 m ＋1，即： 。

如图1-27的“ 、 、 ”3列纵列组合数循序累加，其后列纵列 的最后一个组合数21的组合式为 ，那么，其相对应的累加之和84的组合式为 ，即 = =84。

再如图1-28的“ 、 、 、 ”4列纵列组合数循序累加，其后列纵列 的最后一个组合数252的组合式为 ，那么，其相对应的累加之和924的组合式为 ，即 = =924。

又以下面这道数学题为例，

这是一道99列纵列组合数循序累加的数学题。已知，其后列纵列 的最后一个组合式为 ，那么，该题答案的组合式为 = 。

循序累加方法2的证明 将相邻的若干列纵列组合数依照组合数表的序列（即 的 n 相同的组合式为同一括号内）进行累加，见图1-29、图1-30。

例证1 图1-29所示，是相邻3列纵列组合数循序累加规律例证表。

例证2 图1-30所示，是相邻4列纵列组合数循序累加规律例证表。

从图1-29、图1-30看出，方法2的相邻3列、4列纵列组合数循序累加的结果，与方法1的相邻3列、4列纵列组合数循序累加的结果不相同，方法2的3列、4列纵列组合数循序累加之和均不是等于后列单列纵列组合数循序累加之和，也不是其他有序的组合数。虽然如此，但前组相邻若干列纵列组合数循序累加之和与后组相邻若干列纵列组合数循序累加之和存在着循序逐增的关系。如 、 、 3列纵列组合数循序累加之和是后组 、 、 3列纵列组合数循序累加数（即逐增数），而 、 、 3列纵列组合数循序累加之和则是其后 、 、 3列纵列组合数循序累加数（即逐增数），其余依此类推。同理，图1-30的相邻4列纵列组合数循序累加的结果也是如此， 、 、 、 4列纵列组合数循序累加之和是后组 、 、 、 4列纵列组合数循序累加数（即逐增数），而 、 、 、 4列纵列组合数循序累加之和则是其后 、 、 、 4列纵列组合数循序累加数（即逐增数），其余依此类推。由此可见，方法2的若干列纵列组合数循序累加之和与后组若干列纵列组合数循序累加之和存在着循序逐增的关系。

从方法1、方法2的循序累加证明可看出，方法1的组合数循序累加之和为循序逐增的组合数，其规律可以组合式表达出来，而方法2的组合数循序累加之和为有序的其他数，其规律不可以组合式表达。据此，笔者认为，我们在弄懂此两种组合数循序累加方法的同时，应着重掌握方法1的组合数循序累加原理。

规律7 依照循序逐增原理，纵列的各个组合数等于斜列（左上角至右下角）的各个组合数，见图1-31。

从图1-31看出，纵列1（即 ）的各个组合数等于斜列1（即 ）的各个组合数，亦即 = ；

纵列2（即 ）的各个组合数等于斜列2（即 ）的各个组合数，亦即 ；

纵列3（即 ）的各个组合数等于斜列3（即 ）的各个组合数，亦即 ；

纵列4（即 ）的各个组合数等于斜列4（即 ）的各个组合数，亦即 。其余依此类推。

依照归纳法，得： （式中 m = n ），即

根据“纵列的各个组合数等于斜列（左上角至右下角）的各个组合数”的事实，无疑，纵列组合数存在的规律，斜列组合数也应存在相应的规律。

规律8 斜列组合数的规律之一

单列斜列组合数循序累加规律。即以 =1为累加起始数， n 、0同时循着“＋1”逐增，并依序将各组合数累加。其定理为：

例证1 见图1-32。

例证2 见图1-33。

从图1-32看出，“第三步”和“累加之和”与图1-20的“第三步”和“累加之和”同，这证明斜列1（即 ）循序累加之规律与纵列1（即 ）循序累加之规律同。根据图1-32反映出来的斜列1（即 ）循序累加之规律，其定理为：

从图1-33看出，“第三步”和“累加之和”与图1-21的“第三步”和“累加之和”同，这证明斜列2（即 ）循序累加之规律与纵列2（即 ）循序累加之规律同。根据图1-33反映出来的斜列2（即 ）循序累加之规律，其定理为：

根据图1-32、图1-33的证明结果与图1-20、图1-21的证明结果同，又已知单列纵列组合数循序累加之规律为“上列单列纵列组合数循序累加之和为下列单列纵列组合数循序累加数”，那么，由此可推断，单列斜列组合数循序累加之规律为：上列单列斜列组合数循序累加之和为下列单列斜列组合数循序累加数。请看图1-34。

综图1-32、图1-33、图1-34的证明，依照归纳法，得单列斜列组合数循序累加规律之定理为：

单列斜列组合数循序累加规律表明，各列斜列组合数均以 =1为累加起始数， n 、0同时循着“＋1”逐增。其组合数依序累加之和，正是 n 、0同时循着“＋1”逐增后再“ n ＋1”的组合数，即上列斜列组合数循序累加之和，正是下列斜列的组合数。可见，单列斜列组合数循序累加规律，与单列纵列组合数循序累加规律同，是一条“上加成下”的循序累加“链条”（见图1-34）。

规律9 斜列组合数的规律之二

相邻双列斜列组合数循序累加的规律。其定理为：

例证1 见图1-35。

根据图1-35“斜列1＋斜列2”循序累加之规律，其公式可表达为：

例证2 见图1-36。

根据图1-36“斜列1＋斜列2”循序累加之规律，其公式可表达为：

综例证1、例证2的证明，依照归纳法，得定理：

规律10 斜列组合数的规律之三

相邻3列以上斜列组合数循序累加的规律。

前文对单列、相邻双列斜列组合数循序累加的规律进行了证明，其结果与单列、相邻双列纵列组合数循序累加的规律同。那么，当相邻列数循序逐增至3列、4列、5列…… n 列，其组合数循序累加的规律是不是也与3列以上纵列组合数循序累加的规律一样呢？请看下面证明。

3列以上纵列组合数循序累加有两种方法，为精简文章篇幅，只选方法1（即将相邻的第二、第三、第四……列的起始组合数1，与首列的第二个组合数为同一括号内）予以证明。见图1-37、图1-38。

例证1 图1-37所示，是相邻3列斜列组合数循序累加规律例证表。

例证2 如图1-38所示，是相邻4列斜列组合数循序累加规律例证表。

从图1-37、图1-38看出，相邻3列斜列组合数循序累加的规律与相邻3列纵列组合数循序累加的规律（见图1-27）同。相邻4列斜列组合数循序累加的规律与相邻4列纵列组合数循序累加的规律（见图1-28）同。可见，相邻3列以上斜列组合数循序累加的规律与相邻3列以上纵列组合数循序累加的规律同，即：不论多少列斜列组合数循序累加，其累加之和为后列下一斜列的组合数。

规律11 纵列组合数规律等同于斜列组合数规律之规律

根据“纵列的各个组合数等于斜列（左上角至右下角）的各个组合数”的事实，综前文对纵列组合数规律与斜列组合数规律之证明，纵列组合数规律与斜列组合数规律之间存在若干等同规律。除前文规律10同外，还有：

等同规律1单列纵列组合数循序累加规律等同于单列斜列组合数循序累加规律，即：

等同于“ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋……＋ = （式中 n ≥0）”

等同规律2双列纵列组合数循序累加规律等同于双列斜列组合数循序累加规律，即：

3.5 组合数表与其他数列循序逐增的规律

本文说的其他数列，主要是指以下若干数列：

在此要说明的，金字塔形（见图1-39）数后的“其他形数”，是笔者自创名词。因笔者不知金字塔形数之后的数列叫什么数，故自创名词称之。望谅。

对以上若干数列，已知道，起始数1循序累加之和为自然数数列；起始数1起“＋2”逐增累加之和为奇数数列；奇数循序累加之和为平方数数列；平方数循序累加之和为金字塔形数数列。请见图1-40。

然而，笔者研究结果表明，自然数起始数1、自然数、平方数、金字塔形数、其他形数等数列与组合数也存在循序逐增的关系及其规律。

规律1 自然数起始数1与 的循序逐增规律

的任何一个组合数均是自然数1，即 =1。为此，见图1-41。

从图1-41看出， 的组合式从 开始，循着“＋1”逐增，其组合数均为1。可见，自然数起始数是1，组合数起始数也是1。

规律2 自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9……与 的组合数循序累加规律（见图1-42）

从图1-42看出， 的组合数循序累加之和正是自然数数列。

规律3 奇数1、3、5、7、9、11、13、15、17、19……与“ ”的组合数循序累加规律（见图1-43）

从图1-43看出，“ ”的组合数循序累加之和正是循序逐增的奇数数列。

规律4 平方数1、4、9、16、25、36、49……与“ ”的组合数循序累加规律（见图1-44）

从图1-44看出，“ ”的组合数循序累加之和正是循序逐增的平方数数列。

规律5 金字塔形数1、5、14、30、55、91、140……与“ ”的组合数循序累加规律（见图1-45）

从图1-45看出，“ ”的组合数循序累加之和正是循序逐增的金字塔形数数列。

规律6 其他形数（ a ）1、6、20、50、105、196、336……与“ ”的组合数循序累加规律（见图1-46）

从图1-46看出，“ ”的组合数循序累加之和正是循序逐增的其他形数（ a ）数列。

规律7 其他形数（ b ）1、7、27、77、182、378、714……与“ ”的组合数循序累加规律（见图1-46）

从图1-46看出，“ ”的组合数循序累加之和正是循序逐增的其他形数（ b ）数列。

规律8 其他形数（ c ）1、8、35、112、294、672、1386……与“ ＋ ”的组合数循序累加规律（见图1-46）

从图1-46看出，“ ”的组合数循序累加之和正是循序逐增的其他形数（ c ）数列。

现将图1-41至图1-46的证明做出归纳，得知：

自然数起始数1是 循序逐增的组合数；

自然数数列是 的组合数循序累加之和；

奇数数列是“ ＋ ”的组合数循序累加之和；

平方数数列是“ ＋ ”的组合数循序累加之和；

金字塔形数数列是“ ＋ ”的组合数循序累加之和；

其他形数（ a ）数列是“ ＋ ”的组合数循序累加之和；

其他形数（ b ）数列是“ ＋ ”的组合数循序累加之和；

其他形数（ c ）数列是“ ＋ ”的组合数循序累加之和。

那么，从以上“ ＋ ”的组合数循序累加规律可推知，其他形数（ d ）数列必定是“ ＋ ”的组合数循序累加之和，其他形数（ e ）数列必定是“ ＋ ”的组合数循序累加之和……由此可见，“ ＋ ”的组合数循序累加规律是一条没有穷尽的循序累加“链条”。

至此，笔者要说的，本文记录下来的发现，尤其是一些公式也许不属于我的新发现，而是属于前人“已发现”。但是，本人发现的意义是在于找到了自然数以及数学的组合、排列的“源”和“流”。所谓“源”，是指一切自然数以及组合数、排列数皆源自于“1”；所谓“流”，是指一切自然数以及组合数、排列数、若干数列皆形成于“循序逐增”原理。鉴于数学中的“循序逐增”现象所反映出来的规律，本人还有这样无知的联想：这些发现对于人们另辟蹊径破解“哥德巴赫猜想”、“费马大定理”也许会有益的启示。

完稿时间：2013年11月18日 DjdUDAsiZrGI77wB0F8p2P1Od9PdVU8iYQdXfr4bCS3UpZ3SfAaaBd7rDdkzmYa8