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2.数学的组合数、排列数均可以矩阵表达

2.1 数学的组合数均可表达为由“1”组成的三角矩阵

数学中的组合,不论其取出元素的 m (>1)是多少,其任何一个取出 m 元素的组合,均为 组合。因“ =1”,又新增元素与前有元素的组合是循序逐增的过程,所以,任何一个组合数均是由“1”有序组成的三角矩阵。如图1-6,是 的三角矩阵。从该图看出,矩阵中的“1”在量上是“逐1”增加的。

图1-7 ( 的三角矩阵)

图1-7是 的三角矩阵。从该图看出,矩阵中的“1”在量上是循着2、3、4……逐增的。

图1-8 ( 的三角矩阵)

图1-8是 的三角矩阵。从该图看出,矩阵中的“1”在量上是循着3、6、10……逐增的。

其实, ……的三角矩阵中的“1”均是循着它的规律逐增的。正因为数学的组合存在这一规律,从中又发现了组合数与组合数之间的关系,即遵循循序逐增的原理,可将三角矩阵中的“1”通过逐1和逐数相加的方法而转换为另一个三角矩阵来表达。如图1-9、图1-10所示,是 三角矩阵,是以 的三角矩阵为模型,依照循序逐增的原理,通过逐1和逐数相加的方法而得来的。

图1-9 ( 的三角矩阵图)

图1-10 ( 的三角矩阵图)

现将图1-9、图1-10的 的“逐增数”和“组合数”汇编为一个表,见图1-11。

图1-11 ( “逐增数”、“组合数”的统计表)

图1-11是 的“逐增数”、“组合数”的统计表。将前后纵列的数字进行比对,就会发现一种有趣的循序逐增的规律。从图1-11看出, 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”; 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”; 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”; 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”; 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”。同理, 之后的“组合数”均是如此。依照归纳法,可得此定律: 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”, 的“组合数”是为 的“组合数”的累加得数。可见,在数学的组合中,循序逐增的基本原理十分凸显。

2.2 数学的排列数也可表为三角矩阵

图1-12是 的排列数的三角矩阵。从该矩阵看出,它是由“2”组成的三角矩阵。其实,矩阵中的这个“2”,乃是取出2个元素的“2”的排列数,即“1×2=2”。而“2”的排放,是遵循循序逐增的原理来进行的有序排放。现将 的三角矩阵与前文图1-6 的三角矩阵相比较,就会发现 的三角矩阵的“2”的排放,与 的三角矩阵的“1”的排放相对应,这也就是说, 的排列数与 的组合数存在这样的关系,即: = ×(1×2),亦即: = ×2!。

图1-12 ( 的三角矩阵)

图1-13是 的排列数的三角矩阵。从该矩阵看出,它是由“6”组成的三角矩阵。其实,矩阵中的这个“6”,乃是取出3个元素的“3”的排列数,即“1×2×3=6”,而“6”的排放,是遵循循序逐增的原理来进行的有序排放。现将 的三角矩阵与前文图1-7 的三角矩阵相比较,就会发现 的三角矩阵的“6”的排放,与 的三角矩阵的“1”的排放相对应,这也就是说, 的排列数与 的组合数存在这样的关系,即: = ×(1×2×3),亦即: = ×3!。

图1-13 ( 的三角矩阵)

全排列数也可表为三角矩阵,见图1-14。从图1-14看出,全排列数的三角矩阵也是循序逐增的。

图1-14 (全排列数的三角矩阵)

2.3 组合数与排列数之间的关系

从图1-12、图1-13的证明中可知,排列数与组合数有着密切联系。已知:

= ×2! = ×3!

依照归纳法,那么,排列数与组合数之间关系的公式为:

= × m ! (公式中 n m ,如 n = m ,则 = × m != n !)

= × m !”,这个公式不仅简单明了、准确表达了排列数与组合数之间的关系,而且对全排列数“ n !”也可从中得到简单明了的证明。 1jBbhK3mWYOZi4ySZAHKD2uTdX8HUCziy9M/j93p8mREdwnpxPUQjgUc9OJDVYj/

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