2．数学的组合数、排列数均可以矩阵表达

2.1 数学的组合数均可表达为由“1”组成的三角矩阵

数学中的组合，不论其取出元素的 m （＞1）是多少，其任何一个取出 m 元素的组合，均为 组合。因“ =1”，又新增元素与前有元素的组合是循序逐增的过程，所以，任何一个组合数均是由“1”有序组成的三角矩阵。如图1-6，是 的三角矩阵。从该图看出，矩阵中的“1”在量上是“逐1”增加的。

图1-7是 的三角矩阵。从该图看出，矩阵中的“1”在量上是循着2、3、4……逐增的。

图1-8是 的三角矩阵。从该图看出，矩阵中的“1”在量上是循着3、6、10……逐增的。

其实， ……的三角矩阵中的“1”均是循着它的规律逐增的。正因为数学的组合存在这一规律，从中又发现了组合数与组合数之间的关系，即遵循循序逐增的原理，可将三角矩阵中的“1”通过逐1和逐数相加的方法而转换为另一个三角矩阵来表达。如图1-9、图1-10所示，是 三角矩阵，是以 的三角矩阵为模型，依照循序逐增的原理，通过逐1和逐数相加的方法而得来的。

现将图1-9、图1-10的 、 、 、 、 、 的“逐增数”和“组合数”汇编为一个表，见图1-11。

图1-11是 至 的“逐增数”、“组合数”的统计表。将前后纵列的数字进行比对，就会发现一种有趣的循序逐增的规律。从图1-11看出， 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”； 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”； 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”； 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”； 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”。同理， 之后的“组合数”均是如此。依照归纳法，可得此定律： 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”， 的“组合数”是为 的“组合数”的累加得数。可见，在数学的组合中，循序逐增的基本原理十分凸显。

2.2 数学的排列数也可表为三角矩阵

图1-12是 的排列数的三角矩阵。从该矩阵看出，它是由“2”组成的三角矩阵。其实，矩阵中的这个“2”，乃是取出2个元素的“2”的排列数，即“1×2=2”。而“2”的排放，是遵循循序逐增的原理来进行的有序排放。现将 的三角矩阵与前文图1-6 的三角矩阵相比较，就会发现 的三角矩阵的“2”的排放，与 的三角矩阵的“1”的排放相对应，这也就是说， 的排列数与 的组合数存在这样的关系，即： = ×（1×2），亦即： = ×2！。

图1-13是 的排列数的三角矩阵。从该矩阵看出，它是由“6”组成的三角矩阵。其实，矩阵中的这个“6”，乃是取出3个元素的“3”的排列数，即“1×2×3=6”，而“6”的排放，是遵循循序逐增的原理来进行的有序排放。现将 的三角矩阵与前文图1-7 的三角矩阵相比较，就会发现 的三角矩阵的“6”的排放，与 的三角矩阵的“1”的排放相对应，这也就是说， 的排列数与 的组合数存在这样的关系，即： = ×（1×2×3），亦即： = ×3！。

全排列数也可表为三角矩阵，见图1-14。从图1-14看出，全排列数的三角矩阵也是循序逐增的。

2.3 组合数与排列数之间的关系

从图1-12、图1-13的证明中可知，排列数与组合数有着密切联系。已知：

= ×2！ = ×3！

依照归纳法，那么，排列数与组合数之间关系的公式为：

= × m ！ （公式中 n ≥ m ，如 n = m ，则 = × m ！= n ！）

“ = × m ！”，这个公式不仅简单明了、准确表达了排列数与组合数之间的关系，而且对全排列数“ n ！”也可从中得到简单明了的证明。 HNjd3DBGRUYlLAlDKMua1ZLHT82gMXeBclqJKSiEuaJ6G02YdMz5UngwrVHdJcRn