事实证明:循序逐增是数学的组合、排列中客观存在的基本原理。
1.1 循序逐增是组合的基本原理
例证1
的组合过程
图1-1是反映
组合过程的一个图表。从该图表看出,当组合元素仅有“1”1个元素时,不能组合为2个元素的组合;当组合元素增加“2”这个元素后,便产生了“12”这个组合;当组合元素增加“3”这个元素后,便产生了“3”与“1”、“2”的组合,即增加了“13”、“23”2个组合,使之为3个组合;当组合元素增加“4”这个元素后,便产生了“4”与“1”、“2”、“3”的组合,即增加了“14”、“24”、“34”3个组合,使之为6个组合;当组合元素增加“5”这个元素后,便产生了“5”与“1”、“2”、“3”、“4”的组合,即增加了“15”、“25”、“35”、“45”4个组合,使之为10个组合;当组合元素增加“6”这个元素后,便产生了“6”与“1”、“2”、“3”、“4”、“5”的组合,即增加了“16、26、36、46、56”5个组合,使之为15个组合。可见,
的组合过程是循序逐增的过程。
图1-1 (
组合过程反映图表)
例证2
的组合过程
图1-2 (
组合过程反映图表)
图1-2是反映
组合过程的一个图表。从该图表看出,当组合元素仅有“1”1个元素和“1”、“2”2个元素时,不能组合为3个元素的组合;当组合元素增至“1”、“2”、“3”3个元素后,便产生了“123”这个组合;此起,当组合元素增加“4”这个元素后,便产生了“4”与“12”、“13”、“23”的组合,即增加了“124”、“134”、“234”3个组合,使之为4个组合;当组合元素增加“5”这个元素后,便产生了“5”与“12”、“13”、“14”、“23”、“24”、“34”的组合,即增加了“125”、“135”、“145”、“235”、“245”、“345”6个组合,使之为10个组合;当组合元素增加“6”这个元素后,便产生了“6”与“12”、“13”、“14”、“15”、“23”、“24”、“25”、“34”、“35”、“45”的组合,即增加了“126、136、146、156、236、246、256、346、356、456”10个组合,使之为20个组合。可见,
的组合过程是循序逐增的过程。
例证3
的组合过程
图1-3 (
组合过程反映图表)
图1-3是反映
组合过程的一个图表。从该图表看出,当组合元素为“1、2、3”3个元素前,不能组合为4个元素的组合;当组合元素增至“1”、“2”、“3”、“4”4个元素时,便产生了“1234”这个组合;此起,当组合元素增加“5”这个元素后,便产生了“5”与“123”、“124”、“134”、“234”的组合,即增加了“1235”、“1245”、“1345”、“2345”4个组合,使之为5个组合;当组合元素增加“6”这个元素后,便产生了“6”与“123”、“124”、“125”、“134”、“135”、“145”、“234”、“235”、“245”、“345”的组合,即增加了“1236”、“1246”、“1256”、“1346”、“1356”、“1456”、“2346”、“2356”、“2456”、“3456”10个组合,使之为15个组合。可见,
的组合过程是循序逐增的过程。
现将例证2图1-2与例证1图1-1、例证3图1-3与例证2图1-2作比对,可发现,前后组合在组合元素上存在循序逐增现象。
从例证2图1-2与例证1图1-1的比对中看出,图1-2中
的各组3个元素的组合,是在图1-1
的各组2个元素的组合基础上增添1个元素后所形成的组合:
的“123”组合,是在
的“12”组合基础上增添“3”这个元素后形成的组合;
的4组3个元素的组合,是在
的3组2个元素的组合基础上增添“4”这个元素后形成的组合;
的10组3个元素的组合,是在
的6组2个元素的组合基础上增添“5”这个元素后形成的组合;
的20组3个元素的组合,是在
的10组2个元素的组合基础上增添“6”这个元素后形成的组合;总之,图1-2中
的各组3个元素的组合,是在图1-1
的各组2个元素的组合基础上增添1个元素后所形成的组合。这个过程,不仅仅是组合元素的增添,而且组合的组数也随之增加。可见,
的3个元素的组合与
的2个元素的组合之间存在循序逐增的关系。
再从例证3图1-3与例证2图1-2的比对中也可看出,图1-3中
的各组4个元素的组合,均是在图1-2
的各组3个元素的组合基础上增添1个元素后形成的组合。这不仅仅是组合元素的增添,而且组合的组数也随之增加。从中证明,
的4个元素的组合与
的3个元素的组合之间存在循序逐增的关系。
综例证1、例证2、例证3的证明,可得结论,
的组合过程是循序逐增的过程,这个循序逐增的过程,不仅体现在
n
的量上,在
m
不变的情况下,组合的组数随着
n
的增加而增加,而且也体现在
m
的量上,在
n
>
m
的前提下,
与
之间也存在循序逐增的关系。可见,循序逐增是
组合的基本原理。
1.2 循序逐增也是数学的排列的基本原理
例证1
的排列过程
图1-4是反映
排列过程的图表。从该图表看出,当排列元素仅有“1”1个元素时,不能形成2个元素的排列;当排列元素增至“1、2”2个元素时,便产生了“12”、“21”这2个排列,排列数为1×2=2;当排列元素增加“3”这个元素后,便产生了“3”与“1”、“2”的排列,即增加了“13”、“31”、“23”、“32”4个排列,使之为6个排列,排列数为2×3=6;当排列元素增加“4”这个元素后,便产生了“4”与“1”、“2”、“3”的排列,即增加了“14”、“41”、“24”、“42”、“34”、“43”6个排列,使之为12个排列,排列数为3×4=12;当排列元素增加“5”这个元素后,便产生了“5”与“1”、“2”、“3”、“4”的排列,即增加了“15”、“51”、“25”、“52”、“35”、“53”、“45”、“54”8个排列,使之为20个排列,排列数为4×5=20。可见,
的排列过程是循序逐增的过程。
图1-4 (
排列过程反映图表)
图1-5 (
排列过程反映图表)
例证2
的排列过程
图1-5是反映
排列过程的图表。从该图表看出,当排列元素仅有“1”1个元素和“1、2”2个元素时,不能形成3个元素的排列;当排列元素增至“1、2、3”3个元素时,便产生了“123”、“231”、“312”、“213”、“132”、“321”这6个排列,排列数为1×2×3=6;当排列元素增加“4”这个元素后,便产生了有“4”这个元素的18组排列(详见图1-5),使排列组数增至24,排列数为2×3×4=24;当排列元素增加“5”这个元素后,便产生了有“5”这个元素的36组排列,使排列组数增至60,排列数为3×4×5=60。可见,
的排列过程是“循序逐增”的过程,排列数随着
n
的量增加而增加。
现将例证2图1-5
的排列与例证1图1-4
的排列进行比对,可看出,图1-5
的各组3个元素的排列,均是在图
的各组2个元素的排列基础上增添1个元素后形成的排列:图1-5的
的6组3个元素的排列,是在图1-4的
的2组2个元素排列基础上增添“3”这个元素后形成的排列;图1-5的
的24组3个元素的排列,是在图1-4的
的6组2个元素排列基础上增添“4”这个元素后形成的排列;图1-5的
的60组3个元素的排列,是在图1-4的
的12组2个元素排列基础上增添“5”这个元素后形成的排列。可见,
与
,在排列上,
的3个元素的排列与
的2个元素的排列之间存在循序逐增的关系。这不仅仅是排列元素的逐增,而且其排列组数也随之逐增。
图1-6 (
的三角矩阵)
综例证1、例证2的证明,可得结论,数学的排列过程是循序逐增的过程,循序逐增是
排列的基本原理。
2.1 数学的组合数均可表达为由“1”组成的三角矩阵
数学中的组合,不论其取出元素的
m
(>1)是多少,其任何一个取出
m
元素的组合,均为
组合。因“
=1”,又新增元素与前有元素的组合是循序逐增的过程,所以,任何一个组合数均是由“1”有序组成的三角矩阵。如图1-6,是
的三角矩阵。从该图看出,矩阵中的“1”在量上是“逐1”增加的。
图1-7 (
的三角矩阵)
图1-7是
的三角矩阵。从该图看出,矩阵中的“1”在量上是循着2、3、4……逐增的。
图1-8 (
的三角矩阵)
图1-8是
的三角矩阵。从该图看出,矩阵中的“1”在量上是循着3、6、10……逐增的。
其实,
……的三角矩阵中的“1”均是循着它的规律逐增的。正因为数学的组合存在这一规律,从中又发现了组合数与组合数之间的关系,即遵循循序逐增的原理,可将三角矩阵中的“1”通过逐1和逐数相加的方法而转换为另一个三角矩阵来表达。如图1-9、图1-10所示,是
三角矩阵,是以
的三角矩阵为模型,依照循序逐增的原理,通过逐1和逐数相加的方法而得来的。
图1-9 (
的三角矩阵图)
图1-10 (
、
、
的三角矩阵图)
现将图1-9、图1-10的
、
、
、
、
、
的“逐增数”和“组合数”汇编为一个表,见图1-11。
图1-11 (
至
“逐增数”、“组合数”的统计表)
图1-11是
至
的“逐增数”、“组合数”的统计表。将前后纵列的数字进行比对,就会发现一种有趣的循序逐增的规律。从图1-11看出,
的“组合数”则是下一栏
的“逐增数”;
的“组合数”则是下一栏
的“逐增数”;
的“组合数”则是下一栏
的“逐增数”;
的“组合数”则是下一栏
的“逐增数”;
的“组合数”则是下一栏
的“逐增数”。同理,
之后的“组合数”均是如此。依照归纳法,可得此定律:
的“组合数”则是下一栏
的“逐增数”,
的“组合数”是为
的“组合数”的累加得数。可见,在数学的组合中,循序逐增的基本原理十分凸显。
2.2 数学的排列数也可表为三角矩阵
图1-12是
的排列数的三角矩阵。从该矩阵看出,它是由“2”组成的三角矩阵。其实,矩阵中的这个“2”,乃是取出2个元素的“2”的排列数,即“1×2=2”。而“2”的排放,是遵循循序逐增的原理来进行的有序排放。现将
的三角矩阵与前文图1-6
的三角矩阵相比较,就会发现
的三角矩阵的“2”的排放,与
的三角矩阵的“1”的排放相对应,这也就是说,
的排列数与
的组合数存在这样的关系,即:
=
×(1×2),亦即:
=
×2!。
图1-12 (
的三角矩阵)
图1-13是
的排列数的三角矩阵。从该矩阵看出,它是由“6”组成的三角矩阵。其实,矩阵中的这个“6”,乃是取出3个元素的“3”的排列数,即“1×2×3=6”,而“6”的排放,是遵循循序逐增的原理来进行的有序排放。现将
的三角矩阵与前文图1-7
的三角矩阵相比较,就会发现
的三角矩阵的“6”的排放,与
的三角矩阵的“1”的排放相对应,这也就是说,
的排列数与
的组合数存在这样的关系,即:
=
×(1×2×3),亦即:
=
×3!。
图1-13 (
的三角矩阵)
全排列数也可表为三角矩阵,见图1-14。从图1-14看出,全排列数的三角矩阵也是循序逐增的。
图1-14 (全排列数的三角矩阵)
2.3 组合数与排列数之间的关系
从图1-12、图1-13的证明中可知,排列数与组合数有着密切联系。已知:
=
×2!
=
×3!
依照归纳法,那么,排列数与组合数之间关系的公式为:
=
×
m
! (公式中
n
≥
m
,如
n
=
m
,则
=
×
m
!=
n
!)
“
=
×
m
!”,这个公式不仅简单明了、准确表达了排列数与组合数之间的关系,而且对全排列数“
n
!”也可从中得到简单明了的证明。