1．“循序逐增”是数学的组合、排列共有的基本原理

事实证明：循序逐增是数学的组合、排列中客观存在的基本原理。

1.1 循序逐增是组合的基本原理

例证1 的组合过程

图1-1是反映 组合过程的一个图表。从该图表看出，当组合元素仅有“1”1个元素时，不能组合为2个元素的组合；当组合元素增加“2”这个元素后，便产生了“12”这个组合；当组合元素增加“3”这个元素后，便产生了“3”与“1”、“2”的组合，即增加了“13”、“23”2个组合，使之为3个组合；当组合元素增加“4”这个元素后，便产生了“4”与“1”、“2”、“3”的组合，即增加了“14”、“24”、“34”3个组合，使之为6个组合；当组合元素增加“5”这个元素后，便产生了“5”与“1”、“2”、“3”、“4”的组合，即增加了“15”、“25”、“35”、“45”4个组合，使之为10个组合；当组合元素增加“6”这个元素后，便产生了“6”与“1”、“2”、“3”、“4”、“5”的组合，即增加了“16、26、36、46、56”5个组合，使之为15个组合。可见， 的组合过程是循序逐增的过程。

例证2 的组合过程

图1-2是反映 组合过程的一个图表。从该图表看出，当组合元素仅有“1”1个元素和“1”、“2”2个元素时，不能组合为3个元素的组合；当组合元素增至“1”、“2”、“3”3个元素后，便产生了“123”这个组合；此起，当组合元素增加“4”这个元素后，便产生了“4”与“12”、“13”、“23”的组合，即增加了“124”、“134”、“234”3个组合，使之为4个组合；当组合元素增加“5”这个元素后，便产生了“5”与“12”、“13”、“14”、“23”、“24”、“34”的组合，即增加了“125”、“135”、“145”、“235”、“245”、“345”6个组合，使之为10个组合；当组合元素增加“6”这个元素后，便产生了“6”与“12”、“13”、“14”、“15”、“23”、“24”、“25”、“34”、“35”、“45”的组合，即增加了“126、136、146、156、236、246、256、346、356、456”10个组合，使之为20个组合。可见， 的组合过程是循序逐增的过程。

例证3 的组合过程

图1-3是反映 组合过程的一个图表。从该图表看出，当组合元素为“1、2、3”3个元素前，不能组合为4个元素的组合；当组合元素增至“1”、“2”、“3”、“4”4个元素时，便产生了“1234”这个组合；此起，当组合元素增加“5”这个元素后，便产生了“5”与“123”、“124”、“134”、“234”的组合，即增加了“1235”、“1245”、“1345”、“2345”4个组合，使之为5个组合；当组合元素增加“6”这个元素后，便产生了“6”与“123”、“124”、“125”、“134”、“135”、“145”、“234”、“235”、“245”、“345”的组合，即增加了“1236”、“1246”、“1256”、“1346”、“1356”、“1456”、“2346”、“2356”、“2456”、“3456”10个组合，使之为15个组合。可见， 的组合过程是循序逐增的过程。

现将例证2图1-2与例证1图1-1、例证3图1-3与例证2图1-2作比对，可发现，前后组合在组合元素上存在循序逐增现象。

从例证2图1-2与例证1图1-1的比对中看出，图1-2中 的各组3个元素的组合，是在图1-1 的各组2个元素的组合基础上增添1个元素后所形成的组合： 的“123”组合，是在 的“12”组合基础上增添“3”这个元素后形成的组合； 的4组3个元素的组合，是在 的3组2个元素的组合基础上增添“4”这个元素后形成的组合； 的10组3个元素的组合，是在 的6组2个元素的组合基础上增添“5”这个元素后形成的组合； 的20组3个元素的组合，是在 的10组2个元素的组合基础上增添“6”这个元素后形成的组合；总之，图1-2中 的各组3个元素的组合，是在图1-1 的各组2个元素的组合基础上增添1个元素后所形成的组合。这个过程，不仅仅是组合元素的增添，而且组合的组数也随之增加。可见， 的3个元素的组合与 的2个元素的组合之间存在循序逐增的关系。

再从例证3图1-3与例证2图1-2的比对中也可看出，图1-3中 的各组4个元素的组合，均是在图1-2 的各组3个元素的组合基础上增添1个元素后形成的组合。这不仅仅是组合元素的增添，而且组合的组数也随之增加。从中证明， 的4个元素的组合与 的3个元素的组合之间存在循序逐增的关系。

综例证1、例证2、例证3的证明，可得结论， 的组合过程是循序逐增的过程，这个循序逐增的过程，不仅体现在 n 的量上，在 m 不变的情况下，组合的组数随着 n 的增加而增加，而且也体现在 m 的量上，在 n ＞ m 的前提下， 与 之间也存在循序逐增的关系。可见，循序逐增是 组合的基本原理。

1.2 循序逐增也是数学的排列的基本原理

例证1 的排列过程

图1-4是反映 排列过程的图表。从该图表看出，当排列元素仅有“1”1个元素时，不能形成2个元素的排列；当排列元素增至“1、2”2个元素时，便产生了“12”、“21”这2个排列，排列数为1×2=2；当排列元素增加“3”这个元素后，便产生了“3”与“1”、“2”的排列，即增加了“13”、“31”、“23”、“32”4个排列，使之为6个排列，排列数为2×3=6；当排列元素增加“4”这个元素后，便产生了“4”与“1”、“2”、“3”的排列，即增加了“14”、“41”、“24”、“42”、“34”、“43”6个排列，使之为12个排列，排列数为3×4=12；当排列元素增加“5”这个元素后，便产生了“5”与“1”、“2”、“3”、“4”的排列，即增加了“15”、“51”、“25”、“52”、“35”、“53”、“45”、“54”8个排列，使之为20个排列，排列数为4×5=20。可见， 的排列过程是循序逐增的过程。

例证2 的排列过程

图1-5是反映 排列过程的图表。从该图表看出，当排列元素仅有“1”1个元素和“1、2”2个元素时，不能形成3个元素的排列；当排列元素增至“1、2、3”3个元素时，便产生了“123”、“231”、“312”、“213”、“132”、“321”这6个排列，排列数为1×2×3=6；当排列元素增加“4”这个元素后，便产生了有“4”这个元素的18组排列（详见图1-5），使排列组数增至24，排列数为2×3×4=24；当排列元素增加“5”这个元素后，便产生了有“5”这个元素的36组排列，使排列组数增至60，排列数为3×4×5=60。可见， 的排列过程是“循序逐增”的过程，排列数随着 n 的量增加而增加。

现将例证2图1-5 的排列与例证1图1-4 的排列进行比对，可看出，图1-5 的各组3个元素的排列，均是在图 的各组2个元素的排列基础上增添1个元素后形成的排列：图1-5的 的6组3个元素的排列，是在图1-4的 的2组2个元素排列基础上增添“3”这个元素后形成的排列；图1-5的 的24组3个元素的排列，是在图1-4的 的6组2个元素排列基础上增添“4”这个元素后形成的排列；图1-5的 的60组3个元素的排列，是在图1-4的 的12组2个元素排列基础上增添“5”这个元素后形成的排列。可见， 与 ，在排列上， 的3个元素的排列与 的2个元素的排列之间存在循序逐增的关系。这不仅仅是排列元素的逐增，而且其排列组数也随之逐增。

综例证1、例证2的证明，可得结论，数学的排列过程是循序逐增的过程，循序逐增是 排列的基本原理。 nSnyWdj2fUDrdWMgl1P4oVj7l6nmpJgOkXz8dpZpSuMVZ74Lp6SrnZnup0PTDNui

2．数学的组合数、排列数均可以矩阵表达

2.1 数学的组合数均可表达为由“1”组成的三角矩阵

数学中的组合，不论其取出元素的 m （＞1）是多少，其任何一个取出 m 元素的组合，均为 组合。因“ =1”，又新增元素与前有元素的组合是循序逐增的过程，所以，任何一个组合数均是由“1”有序组成的三角矩阵。如图1-6，是 的三角矩阵。从该图看出，矩阵中的“1”在量上是“逐1”增加的。

图1-7是 的三角矩阵。从该图看出，矩阵中的“1”在量上是循着2、3、4……逐增的。

图1-8是 的三角矩阵。从该图看出，矩阵中的“1”在量上是循着3、6、10……逐增的。

其实， ……的三角矩阵中的“1”均是循着它的规律逐增的。正因为数学的组合存在这一规律，从中又发现了组合数与组合数之间的关系，即遵循循序逐增的原理，可将三角矩阵中的“1”通过逐1和逐数相加的方法而转换为另一个三角矩阵来表达。如图1-9、图1-10所示，是 三角矩阵，是以 的三角矩阵为模型，依照循序逐增的原理，通过逐1和逐数相加的方法而得来的。

现将图1-9、图1-10的 、 、 、 、 、 的“逐增数”和“组合数”汇编为一个表，见图1-11。

图1-11是 至 的“逐增数”、“组合数”的统计表。将前后纵列的数字进行比对，就会发现一种有趣的循序逐增的规律。从图1-11看出， 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”； 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”； 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”； 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”； 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”。同理， 之后的“组合数”均是如此。依照归纳法，可得此定律： 的“组合数”则是下一栏 的“逐增数”， 的“组合数”是为 的“组合数”的累加得数。可见，在数学的组合中，循序逐增的基本原理十分凸显。

2.2 数学的排列数也可表为三角矩阵

图1-12是 的排列数的三角矩阵。从该矩阵看出，它是由“2”组成的三角矩阵。其实，矩阵中的这个“2”，乃是取出2个元素的“2”的排列数，即“1×2=2”。而“2”的排放，是遵循循序逐增的原理来进行的有序排放。现将 的三角矩阵与前文图1-6 的三角矩阵相比较，就会发现 的三角矩阵的“2”的排放，与 的三角矩阵的“1”的排放相对应，这也就是说， 的排列数与 的组合数存在这样的关系，即： = ×（1×2），亦即： = ×2！。

图1-13是 的排列数的三角矩阵。从该矩阵看出，它是由“6”组成的三角矩阵。其实，矩阵中的这个“6”，乃是取出3个元素的“3”的排列数，即“1×2×3=6”，而“6”的排放，是遵循循序逐增的原理来进行的有序排放。现将 的三角矩阵与前文图1-7 的三角矩阵相比较，就会发现 的三角矩阵的“6”的排放，与 的三角矩阵的“1”的排放相对应，这也就是说， 的排列数与 的组合数存在这样的关系，即： = ×（1×2×3），亦即： = ×3！。

全排列数也可表为三角矩阵，见图1-14。从图1-14看出，全排列数的三角矩阵也是循序逐增的。

2.3 组合数与排列数之间的关系

从图1-12、图1-13的证明中可知，排列数与组合数有着密切联系。已知：

= ×2！ = ×3！

依照归纳法，那么，排列数与组合数之间关系的公式为：

= × m ！ （公式中 n ≥ m ，如 n = m ，则 = × m ！= n ！）

“ = × m ！”，这个公式不仅简单明了、准确表达了排列数与组合数之间的关系，而且对全排列数“ n ！”也可从中得到简单明了的证明。 nSnyWdj2fUDrdWMgl1P4oVj7l6nmpJgOkXz8dpZpSuMVZ74Lp6SrnZnup0PTDNui