3．棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律

数学家尼可马科斯在研究边形数的基础上，进一步研究了棱锥体数。笔者对棱锥体数的研究，自然是从循序逐增原理的角度来研究的。笔者研究结果表明，当将棱锥体数以平面的图来表达时，实质是不同于前文边形数的另一种边形数，即以点为记号，其起点既是始点又是中心点，依照边形的要求有序向周边画点扩延而形成的边形点数（如图2-19是三棱锥体数图）。

3.1 三棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律

图2-19是反映三棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的例图，图2-20是三棱锥体点数统计表，图2-21是三棱锥体的“点之间形成的三角形”的量的统计表。

从图2-19、图2-20看出，随着三棱锥体的有序扩延，其增加点数的数列是循着“1×3，2×3，3×3，4×3……”的规律逐增，此乘数的“3”，正是三棱锥体的“3”。据此，可求得三棱锥体数的循序逐增规律，其定理为：

三棱锥体数=1＋（1×3）＋（2×3）＋（3×3）＋（4×3）＋……＋（ n ×3）（式中 n 表示扩延次数）

现求三棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。从图2-19、图2-21看出，随着三棱锥体的有序扩延，其“点之间形成的三角形”的量，循着“［（1＋0）×3］，［（2＋1）×3］，［（3＋2）×3］，［（4＋3）×3］……”的规律逐增。式中乘数“3”，正是三棱锥体的“3”。与三边形相比，式中乘数多“2”（即3-1=2），从中可知其每次有序扩延的三角形的量，比三边形多“（ n ＋ n -1）×2”个。由此可求得三棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。其定理为：

三棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0＋［（1＋0）×3］＋［（2＋1）×3］＋［（3＋2）×3］＋［（4＋3）×3］＋……＋［（ n ＋ n -1）×3］ （式中 n 表示扩延次数）

3.2 四棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律

图2-22是反映四棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的例图，图2-23是四棱锥体点数统计表，图2-24是四棱锥体的“点之间形成的三角形”的量的统计表。

从图2-22、图2-23看出，随着四棱锥体的有序扩延，其增加的点数是循着“1×4，2×4，3×4，4×4……”的规律逐增，此乘数的“4”，正是四棱锥体的“4”。据此，可求得四棱锥体数的循序逐增规律，其定理为：

四棱锥体数=1＋（1×4）＋（2×4）＋（3×4）＋（4×4）＋……＋（ n ×4）（式中 n 表示扩延次数）

现求四棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。从图2-22、图2-24看出，随着四棱锥体的有序扩延，其“点之间形成的三角形”的量，循着“［（1＋0）×4］，［（2＋1）×4］，［（3＋2）×4］，［（4＋3）×4］……”的规律逐增。式中乘数“4”，正是四棱锥体的“4”。与四边形相比，式中乘数多“2”（即4-2=2），从中可知其每次有序扩延的三角形的量，比四边形多“（ n ＋ n -1）×2”个。由此可求得四棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律，其定理为：

四棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0＋［（1＋0）×4］＋［（2＋1）×4］＋［（3＋2）×4］＋［（4＋3）×4］＋……＋［（ n ＋ n -1）×4］ （式中 n 表示扩延次数）

3.3 五棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律

图2-25是反映五棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的例图，图2-26是五棱锥体点数统计表，图2-27是五棱锥体的“点之间形成的三角形”的量的统计表。

从图2-25、图2-26看出，随着五棱锥体的有序扩延，其增加点数的数列是循着“1×5，2×5，3×5，4×5……”的规律逐增，此乘数的“5”，正是五棱锥体的“5”。据此，可求得五棱锥体数的循序逐增规律，其定理为：五棱锥体数=1＋（1×5）＋（2×5）＋（3×5）＋（4×5）＋……＋（ n ×5）（式中 n 表示扩延次数）

现求五棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。从图2-25、图2-27看出，随着五棱锥体的有序扩延，其“点之间形成的三角形”的量，循着“［（1＋0）×5］，［（2＋1）×5］，［（3＋2）×5］，［（4＋3）×5］……”的规律逐增。式中乘数“5”，正是五棱锥体的“5”。与五边形相比，式中乘数多“2”（即5-3=2），从中可知其每次有序扩延的三角形的量，比五边形多“（ n ＋ n -1）×2”个。由此可求得五棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。其定理为：

五棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0＋［（1＋0）×5］＋［（2＋1）×5］＋［（3＋2）×5］＋［（4＋3）×5］＋……＋［（ n ＋ n -1）×5］ （式中 n 表示扩延次数）

3.4 六棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律

图2-28是反映六棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的例图，图2-29是六棱锥体点数统计表，图2-30是六棱锥体的“点之间形成的三角形”的量的统计表。

从图2-28、图2-29看出，随着六棱锥体的有序扩延，其增加点数的数列是循着“1×6，2×6，3×6，4×6……”的规律逐增，此乘数的“6”，正是六棱锥体的“6”。据此，可求得六棱锥体数的循序逐增规律，其定理为：六棱锥体数=1＋（1×6）＋（2×6）＋（3×6）＋（4×6）＋……＋（ n ×6）（式中 n 表示扩延次数）。

现求六棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。从图2-28、图2-30看出，随着六棱锥体的有序扩延，其“点之间形成的三角形”的量，循着“［（1＋0）×6］，［（2＋1）×6］，［（3＋2）×6］，［（4＋3）×6］……”的规律逐增。式中乘数“6”，正是六棱锥体的“6”。与六边形相比，式中乘数多“2”（即6-4=2），从中可知其每次有序扩延的三角形的量，比六边形多“（ n ＋ n -1）×2”个。由此可求得六棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量的循序逐增规律。其定理为：

六棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0＋［（1＋0）×6］＋［（2＋1）×6］＋［（3＋2）×6］＋［（4＋3）×6］＋……＋［（ n ＋ n -1）×6］ （式中 n 表示扩延次数）

3.5 求证棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的循序逐增定理

先求证棱锥体数循序逐增定理。

已知，三棱锥体数=1＋（1×3）＋（2×3）＋（3×3）＋（4×3）＋……＋（ n ×3）；

四棱锥体数=1＋（1×4）＋（2×4）＋（3×4）＋（4×4）＋……＋（ n ×4）；

五棱锥体数=1＋（1×5）＋（2×5）＋（3×5）＋（4×5）＋……＋（ n ×5）；

六棱锥体数=1＋（1×6）＋（2×6）＋（3×6）＋（4×6）＋……＋（ n ×6）。

依照归纳法，得棱锥体数循序逐增定理为：

棱锥体数=1＋（1× L ）＋（2× L ）＋（3× L ）＋（4× L ）＋……＋（ n × L ）

（式中 L 表示棱的量， n 表示扩延次数）

现求证棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量循序逐增定理。

已知，三棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0＋［（1＋0）×3］＋［（2＋1）×3］＋［（3＋2）×3］＋［（4＋3）×3］＋……＋［（ n ＋ n -1）×3］；

四棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0＋［（1＋0）×4］＋［（2＋1）×4］＋［（3＋2）×4］＋［（4＋3）×4］＋……＋［（ n ＋ n -1）×4］；

五棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0＋［（1＋0）×5］＋［（2＋1）×5］＋［（3＋2）×5］＋［（4＋3）×5］＋……＋［（ n ＋ n -1）×5］；

六棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0＋［（1＋0）×6］＋［（2＋1）×6］＋［（3＋2）×6］＋［（4＋3）×6］＋……＋［（ n ＋ n -1）×6］。

依照归纳法，得棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量定理为：棱锥体数的“点之间形成的三角形”的量=0＋［（1＋0）× L ］＋［（2＋1）× L ］＋［（3＋2）× L ］＋［（4＋3）× L ］＋……＋［（ n ＋ n -1）× L ］

（式中 L 表示棱的量， L ≥3， n 表示扩延次数）

3.6 棱锥体数可置换为圆形图来表达

笔者研究结果表明，依照拓扑原理，遵循棱锥体数的循序逐增规律，棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量，可以置换为圆形图来表达。如图2-31，是表达三棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的圆形图；如图2-32，是表达四棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的圆形图；如图2-33，是表达五棱锥体数及其“点之间形成的三角形”的量的圆形图。其余略。