下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
任何事物都有正反两个不同的方面，只看到正面或者反面都是片面的。只有既看到正面又看到反面，看到正反两个方面的联系和转化，才能了解事物的整体和全貌。关注事物的正反两个方面之间的联系和转化，这样的学习方法就是正反之间的联系转化法。当我们改变思维方向的时候，就出现了正向思维与反向思维。
这种学习方法要求我们从正反两个不同的方面来理解知识之间的关系。满足某些条件是什么样子？不满足这些条件又会怎样？正面是否可以转化为反面？反面又如何转化成正面？只有回答了这些问题，才能真正理解所处理的知识对象。
例如，勾股定理的条件是直角三角形。如果不是直角三角形，则会怎样呢？比如，钝角三角形和锐角三角形会如何？利用勾股定理，从直角三角形的条件出发，可以推知三条边之间的平方和关系，那么反过来是否也正确呢？也就是说，勾股定理的逆命题是否也成立？在学习勾股定理的时候，我们就要用这些问题来问自己。只有正确地回答并理解了这些问题，我们才能较好地理解勾股定理。
有一种很特殊的逻辑推理方法，就是所谓的反证法。该方法从假设结论不成立出发推出一个矛盾的结果，由此可以断言原结论的正确性。反证法实际上是正反之间的联系转化法的一个特例，因为它是从结论的反面抵达了结论的正面。
例如，我们可以通过反证法证明
是无理数。
假设
是有理数，可以令
，其中
是正整数。如果
有公因数，那么它们可以约分。因此，可以假定
已经不能再继续约分了。
将等式
的两边平方后得到
，即
。可见，
是一个偶数，进而得知
是一个偶数。于是，可以假设
并将其代入
中，化简后得到
。可见，
是一个偶数，进而得知
是一个偶数。
现在，
和
都是偶数，因此它们可以继续约分。前面已经说过，
和
已经被约分到不能继续约分了。这就产生了矛盾。之所以产生这个矛盾，是因为我们假设
是有理数。可见，这个假设是错误的，即
不是有理数，而是无理数。
在研究一些例题和习题的时候，我们也可以通过删除或者增加一些条件来看问题是否还能够解决。这实际上也是以一种特殊的方式采用正反之间的联系转化法，因为我们是从有无某些条件的反面出发来研究结论的正确与否，从而理解正面条件的必要与否。
正向思维与反向思维是相对的。如果规定某个方向是正向思维，那么相反方向的思维就是反向思维。正向思维通常与常规思维相对应，而反向思维则往往是批判性思维、创新思维。我们既鼓励正向思维训练，也特别重视反向思维能力的培养，因为后者是创新的源泉和发展的动力。
爱因斯坦的这个思想实验可以视为反向思维的经典例子：正在上升或下降的电梯里的球掉到似乎静止的地板上，等同于地板撞向似乎静止的球。
在数学史上，非欧几何的产生是一个成功地利用反向思维的十分典型的例子。
欧氏几何的第五公设就是所谓的平行公理，它等价于下述命题：在平面上，过已知直线外的一点可以作唯一的直线平行于已知直线。非欧几何就是通过摒弃该公设而得到的新几何学，主要包括罗巴切夫斯基几何与黎曼几何。前者是由俄国数学家尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（1792—1856）于1826年创立的，而后者则是由德国数学家伯恩哈德·黎曼（1826—1866）在1854年创立的。
罗巴切夫斯基几何将平行公理换成下列公设：在平面上，过已知直线外的一点可以作两条不同的直线平行于已知直线。黎曼几何将平行公理换成下列公设：在平面上，任何两条直线都相交，因此过已知直线外的一点不可能作出一条直线平行于已知直线。黎曼几何中还有另外一条公理：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
我们知道，在欧氏几何中，三角形的内角和等于180°。那么我们可以质疑该定理吗？事实上，在非欧几何中，这条定理并不成立。在罗巴切夫斯基几何中，三角形的内角和小于180°，而在黎曼几何中，三角形的内角和大于180°。为了让大家理解后者，这里考虑球面上的三角形。
假设将一个西瓜按照互相垂直的三个方向切三刀，就可以得到一个球面三角形 ABC ，其中三个角都是直角，如下图所示。因此，该三角形的内角和等于
。
我们看到，非欧几何有太多不合常规的东西。之所以认为它们不合常规，是因为我们将欧氏几何绝对化了，头脑过于僵化了。其实，在其他一些几何模型中，我们会看到这些“非常规”的东西的合理性。爱因斯坦利用黎曼几何成功地创立了广义相对论，无可辩驳地证明了非欧几何的威力。但是，如果没有反向思维，没有挑战传统的精神、思想和勇气，是不可能创造出非欧几何这种非凡的数学理论的。
在平时的学习中，我们既应该重视正向思维，又必须重视反向思维，并特别强调二者的有机结合。