第2节
联系法与转化法

如前所述，学习数学的重要方法就是建立联系，通过联系来理解知识，通过联系来记忆知识。知识之间的联系为思维的转化提供了条件。因此，联系法和转化法如影随形。

1．新旧之间的联系与转化

每当我们学习新知识的时候，实际上就会面对新与旧这一对矛盾。此时，新旧知识之间的联系与转化就成为重要的学习方法。我们可以通过旧知识来理解新知识，也可以借助新知识更加深入地理解旧知识。一旦可以用新知识来刷新旧知识，旧知识就是新知识；一旦理解了新知识，新知识也就变成了旧知识。这就是新旧知识之间的转化。

例如，假设你已经会解一元一次方程，现在刚刚开始学习二元一次方程。相对而言，前者是旧知识，后者是新知识。为了理解后者，就要注意它与前者的关系。事实上，解二元一次方程的基本思想就是将二元化成一元，即将后者转化为前者。

看一个例子。下面给出一个二元一次方程组：

为了消去变元 ，我们可以将上述两个等式相加，从而得到

这是一元一次方程，我们很容易求得其解为

再将这个结果代回到原来的第一个方程中，就得到

这是关于 的一元一次方程，我们可以解得

因此，原来的二元一次方程组的解为

我们看到，为了求解二元一次方程组，只需将其转化成一元一次方程。这就是新旧知识之间的转化。如果我们的头脑中有新旧转化的思想，就很容易学习新的数学知识。

以上是旧知识帮助我们理解新知识的例子。下面来看一个通过新知识刷新旧知识的例子。

我们知道，三角形的面积等于底与高的乘积的一半，这是小学数学中的知识点。可是，为什么是这样呢？这是因为三角形的面积等于相应的平行四边形面积的一半。如果我们有了初中数学中关于三角形全等的新知识，就可以理解平行四边形可被对角线分割成两个全等的三角形，或者反过来，两个全等的三角形可以拼合成一个平行四边形，如下图所示。由此才能真正明白为什么三角形的面积等于平行四边形面积的一半。

进一步的问题又来了，为什么平行四边形的面积等于底与高的乘积呢？这是因为可以通过割补的方法将任何一个平行四边形变成矩形。然而，只有借助三角形全等的知识才能严格说明平行四边形与相应矩形的面积相等（见下图）。总之，有了三角形全等的新知识，才能真正理解三角形的面积公式。

2．动静之间的联系与转化

数学体现动静之美。体察动静之间的联系与转化，是学习数学的良好方法和一大窍门。

数学中的任何公式和定理都是在某些变化的条件之下给出的某种固定的规律，这是动中有静；任何给定的公式和定理总是适用于许多变化的情况，这就是静中有动。我们要体会这种动静结合的美妙，以便加深对相关结论的理解。

例如，随便画出一个三角形，它的三个内角的大小似乎有无限种变化的可能，如下图所示。但是，这里也有不变的东西，那就是同一个三角形的三个内角之和等于180°。

为了理解这个结论，我们可以通过构造平行线，将一个三角形的三个内角转化到同一个顶点处，如下图所示。

在上图中，由于平行线的内错角相等，我们有 ， 。因此， 。

在上述的分析过程中，我们运用了转化法，将分散在三个顶点处的三个内角转化到了同一个顶点 A 处。之所以可以实现这种转化，是因为角的大小并没有发生变化。这里体现的就是动静结合的美妙。

有一些习题需要处理动点、动直线、抛物线族、双曲线族等动态问题。这类问题最好的解决办法就是化动为静。例如，对于将军饮马问题，可将一些变化的折线长度转化为一条固定线段的长度。也有一些静态问题可以通过动态的方法来解决，这就是化静为动。例如，可以通过方程和函数来确定某些具体的数值或者关系。无论是化动为静还是化静为动，都是动静转化法。

3．抽象具体转化法

抽象代表一般，是对具体事物的概括和总结，涵盖了众多特殊事物，也凝结了人们对于这些事物的共性的认识。如果离开了这些具体的事物，抽象的概念就难以捉摸。而一旦将概念与具体的事物联系起来，这些原本抽象的东西就变得容易理解和把握了。

例如，对于前面提到的三角形的内角和等于180°的问题，我们如何才能够有一个简单、直观的认识呢？这里告诉大家一种非常简单的方法，那就是用一条对角线将一个正方形分割成两个全等的三角形，如下图所示。

由于正方形的每个角都是直角，等于90°，因此它的内角和等于360°，所以经平分后得到的两个三角形的内角和都等于180°。这里的三角形实际上是等腰直角三角形，非常特殊。以上说明不能当作证明，但的确是一种十分有效的理解方法，使得我们比较直观地感受到三角形内角和的大小。这就是将抽象的概念具体化的益处。

对于正比例函数、反比例函数、二次函数等相对抽象的概念，我们可以通过一些具体的例子来理解。

例如，在同一时间和地点，物体的高度与其影子的长度构成正比例函数，物体越高，影子越长。如下图所示，物体 AB 的高度是 A ′B′ 的高度的两倍，其影子 B C 的长度也恰好是影子 B ′ C ′ 的长度的两倍。

又如，匀速走完固定路程的时间与速度构成反比例函数，速度越快，所需时间越短，反之亦然。假设小明同学从家到学校一般需要20分钟，如果某一天由于交通原因，他的平均速度只有平时速度的一半，那么他就需要40分钟才能到学校。

再如，圆的面积公式为 ，这是半径 的二次函数。若半径等于1，则圆的面积等于 ；若半径等于2，则圆的面积等于 ；若半径等于3，则圆的面积等于 。

抽象化意味着对具体事物之间的共性的把握，是认识事物的一种重要方式，也是学习的重要手段。如果只认识具体的事物而不会抽象，我们对于事物的认识就无法获得飞跃，我们的思维水平就得不到应有的提高。

例如，我们容易理解如下事实：匀速走完固定路程的时间与速度成反比，完成某项工作的时间与工作效率成反比，一定面积的矩形的长与宽成反比，固定电压下的电流与电阻成反比，天平平衡时两端物体的质量与两端到支点的距离成反比……如果我们不能由此抽象出反比例函数的概念，那么我们对于这些事实的认识就永远是孤立的、零星的，永远停留在具体的层面。因此，我们应该通过分析、比较、归纳等来对同一类事物加以抽象。

以上我们谈论了两个方面，具体化使我们的认识从抽象到具体，抽象化使我们的认识从具体到抽象。由抽象到具体，再由具体到抽象，不断反复，随之而来的就是理解的不断深入和问题的不断解决。

数形结合是数学学习中经常采用的方法之一，实质上是抽象具体转化法的一个特例。数量关系比较抽象，几何图形比较具体和直观，然而二者可以相互对照、相互联系、相互转化。将二者有机地结合起来，不仅可以理解知识和解决问题，还可以让我们通过这种相映成趣的关系体会数学的美妙。

在统计学中，我们经常用饼图、柱形图、直方图等各种直观的图形来呈现抽象的数据，这是数形结合的典型例子。例如，某班学生投票选举班长，甲、乙、丙、丁4位候选人以及其他学生的得票情况如下表所示。

上表中的数字可用以下饼图表示。

上表中的数字也可以用以下柱形图表示。

下面看一道例题。为了求 的最小值，可以采用数形结合的方法，将问题转化为求数轴上的点 ，使其到点 与 的距离之和最小。参看下面的两个图，其中一个表示点 在区间 以外，另一个表示点 在区间 以内，后者取得最小值。

显然，当点 位于点 与 之间时，距离之和最小，而且这个最小距离就是点 与 之间的距离。因此， 的最小值为3。我们看到，用数形结合的方法解决该问题直观明了。 TmTEQ4oTCAGWKVmBct+h3F7oYTUzmwUC5ODnGakKM5JqUwMFQ9cmylC8x0D/FHq4