下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
学生要自主学习数学，必须了解数学学习方法；家长要指导孩子学习数学，也必须了解数学学习方法。这是因为学习方法直接决定了学习效果。学习得法，事半功倍；学习不得法，事倍功半。数学学习方法，简言之，贵在理解，适当记忆。
所谓理解，就是把握知识之间的联系，既能由此及彼，又能由彼及此，做到纵横交错、新旧交融、融会贯通。围绕某个知识点，所挖掘和掌握的与其他事物的联系越多，越巧妙自然，越新颖奇特，理解便越深刻。也可以说，理解就是联系。
一要注意正反联系。既要以正观反，又要以反察正，正正反反、反反正正，如此才能明辨是非。譬如锐角、直角和钝角，不知锐何以知钝，不晓钝又何以晓锐？又如平行与相交，两条相异直线不相交就意味着平行，不平行就必然会相交。正反相互比较、相映成趣，使得概念更加清晰明了。
二要注意虚实联系。既要由实及虚，又要由虚及实，虚虚实实、实实虚虚，唯此方能对概念理解得深入而透彻。譬如，三角形的概念为头脑中的观念，可视之为虚，而文具盒中的三角板则为实，虚实互映，合二为一，于是三角形的概念在我们的头脑中就真切无比。
三要注意动静联系。既要静中观动，亦要动中察静，动中有静、静中有动、动静结合、动静自如，唯此才能静不僵化、动不晕眩。条件变化如大江东流，蜿蜒曲折，而定理和公式等则如中流砥柱，坚不可摧。譬如，三角形的三个边长可以有无穷的变化，然而其中有定律，即两边之和大于第三边；三角形的三个内角亦有无穷的变化，然而180°是其内角和不变的定数。“天高地迥，觉宇宙之无穷；兴尽悲来，识盈虚之有数。”数学中包含无穷的变化，然而体悟这些变化并玩味其中的不变与定数，自然不是悲苦，反而是快乐的事情。
说到变与不变，就要提到同与不同，因为同就是不变，而变就是不同。理解数学，要善于同中求异、异中求同。比如，全等的两个图形对应的局部都相等，然而它们可能具有不同的位置关系而难以辨识。我们在学习过程中要注意观察各种变化的情形并积累相关经验。全等与相似的关系就是异同关系最好的注脚之一：全等的两个图形必然相似，其边长对应成比例；但相似未必全等，因为比例系数一般不是1。
关于同者，我们要特别提到平行与对称。平行与对称，实际上就是在不同的方位、不同的角度或者不同的场景下展示相同或者相似的元素或内容。注意，这里所谓的平行与对称包括但不限于几何学中的平行与对称概念。平行与不平行、对称与非对称，是艺术与数学中普遍存在的一种美，也是数学学习中应该特别重视的地方。
譬如，两条平行线所对应的内错角相等，这个结论可以根据对顶角相等并结合平行的观点而获得。譬如，圆的切线与半径垂直，如果想象一个篮球被静置于地面上，就容易从对称的观点看到这个垂直关系的必然性。再如，在圆中，等弧对等弦，等弦对等弧，圆的直径平分其垂直弦，垂直平分弦的另一条弦必然是直径……对于这些定理，都可以由圆的高度对称性而获得直观的理解。在代数中，二次多项式的两个根之间也有一种对称关系，就是它们的和与积与它们的顺序无关，而且从函数图像上看，这两个根恰好关于抛物线的对称轴对称。许多代数公式也都展现出形式上的对称美。
要理解和欣赏数学，就应该特别注意数学的平行美与对称美，这是自然界中的平行美与对称美所折射出的绚烂光彩。“木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。”“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红。”“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色。”“窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船。”如果说自然界的美因季节而变换，那么数学的平行美、对称美则四季皆然，千古不变。
在谈及上述思想方法的具体运用时，我们应该学会使用类比法与归纳法。
所谓类比，就是将从一种事物中发现的某种规律平行地推移到另一种事物上。比如，平面上的一个点到原点的距离的平方等于该点的两个坐标的平方和。将该结论类比到三维空间中，则有：一个点到原点的距离的平方等于它的三个坐标的平方和。类比，让我们能够比较自然地获得新知识，理解新知识。
所谓归纳，就是从一些具体的结论出发总结出一般的结论。
例如，在同一平面内，一条直线将平面分割成两个不同的区域，两条直线将平面至多分割成4个不同的区域，3条直线将平面至多分割成7个不同的区域，4条直线将平面至多分割成11个不同的区域。你看到其中的规律了吗？我们注意到
，
，
，即每次都是用先前的区域数量加上当前直线的条数。假设
（
）条直线将平面至多分割成
个不同的区域，则可以得到：
。之所以能够有效地进行归纳，正是因为我们能够看到不同的具体对象之间存在一些类似的或者说平行的关系。因此，归纳有助于探索、发现，有助于理解、学习。
数学，一般理解了就记住了，但对于个别公式、定理和方法，还是应该有意识地加以记忆。
所谓记忆，就是将知识要点存储在自己的头脑中，在需要的时候能够及时、准确地提取和调用。记忆的最好方法就是形象记忆加上适当的反复。
根据德国心理学家艾宾浩斯的保持曲线，我们可以制定时间间隔越来越长的复习策略，比如时间间隔可以是5分钟、20分钟、1小时、12小时、1天、2天、7天、14天等。在复习过程中，要伴随回忆法与自问自答。所谓形象记忆，就是要善于将所要记忆的内容形象化，让其有声有色，充满画面感与动感。
要善于精简所欲记忆的内容，或者善于通过特殊情形来记忆一般内容，这样可以降低记忆成本，提高记忆效率。如要记住勾股定理，只需记住直角三角形的形状以及“勾三股四弦五”这个具体的例子即可。若要记住一些特殊的三角函数值，则首先需要记住文具盒中的两种三角板（见下图）以及勾股定理。
上面的第一个图形是等腰直角三角形，除了直角以外，另外两个角都是45°。若两条直角边的长度为1，则斜边的长度为
。于是，我们得到
，
。
若要记住韦达定理，则只需记住“二次方程的两个根的和与积”这句话以及
这个具体的例子。在这个例子中，两个根显然是2和3。可见，两个根的和等于5，积等于6，而
。
又如，对于切割线定理，目前暂时不要求你理解，只需要记住它。你只需记住一个圆加上一条割线和一条切线的图形（见下图），并注意在圆外的那个点到圆周上的三个点的距离中，切线长居中（比例中项）；或者圆外的一点到圆周上的两个割点的距离之积是常数，而当割线变成切线时，两个割点就重合在一起变成了切点，因此切线长需要平方。
记忆的关键是形象化，而形象化的方法包括特例法、联想法、串联法、编码法、记忆宫殿法、思维导图法等。关于编码法，我简单地谈一下数字编码，就是将100以内的自然数逐一进行编码，主要通过读音或者字形的特点将它们对应到特定的具体事物上，然后借助这些编码来记忆其他内容。记忆宫殿法就是在头脑中想象一些熟悉的地点（仿佛罗列的宫殿一般），然后将所要记忆的内容依次放入其中。该方法可见于意大利传教士利玛窦的中文著作《西国记法》，此人与中国明朝数学家徐光启合作翻译过欧几里得的《几何原本》前6卷。
1974年，英国人托尼·博赞在他主持的电视节目《使用你的大脑》中第一次介绍了思维导图，并在1995年出版了《思维导图》一书。思维导图是一种围绕一个主题逐渐展开各级相关主题的树状结构图，它利用文字、线条、颜色、图像等展现各个主题以及它们之间的关系，完美地契合了人类的发散思维，成为人们思考和记忆的利器。
对于这些记忆方法，我们可以有选择性地、灵活地加以运用。通常在归纳整理一个章节的内容时，可以运用思维导图。
简而言之，数学学习方法以理解为主，记忆为辅。理解的核心乃是联系，记忆的关键就是形象。所谓形象记忆法，就是建立知识点与形象之间的对应关系，本质上也是建立联系。
因此，一言以蔽之，学习之法就是联系之法。新旧联系、正反联系、虚实联系、动静联系、异同联系、局部联系整体、具体联系抽象、未知联系已知……千丝万缕、错综复杂、精彩纷呈，势必带给你无限的愉悦。
这种愉悦完全不亚于倾听中国古曲《高山流水》和贝多芬的交响乐《命运》，不亚于阅读王勃的《滕王阁序》和观赏王羲之的《兰亭序》，也不亚于欣赏张择端的《清明上河图》和达·芬奇的《蒙娜丽莎》。虽然这些艺术门类不一，然而其中的动静、虚实、正反、大小、开合、明暗等都呈现出对立的统一、统一的对立。这与数学学习方法有异曲同工之妙。
从这个意义上说，数学学习实际上就是一门艺术。联系与转化总是包括一对对矛盾，如正与反、新与旧、大与小、抽象与具体、特殊与一般、已知与未知，等等。运用对立统一的规律，将这些矛盾的方面在头脑中紧密地联系起来并实现它们彼此之间的转化，就是数学学习的艺术。
本书试图以初中数学为背景，阐述数学学习的艺术，让孩子们体会数学学习的乐趣，同时也让家长们获得指导孩子学习数学的有效方法。