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本节讨论有理数的乘方与开方运算，所得结果分别叫作方幂与方根。这些重要的代数运算已经属于初中数学的内容。
所有的因子都相同的乘法运算叫作乘方运算，相同因子的个数叫作指数或方次数，这个相同的因子叫作底数，运算的结果叫作方幂（简称幂）。
对于给定的有理数
与正整数
，
的
次方（或者叫作
次方幂）记为
，定义如下：
，
其中
叫作底数，
叫作指数或者方次数。
例如，2的四次方为
。
的五次方为
。
的三次方为
。
的二次方为
。
二次方也叫作平方，而三次方也叫作立方，这是因为正方形的面积恰好等于边长的二次方，而立方体的体积恰好等于棱长的三次方。
乘方运算的底数可以推广到任意实数。
首先讨论同底数的两个方幂的乘积。
例如，
与
的乘积等于什么？因为
，
，
所以
，
即
。
一般地，我们得到如下性质。
性质（1）：
。
这条性质告诉我们，同底数的两个方幂的乘积还是同底数的方幂，而指数等于原来的两个指数之和。简言之，幂相乘，指数和。
其次，我们看同底数的两个方幂的除法。
根据上述例子，立即得到
，
即
。
一般地，我们得到如下性质。
性质（2）：
。
这条性质告诉我们，同底数的两个方幂的商还是同底数的方幂，而指数等于原来的两个指数的差。简言之，幂相除，指数差。
接下来，我们研究一个方幂的方幂。以
的三次方为例，有
。
可见，
。
一般地，我们得到如下性质。
性质（3）：
。
这条性质告诉我们，某个底数的方幂的方幂还是同底数的方幂，而指数等于原来的两个指数的乘积。简言之，幂之幂，指数积。
下面研究将底数分解为两个数的乘积时方幂的变化规律。
若底数为
，则其
次方为
因此，我们得到如下性质。
性质（4）：
。
类似地，我们还可以得到如下性质。
性质（5）：
。
以上两条性质表明：若底数相乘或相除，则幂也跟着相乘或相除。简言之，底乘除，幂乘除。
最后，我们看一道例题。
【例】
计算：
。
解：
首先，计算
。
其次，计算
和
。
，
，
。
。
因此，原式等于
开方是乘方运算的逆运算。粗略地讲，从一个方幂求其底数的运算就叫作开方运算，而所求得的结果就叫作方根。
设
是一个给定的实数，
是一个正整数，若实数
的
次方等于
，即
，则
称为
的
次方根，当其唯一时可以记为
。二次方根也叫作平方根，三次方根也叫作立方根。非负的平方根叫作算术平方根，记为
。因此，对于任意的实数
，有
例如，因为2的三次方等于8，所以2是8的立方根。因为
的平方等于9，所以
是9的平方根，而其中的
是9的算术平方根。0是0的算术平方根，也是0的立方根、四次方根等。
是1的二次方根、四次方根、八次方根等。
将根号下的数换成任意的代数表达式，得到的就是根式。如
是一个二次根式。
根据方根的定义，我们立即得到如下性质。
性质（1）：
。
设
，
，则
，
。于是，
（注意，这里省略了乘号）。因此，
，故有如下性质。
性质（2）：
。
类似地，可以得到如下性质。
性质（3）：
。
设
，
。则
，
。于是，
。因此，
，故有如下性质。
性质（4）：
。
对于方根，重点要求掌握二次方根与三次方根。注意，上述 a 和 b 的取值范围应保证根式有意义。
【例】
化简：
。
解：
