第1节
分数的运算与重要性质

分数是中小学衔接阶段的重要知识点，它使得数系的概念从整数扩大到了有理数，且与除法、比、比例、有理数、分式等概念密切相关，具有许多很有趣的性质。对于从小学生到初中生的蜕变，分数是一个非常合适的突破口。

1．分数的基本性质

如果将一个月饼平均分成2份，那么其中的1份就是 个月饼；如果将一个月饼平均分成4份，那么其中的2份就是 个月饼；如果将一个月饼平均分成6份，那么其中的3份就是 个月饼。由于每次都刚好是半个月饼，上述3个分数是相等的，即

由此得到

可见，分子与分母乘以相同的数，所得的分数是相等的。反过来，分子与分母除以相同的数，所得的分数也是相等的。这就是分数的基本性质。

将分数的基本性质写成公式就是：若 与 都是非零的整数，则 。

例如，根据该性质，有

…。

2．分数的运算

分数可以做加法、减法、乘法、除法等基本的算术运算。

六等分一个月饼，先从中取出2份，再取出3份，那么两次一共取出了5份。用分数的语言叙述这个过程就是 个月饼加上 个月饼等于 个月饼。由此，我们得到

可见，同分母的两个分数之和等于同分母的分数，其分子是原先的两个分子之和，写成一般的公式就是

由于 ，由前述等式还可以得到

可见，分母不同的两个分数之和可以化成分母相同的两个分数之和。将两个分母不同的分数化成分母相同的分数的过程就叫通分，其理论根据就是分数的基本性质。

任何两个分数一定可以通分。

例如，为了将分数 与 通分，只要将第一个分数的分子和分母同时乘以5，而将第二个分数的分子和分母同时乘以3即可。事实上，有

为了考虑分数的乘法，先看分数与整数的乘法。

例如， 就是3个 相加，即

由此得出

（1）

再看分数与另外一个单位分数的乘积。

如果将一个月饼七等分并取其中2份，就得到 个月饼。 相当于取 个月饼的 。如何取得这 呢？我们知道， ，这相当于将一个月饼平均分成21份并取其中的6份。6份的 就是2份。因此， 等于 ，即

由此得到较为一般的结论：

（2）

将式（1）与式（2）合起来，便得到两个分数相乘的方法：

（3）

可见，两个分数相乘，分子乘以分子，分母乘以分母即可。

最后看分数的除法。

因为 除以3就是 乘以 ，所以

反过来， 除以 等于 ，即

可见

将这两个公式合起来，便得到两个分数相除的一般方法：

称为 的倒数。我们看到，互为倒数的两个分数的分子和分母恰好颠倒过来了。例如， 与 互为倒数。上面的除法公式意味着除以一个分数，等于乘以其

倒数。例如，

最后一步叫作约分（分子和分母同时除以大于1的数），将分数化成了最简分数 。所谓最简分数就是不可以再约分的分数。

3．分数与比的关系

分数与比有着密切的关系。两个数的比值与对应的分数相等，即

如果两个比的比值相等，即

那么就说这4个数 ， ， ， 成比例，其中 ， 叫作比例的外项， ， 叫作比例的内项。例如1∶2=3∶6，因此1，2，3，6成比例。

既然比值实际上等于分数，4个数 ， ， ， 成比例就等同于相应的分数相等，即

在上述分数等式的两端同时乘以 ，得到

可见，若4个数成比例，则外项的乘积等于内项的乘积。

该结论反过来也对，我们只需将上述推导过程反过来即可。

用分数的语言叙述： 等价于 ，即两个分数相等等同于4个数的交叉乘积相等。

4．分数的其他有趣性质

我们假定数 A ， a ， B ， b 均不为0，且 ， 。

反比性：若 ，则 。

反比性用比例的语言叙述就是比例的前后项颠倒，4个数保持成比例；用分数的语言叙述就是分子和分母颠倒，两个分数仍然相等。例如，既然 ，就有 。

假设 ，则根据分数的基本性质，有 ，即 。因此， ，反比性得证。类似地，可以证明如下的同比性。

同比性：若 ，则 。

结合反比性，还可以进一步推出 。

同比性用比例的语言叙述就是比例的内项（或者外项）交换次序，4个数保持成比例；用分数的语言叙述就是分子构成的分数等于分母构成的分数。例如，既然 ，就有 。

如下图所示，将成比例的4个数依次放置在正方形的4个顶点，那么由反比性与同比性可知，平行对边所对应的4个数都成比例。

合比性：若 ，则 。

在等式 的两边同时加1，立即得到 ，合比性得证。该性质表明：分子加上分母后，等式仍然成立。

分比性：若 ，则 。

在等式 的两边同时减去1，立即得到 ，分比性得证。该性质表明：分子减去分母后，等式仍然成立。

利用反比性，将合比性与分比性合起来，就得到如下的合分比性。

合分比性：若 ，则 。

例如，因为 ，所以 ，即 。

等比性：若 ，则 ，其中 是除0外的任意整数。

例如，既然 ，就有 ，即 。 NIa3uLbxClT6hpncXVfTGtSdKnzKgR2O3heMfyMsAu60k0fImffVnZStyoR0xOyr