第三节
二项分布和泊松分布

离散型随机变量的特点取值是有限个可能值，而且是以确定的概率取这些值，因此，可以列出所有取值与相应的概率用表格形式表现它们的概率分布。如果一个离散型随机变量的概率分布能用一定的公式表达，就可以根据这一分布计算出随机变量任意值的概率。常用的离散型概率分布有二项分布（binomial distribution）和泊松分布（Poisson distribution）。

一、二项分布

二项分布是基于贝努里（Bernoulli）试验的分布。贝努里试验是一种重要的概率模型，是历史上最早研究的概率论模型之一，常用于率的抽样研究。有下面两个特点的试验称为贝努里试验，即：①对立性：每次试验的结果只可能是 A 或 。②独立重复性：每次试验的结果互不影响，且

掷币（掷正与掷反）、射击（击中与不中）、动物试验（存活与死亡）、药物疗效（有效与无效）、化验结果（阳性与阴性）等，都是在重复进行贝努里试验。

【例4-3】 某药治某病的治愈率为 p ，求治5例愈3例的概率。

解： 设 A =｛治愈｝， B =｛治5例愈3例｝。由于 P （ A ）= p 、 =1- p = q ，可以得到：

一般地，若贝努里概率模型中 P （ A ）= p ，则事件 A 在 n 次试验出现 k 次的概率函数为：

则称 X 服从参数为 n 、 p 的二项分布，记为 X ～ B （ n ， p ）或 X ～ B （ k ； n ， p ）。

二项分布的均数和方差分别为：

实际问题中，常根据贝努里概率模型判定二项总体，若 P （ A ）= p ，则事件 A 在 n 次试验的出现次数 X ～ B （ k ； n ， p ），概率函数 是（ p + q ） ⁿ 二项展开式的第 k +1项。

在 p =0.5时， ，二项分布的概率函数图是对称的。

同正态分布一样，二项分布也有分布函数 F （ k ），其意义是随机变量累积概率，附表8二项分布函数表列出了在 n ≤20时的累积概率。直接查附表8，概率函数 p （ k ）化为 F （ k ）计算，即

【例4-4】 据报道，10%的人对某药有肠道反应。为考察此药质量，任选5人服用此药。（1）若报道属实，求无肠道反应的人的概率；（2）若试验结果有多于2人出现肠道反应，试说明此药质量。

解： 设 A =｛有肠道反应｝。若报道属实，则 P （ A ）=0.1，5人服药有肠道反应的人数 X ～ B （ k ；5，0.1），查附表8得到：

（1） P （ X =0）= F （0）=0.5905

（2） P （ X ＞2）=1- F （2）=1-0.9914=0.0086

概率0.0086很小，说明事件｛ X ＞2｝出现的可能性很小。但现在事件｛ X ＞2｝出现，则可以认为10%的人有肠道反应的报道是值得怀疑的。

二、泊松分布

法国数学家泊松（S.D.Poisson，1781-1840年）在1837年提出的一种离散型随机变量的概率分布，它用于描述“一定时间或空间区域或其他特定单位内某一事件出现的次数”，也称稀有事件的频数分布。如生三胞胎次数、患癌症人数、自然死亡人数、水中的大肠杆菌数、大气粉尘数、显微镜下微粒个数、放射粒子个数、大量产品中的次品数、摇奖中的一等奖等。泊松分布的前提条件是：①事件的发生是独立的。②事件发生的概率是稳定的。③事件发生的概率是很小的。

若随机变量 X 的概率函数为：

则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布，记为 X ～ P （ λ ）或 X ～ P （ k ， λ ）。

实际问题中，贝努里试验在 n ≥50、 p ≤0.1时，可认为是泊松总体，事件 A 出现的次数 X ～ P （ k ， λ ）。在 n 、 p 已知时取 λ = np ，在 n 、 p 不全知时取 λ =平均数/单元。

泊松分布的均数和方差相等是 λ 。

附表9给出了泊松分布函数表，其意义也表示随机变量累积概率，概率函数 p （ k ）化为 F （ k ）计算，即 p （ k ）= F （ k ）- F （ k -1）

【例4-5】 假如新生儿发生生理缺陷的概率是1‰，如果某产院接生500名新生儿，求：（1）至少有1名新生儿有生理缺陷的概率是多少？（2）不多于2名新生儿有生理缺陷的概率是多少？

解： 设新生儿有生理缺陷的人数为 X ， λ = nπ =500×1‰=0.5， X ～ P （0.5），查附表9得：

（1）至少有1名新生儿有缺陷的概率是：

（2）不多于2名新生儿有缺陷的概率是： kobHqK0nDoAa2D7rfntGQ1mvD8mbxrB9Gx5qEp79Mj6GdjWkuh6LlQ+kRAlhfi2o