第一节
正态分布

在医学研究和卫生决策中的指标都可视为一种随机变量（random variable），它是用数值来描述研究结果，它的取值事先不能确定，具有随机性。例如抛掷一枚硬币，其结果就是一个随机变量 X ，因为在抛掷之前并不知道出现正面还是反面，若用数值1表示正面向上，0表示反面向上，则 X 可能取1，也可能取0。

随机变量按照取值分为离散型和连续型两种类型。取值为有限可数值，称为离散型随机变量（discrete random variable）。取值为一个或多个区间中的任何值，称为连续型随机变量（continuous random variable）。概率分布（probability distribution）是描述随机试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率。

一、正态分布概述

正态分布（normal distribution）又称高斯分布（Gauss distribution），是连续型随机变量的一种重要的分布，最初德国数学家C.F.Gauss和法国数学家P.S.Laplace分别于1890年、1812年作为描述相对误差与相对频数分布的模型而提出，并建立了误差理论。正态分布的理论有着广泛的应用，如医学参考值范围的确定、三大经典理论分布的推导等。人们将高峰位于中央、两侧逐渐下降并完全对称、两端理论上不与横轴相交的钟形曲线，称为正态曲线（normal curve），表示正态曲线的函数称为正态概率密度函数。在医药卫生领域中有许多指标都可以用正态分布来描述。

若随机变量 X 服从正态分布，记为 X ～ N （ μ ， σ ² ）。不同的 μ 值和不同的 σ 值对应不同的正态分布，其概率密度函数所对应的正态曲线如图4-1所示。

从图4-1可以看出，正态曲线是以 x = μ 为对称轴，正态分布是由 μ 和 σ 确定的。 μ 为位置参数，因为它指明了图像的中心位置； σ 为形状参数，决定了曲线的外形，小的 σ 使曲线变得“陡峭”，而大的 σ 使曲线变得“平坦”。

正态曲线下方面积是正态随机变量在特定区间上取值的概率，它的分布有一定的规律，如图4-2所示。

如图4-2左图所示， F （ x ）称为分布函数， F （ x ）= P （ X ≤ x ），表示从负无穷大到 x 的曲边梯形面积，是正态随机变量的累积概率。如图4-2右图所示，曲线下方面积总和等于1， μ ± σ 约占总面积的68%， μ ±1.96 σ 约占总面积的95%， μ ±2.58 σ 约占总面积的99%。

二、标准正态分布

正态分布是一个分布簇，对应于不同的参数 μ 和 σ 会产生不同位置和形状的正态分布，为了便于应用，需要将其转换为 μ =0， σ =1的标准正态变量。设 X 是平均值 μ 、标准差为 σ 的正态随机变量，则有

式4-1为 Z 转换，其目的就是把正态随机变量 X 转换为 μ =0， σ =1的标准正态变量。

图4-3中的阴影部分 Φ （ z ）是标准正态分布函数，它是标准正态随机变量的累积概率，是从负无穷大到 z 处的标准正态分布概率密度函数曲线下的曲边梯形的面积。

任何正态随机变量可以进行标准化，能用标准正态累积概率即分布函数求其概率（正态曲线下的面积），统计学家制定了标准正态分布函数表（附表4），为解决实际问题带来极大的方便。

【例4-1】 设女性高血压患者的舒张压μ=100mmHg，σ=16mmHg，血压 X ～ N （100，16），求：（1） P （ X ＜90）；（2） P （ X ＞124）；（3） P （96＜ X ＜104）；（4）求 x ，使 P （ X ≤ x ）=0.95。

（4）求 x ，使 P （ X ≤ x ）=0.95，首先求 Z 的值使 P （ Z ≤z）=0.95，从附表4查得， Z =1.645，现用 Z 转换反求 x ：

则 x =100+1.645（16）=126.32，大约有95%的女性高血压患者舒张压低于126.32mmHg。

【例4-2】 已知 X ～ N （ μ ， σ ）。求 X 取值在 μ ±1.96 σ 以及在 μ ±2.58 σ 上的概率。

解： 由 Z 转换式4-1得：

查附表4， Φ （-1.96）=0.025， Φ （1.96）=0.975，由对称性得到 X 取值在 μ ±1.96 σ 上的概率为1-2×0.025=95%，即 X 落在 μ ±1.96 σ 上的概率为95%。同理可求得 X 取值在 μ ±2.58 σ 上的概率为99%。