第2课
叙事中的几何学：如何用数学构建一个故事

在2004年的一次公开演讲中，库尔特·冯内古特用“图形”展示了一些小说中常见的故事情节。 第一张图是“陷入困境的男人”。

冯内古特用图形的纵轴表示运势，用横轴表示时间——曲线上升说明福星高照，曲线下降说明时运不济。例如“陷入困境的男人”，我们看到一个原本生活幸福的人突然遭遇厄运，但最终攀上了人生巅峰。可以归入这类故事情节的小说或许包括《大卫·科波菲尔》，这本书还有一个更加完整、响亮的书名——《布兰德斯通·路克雷家的少年大卫·科波菲尔的个人历史、冒险、经历和所见所闻（他从未打算出版这些故事）》。幼年时期的大卫享受着幸福的生活，直到他7岁时母亲嫁给了性格残暴的摩德斯通先生，之后撒手人寰，可怜的大卫成了孤儿。在历经数不清的逆境和试炼之后，大卫最终找到了幸福的人生。冯内古特还列举了另外3张图，摘录如下：

“男孩遇见女孩”显然是大部分言情小说的主题。男孩遇见女孩，男孩失去女孩，男孩最终得到女孩，众人皆大欢喜。这类小说比比皆是，就用简·奥斯汀的《傲慢与偏见》中的简·班纳特和宾利先生的情感纠葛来举例吧。在小说的开篇，简和宾利都过着美满如意的生活。他们相遇并坠入爱河，生活看起来更加幸福了。但是傲慢的达西先生和势利的宾利小姐硬生生把他们分开，二人痛苦的情感历程由此开启。最终达西意识到自己的错误，向宾利吐露实情。宾利立刻回心转意，找到了心爱的女孩，二人从此过上幸福的生活。

相比之下，“灰姑娘”的开篇相当不幸。可怜的灰姑娘整天睡在火炉旁的灰尘里（所以才有了这个名字），没日没夜地为继母和几个凶巴巴的姐姐干活儿。后来命运出现转机，她去参加一个盛大的舞会，遇到了她的白马王子。然而命运多舛，午夜的钟声让一切都消失了。好在她的一只水晶鞋被丢在舞会现场，而她那双骨骼清奇的脚让她成为整个王国里唯一能穿上水晶鞋的女孩。于是她嫁给了王子，幸福指数直冲九霄。

冯内古特的最后一张图是“变形记”，明显指代卡夫卡的黑色幽默作品。你可能还记得格雷戈尔·萨姆萨的故事，一个郁郁寡欢、离群索居的推销员。一天早晨醒来后，他发现自己变成了一只巨大的甲虫（通常被解读成一只蟑螂）。他的生活每况愈下，最后在痛苦和疾病中死去。老卡夫卡真是好样的。

我们或许可以把《变形记》一类的作品放在荒诞主义文学作品优良传统中极度悲观的一端，这种写作风格被作家帕特里夏·洛克伍德不无风趣地描述为“一个男人在乡间别墅变成一勺黑莓果酱的小说”。 ^[1] 要想绘制一张真正荒诞的故事脉络图，再也没有比《项狄传》这部讲述一个超凡脱俗、无拘无束的天才的作品更好的例证了。劳伦斯·斯特恩的这部小说最初分为9卷，从1759年到1767年，历时8年出版完成。故事的讲述者是一位绅士特里斯舛·项狄，他决定写自传，但总有各类人物闯入故事情节，这令他永远都无法完成这项工作，无数离题话和支线情节让他直到第三卷才说到自己的出生。这真是一种既令人兴奋又令人慌乱的阅读体验。在第六卷的结尾处，特里斯舛·项狄绘制了一张迄今为止他的叙事“线”：

他写道，这些是我在第一、第二、第三、第四卷中插入的4条线。在第五卷中，我表现很好——我在里面所描述的准确的线路是这样的：

他声称这是一项了不起的进步：“除了在标有A的曲线处，我去了一趟纳瓦尔，还有锯齿状曲线B，我在那儿和博西耶小姐及她的助理短暂地待了一段时间，其他时间我一点儿都没有跑题，直到约翰·德·拉·卡斯的魔鬼们领着我绕过你看到标有D的圆，至于c c c c c，它们只不过是插入成分。”他说：“如果我以这样的速度弥补，也不是不可能的，不过此后我可能会达到这样的完美境界，这是一条我能画的尽可能直的线……最直的直线！种白菜的说，阿基米德说，这是从所给的一点到另外一点所能画的最短的线。”

你会高兴听到这个乐观的预测后来完全落空，小说的最后几卷还是像第一卷那样不知所云。

冯内古特的图和项狄狂野的叙事“线”的确很有趣，但在叙事和情节上，还有更复杂、更纯粹的数学方法吗？这一章的标题取自希尔伯特·申克发表于1983年的小说《叙事的几何学》，其中一名学生认为简单的情节“线”只是开始。他找到一种方法，把莎士比亚的《哈姆雷特》与一个四维空间中的“超立方体”联系起来，他认为我们可以把一个故事嵌套另一个故事的情形想象成增加一个维度。申克小说里的主人公弗兰克·皮尔森建议我们采用他所说的“叙事距离”，而不是把时间作为第四维度：

这里有两个相互独立的三维现实版本：《哈姆雷特》这部剧本身，年老体衰的克劳狄斯看着哈姆雷特炮制的剧本在舞台上被演出，内心怒不可遏，还有那部短小精悍的《贡扎古之死》。但是后者处于一个更遥远的位置，无论是对《哈姆雷特》真正的观众来说，还是对舞台上观看这部短剧的丹麦宫廷贵族来说，因为它被表现成一个被杜撰的作品，被嵌套在“真实的”剧情中。这样看来，《哈姆雷特》的这部分情节不仅脱胎于一个四维几何体，而且它的上演采用了超立方体的精确投影形式：一个小舞台位于另一个大舞台的中央。

小说的其余部分极为精巧地在不同的叙事角度间转换，也就是让故事的参照系不断地变化。你最初读到的那部分内容可能会改变你对整个故事情节的理解——这是一个以皮尔森为第一人称叙述的故事，讲述他参加文学研讨会的经历，并引用另一个故事的片段？还是一位作家正在创作一部小说，而其中的主人公恰好是皮尔森？对不同叙事层级的理解或许会让我们反复品味小说的内容，甚至让我们翻回第一页，以不同的顺序或站在不同的角度重新阅读。

莎士比亚在创作《哈姆雷特》时并没有想到超立方体的概念，但是的确有很多作家刻意在他们的故事中添加数学意义上的约束。正如作家埃默·托尔斯在2021年的一次采访中所说 ：“艺术作品中的结构具有极其重要的意义。就像十四行诗的规则对一位诗人来说很有价值一样，诗人运用这些规则并尝试在被限定的范围内去创造一些新鲜、不同的东西，小说的结构也具有同样的意义。”你或许会想，作家为什么要费心劳神地去寻找什么炫酷的结构？为什么就不能踏踏实实地写一个好故事呢？我要说的是，故事与结构并不矛盾。所有的作品从一开始都具有某种结构。语言本身就是由多种元素构成的，不同元素都有自己的规则。字母组成单词，单词组成句子，句子组成段落，等等。这本身就是一种结构，类似于几何学中的点、线、面的层级结构。在每一阶段，我们都有机会添加更多的层级结构，例如，段落与段落结合形成章节。我们需要考虑的问题不是是否让作品依托于某种结构，而是决定选择哪种结构。对于任何一个层级，作家都会选择添加额外的结构约束条件。理想状态下的额外结构，能让作品读起来更自然，更贴合叙事的主题，更符合情节的设计。

让我们从小说中通常会使用到的最高层级结构开始：章节。埃莉诺·卡顿的《明》于2013年出版，这是一项惊人的成就。卡顿是布克奖有史以来最年轻的入围者，28岁的她成为有史以来该奖项最年轻的获奖者。评委称这是一部“炫目而巧妙”的作品，“广博而不杂乱”。书的内容的确包罗万象，832页的长度创下了布克奖获奖作品的篇幅之最。小说的故事发生在19世纪60年代中期，新西兰一个淘金热小镇霍基蒂卡。第一章的标题“球中之球”就带有明显的数学色彩，故事的开篇是探矿者沃尔特·穆迪于1866年1月27日来到霍基蒂卡，无意中参加了12个当地人召开的会议，他们正在讨论近期发生的一系列犯罪活动。之后他被卷入疑窦重重的谋杀、离奇失踪、自杀未遂、鸦片交易等事件，还发现了价值4 096英镑的被盗黄金。

全书共有12章，或者12个部分，每一章的故事都发生在1865年或1866年的某一天。（小说的第一章按时间顺序从故事的中点开始。）参加会议的12个人每个人都与黄道十二宫的一个特定星座存在密不可分的联系。这些人在每一章的言行举止，在某种程度上都取决于这一章发生那一天该星座的宫位。卡顿的确仔细研究过特定日期霍基蒂卡夜空中恒星和行星的位置。顺便说一句，我不认为这是因为她是占星术的信徒。她在书中描述沃尔特·穆迪时说，他“并不迷信，尽管他从其他迷信人士身上能感受到莫大的乐趣”。占星术也好，天文学也好，它们既为搭建这部小说的结构提供了一种方法，也引导读者更广泛地思考书中关于命运、环境与自由意志的相互作用。

《明》的每一章都被分为几个小节，而每一章的小节数与章节数相加都等于同一个数字：13。因此第一章有12个小节，第二章有11个小节，到最后第十二章就只有1个小节。这样的模式，也就是每次固定数量的增加或减少，如同数列12, 11, 10, 9,…, 在数学中被称为“等差数列”。有一个非常简单的技巧隐藏在章节数和小节数相加都等于13的表象之下，那就是整部书所有小节数的总和。把1+2+…+12逐个相加既辛苦又无趣，但如果你综合考虑12个章节，每一章的章节数与小节数之和都是13。所以共有12个13，就是12×13=156。下面这张图左边是章节数，右边是小节数，二者相加都是13。

但这并不是我们想要的数字，因为它还包括了1+2+…+12的章节数。我们只需要取结果的一半：全部小节数就是 （12×13）=78。

这个小技巧就是我最初与数学有关的记忆——母亲在我很小的时候把它教给我，我觉得它太神奇了。她给我讲述了一个（可能是被杜撰的）故事，伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯在上小学时是如何在一天下午打破了老师渴望的平和而又恬静的时光的，当时老师给学生们布置了一项任务，让他们把从1到100的数字相加。显然，年少的卡尔当场就发现了我刚才提到的那个小技巧。如果我们的书有100个章节，每一章有同样规律的小节数，那么1+ 2+…+100的和就是 （100×101）=5 050。（了不起！我不禁为可怜的老师感到一丝难过，他想要的只不过是半个小时的清闲。）

《明》还有一个最有趣也是最引人注目的数学结构特征：每章的长度都是上一章长度的一半。这个约束对整部小说的篇幅具有重要的影响。我们可以用一个长方形来表示第一章的长度（无论以单词数、字符数还是行数、页数为标准测量，差别不是很大），就是这样：

现在，第二章只有第一章一半的长度，于是我们可以把一个一半大小的长方形放在右侧。第三章是第二章的一半，第四章又是第三章的一半。我用下图展示了最初几章的长度：

我们可以继续添加越来越小的长方形，但它们永远不会溢出正方形的外围界限。我在左边的图里添加了第五、第六、第七、第八章，在右边的图里添加了第九到第十二章。

我们正在创造一个美妙的螺旋形视觉效果图，随后的每一章都恰如其分地落入越来越小的剩余空间。这意味着，无论这本书有多少章，书的总长度都小于第一章长度的两倍！此事绝无例外，即便你有100万章。

我们知道这本书有12个章节。那么有没有什么巧妙而又简单的方法，如同我们计算章节数那样，在我们知道第一章的长度之后就能知道整本书的长度？幸运的是，有这样的方法。我们在这里看到的章节长度数列，也就是1， ， ， …，从前一项到后一项不是加或减一个固定的数值，而是乘一个固定的数值（这里就是 ）。它被称为“等比数列”，要把这个数列的所有项加总涉及一个绝妙的方法。接下来我会用公比为 的等比数列举例，因为这就是《明》的章节长度的规律，但同样的方法适用于更普遍的情形。

好吧，我们假设第一章的长度是 L ，无论 L 具体代表什么：页数、字数等等。那么第二章的长度就是 L ，第三章的长度是 L ，以此类推。这本书的总长度就是：

我们可以简化一下，把公因数 L 提取出来，得到：

现在，绝妙的方法要登场了。我们把等式两边同时除以2：

看到了吗？两个等式中都有 ，还有 、 ，直到 。现在我们让第一个等式与第二个等式相减。于是等号左边就是书的长度减去 书的长度，剩下 书的长度。等号右边大部分的项都被抵消掉了，于是我们得到：

再将其乘以2，就得到了我们计算《明》长度的专利公式 。还记得价值4 096英镑的被盗黄金吗？就是它——被嵌入了书的结构！

全书12章的设置，与书中所包含的其他数学结构特征完美地契合。我会证明给你看，章的数量在很大程度上受限于我们的等比数列。请你仔细观察每一章的长度，你会发现它们都与2的幂相关。幂的符号是在数字的右上角添加一个小标记，表示该数字需要自乘的次数。例如2 5 就表示2×2×2×2×2，也就是32。那么要想知道这本书第七章的长度，我们就需要连续6次取第一章长度的一半，用公式表示就是 ，我在前面列出的整本书的长度公式就出现了这个数字。第十二章，也就是最后一章的长度是 。我们可以把最短一章的长度设为 S ，那么对于《明》这本书， L =2 11 S =2 048 S 。全书12章的总长度是 。用2 11 S 替代 L ，就得到 ，而2×2 11 等于2 12 ，就是4 096，于是整个公式被优雅地转化成了（2 12 −1） S 。

接下来我们使用具体的数字，很快就能算出2 12 −1=4 096−1=4 095。这意味着，整本书的长度是最后一章长度的4 095倍。显然，这个长度不能用页数来衡量，因为即使最后一章只有1页，可怜的埃莉诺·卡顿也要创作出一本厚达4 095页的鸿篇巨制。《明》的篇幅的确很长，但还没有那么长。还可以想一想，为什么近期改编的电视剧没有采纳原书的结构，也就是一共12集，每集的长度都是上一集的一半？因为这样一来，即使最后一集的长度只有1分钟，第一集也不得不持续超过34个小时。

一本书如果超过1 000页就很难被装订了，或许更难找到一个心甘情愿出版它的出版社。所以我们暂且把1 000页设为一本书的上限，平均一页有400字，那么一部作品相对合理的字数上限就是40万字。即使最短的章节只有100个字，整本书的字数也会达到100×4 095=409 500字，这已经超过我们给自己设定的上限。我刚刚数了数《明》最后一章的字数，共有95个字，这样算下来整本书应该有389 025个字。我不敢说这是一个准确的数字，因为还有一些可以灵活掌握的空间，比如不同的计数方法（有没有包括章的标题，有没有包括“第十二章”之类的字，等等）。既然最短的一章有95个字，那么这本书无论如何都不能超过12章。因为如果它有一个第十三章，总字数将达到778 145个字，超过了原书的两倍，印刷厂的人绝对会大吃一惊！

如果真的有人想要遵循章的长度减半的规则写一本超过12章的书，他们最多能写几章呢？在给定最短章的长度的情况下，我们想要知道一本有 n 章的书的总长度，就可以继续采用前面计算12章的方法。如果我们有 n 章，那么最短一章的长度是 ，或者 L = 2n−1 S 。全书的长度就不再是（2 12 −1） S ，而是（2 n −1） S 。即使最短一章只有一个字，我们也会很快达到字数的上限。假如我们还是想要控制在40万字以内，那么判断最多可能的章数就是要解开这个不等式2 n −1≤40万。你会发现， n 的最大值是18。但是这样一来，最后6章似乎就可有可无了——它们总共只有63个字。

卡顿为什么要采用如此特殊的结构？这类结构和这部小说之所以成功，部分原因在于它的结构设计不是一个随机的选择。如果你想在一本书中隐含“12”这个概念，想要强调它与黄道十二宫的联系，你或许可以让每个句子都由12个字组成，或者设置12章和12 2 =144节，或者采用其他与之类似的方法。让12章依次减半，如同月之盈亏，是为了与这本书的天文学和占星术主题相呼应，也是为了配合故事情节的展开，呈现出分别由太阳和月亮代表的两个爱人情感纠葛的中心故事线。故事里充满了与此相关的隐喻——事物减半和加倍、下降和上升、减少和增加，就如同日月星辰和书中人物的命运。当妓女安娜·韦瑟雷尔在最后一个月看到她的债务竟然涨了一倍时说：“堕落的女人没有未来，崛起的男人没有过去。”

随着章节的篇幅变得越来越短，我们感到书中紧张的气氛越来越浓。卡顿在2014年的一次采访中说：“我把它看作一个轮子，一个巨大的车轮。启动时吱嘎作响，之后转动得越来越快。”受减半规则约束的每一章愈加紧凑，我们就愈加意识到命运不可违，就像现实中的大旋涡，把我们带到第十二章两个注定要失败的爱人之间最后的温柔场景。这一章的标题是“残月在新月的怀抱里”，事情发生在1866年1月14日，即第一章内容的几天前。这是整本书的核心情节，我们所看到的螺旋式发展让我不禁想起叶芝在其不朽的诗歌《基督重临》中所描绘的“扩张的旋体”。这首诗的前四句是：

在向外扩张的旋体上转呀转

猎鹰再也听不见主人的呼唤；

事物分崩离析；再也支撑不住中心；

世界到处都是一片混乱

这首诗让我们跟随着螺旋的轨迹从风暴中心向外移动，而《明》带着我们反向而行，越来越靠近螺旋的中心。对一部充满了占星术隐喻的小说来说，《明》恰如其分地向我们展示了扩张的旋体并非向外延展，而是向内收敛。

《明》的等比数列结构表现为每一章的长度，但还有一种类型的结构出现在所有的叙事作品中：并非空间结构，而是时间结构。正如E.M.福斯特所说，一部小说总要有一个时钟。有时候时间流逝的嘀嗒声震耳欲聋。亚历山大·索尔仁尼琴的《伊凡·杰尼索维奇的一天》正是这样，它讲述了一个小人物在苏联古拉格服刑10年的某一天发生的事情。弗吉尼亚·伍尔夫的《达洛维夫人》和詹姆斯·乔伊斯的《尤利西斯》也都讲述了一天里发生的事情，这再一次表明，受制于某些条件并不一定会限制创造力，3本风格迥异的伟大作品就是最好的例证。时间线更短的故事是2019年土耳其作家艾丽芙·沙法克的一部伤感小说。一个名叫莱拉的女人遭到谋害，大脑即将停止运转，就在灵魂离开躯体之际，她的脑海中闪现出从前生活的记忆。书名透露了如此怪异瞬间的精确长度：《奇异世界里的10分38秒》。按这个趋势推断，或许你会以为我将要说有那么一本书的情节根本没有时间的流逝，你猜对了。法国作家乔治·佩雷克的《人生拼图版》讲述的就是一瞬间发生的事情——1975年6月23日晚上8点刚过。

埃默·托尔斯于2016年创作的小说《莫斯科绅士》则走向另一个极端，它的故事并非发生在一天，而是横跨了32年。整部作品有一个非常复杂的时间框架，对一位在华尔街银行界打拼20年后才出版第一部小说（2011年的畅销书《上流法则》）的作家来说，他的作品中出现大量的数学结构也许并不令人感到意外。托尔斯最让我感兴趣的一件事，就是他在10岁的时候把一封信装进玻璃瓶里，扔到马萨诸塞州一个名叫西乔普的地方的大海中。他在信中写道（大意）：“如果这个瓶子漂到了中国，请给我回信。”有多少孩子做过这样的事，又有多少孩子真的收到了回信呢？几个星期后，一个人给他寄来一封信，不过不是来自中国。时任《纽约时报》副总编的哈里森·索尔兹伯里发现了玻璃瓶，二人保持通信若干年，托尔斯在18岁时终于见到了对方。索尔兹伯里在《莫斯科绅士》中以配角的形象出现，他现实中的身份是《纽约时报》驻莫斯科记者。如果你以为他是在伏尔加河中捞出这个玻璃瓶的，那么你恐怕要失望了。他在温亚德港的海滩上捡到了这个瓶子，那里距西乔普约2英里。

《莫斯科绅士》以著名的莫斯科大都会酒店为背景，讲述了亚历山大·伊里奇·罗斯托夫伯爵32年的生活。一家布尔什维克法院于1922年判处他在这家酒店接受终身软禁。罗斯托夫天赋异禀，他因根深蒂固、顽固不化的贵族作风被人告发。于是就在这家酒店六楼的阁楼里，他独自一人度过了几十年的时光，而外面的世界早已变得面目全非。他没被判处死刑，只因为宣判委员会非常欣赏他在1913年创作的一首诗歌。

如果你读过这本书，你或许会发现“6月21日”这个日期多次出现，几个重要事件都发生在不同年份的这一天。这只是潜伏在整本书中的数学结构的冰山一角，托尔斯称其为手风琴结构。故事的时间跨度是32年，你或许觉得这与2的幂有关（因为32是2 5 ，即2×2×2×2×2）。的确如此。整本书开始于1922年6月21日，那一天是夏至，罗斯托夫从此开始了他的软禁生活。之后我们看到他来到酒店一天后发生的事情，然后是2天、5天，接下来是10天、3个星期、6个星期、3个月、6个月，最后是整整一周年，即1923年6月21日。时间跨度（大致）成倍增长，这种增长还在持续：我们在2年后夏至的那一天又见到了罗斯托夫，然后是4年、8年，最后是他在大都会酒店被软禁的第十六年，即1938年。这是整本书的中间点，正如夏至处于一年的正中：白天最长，夜晚最短。接下来托尔斯以这个时间点为中心，呈现了一个完美对称的时间线。时间跨度被逆转过来，我们一下子来到了8年后的1946年（距结尾还有8年时间），然后是4年、2年……以时间跨度减半的规律呈现故事情节，直到书的结尾，依然是6月21日，伯爵进入酒店的周年纪念日。我在这里不会透露大结局，但一定会令你满意。

显然，如果你和我一样，你或许会觉得把1, 2, 5, 10, 21（3个星期）这样一个数列称作“两倍等比”总有点儿不那么合理。不管怎么说，2加2只有在奥威尔笔下《一九八四》中的酷刑室里才能等于5。但是你可以试着从一年开始，将其近似到距离最近的单位时间。一年的一半是6个月，6个月的一半是3个月，3个月的一半是6个星期多一点儿，我们就近似到6个星期好了，再一半是3个星期，或者21天。21天的一半是10天多一点儿，再一半是5天，5天的一半是2 天，我们就算它2天。最后，2天的一半是1天。我特此为这个“等比数列”加盖我的教授印章！

正如《明》中的数学结构，这种正反向的等比数列出现在《莫斯科绅士》中也并非巧合，它为叙事服务。在小说的一开始，托尔斯所说的那种“颗粒度”具有存在的必要性，因为读者和罗斯托夫都需要从头开始认识大都会酒店，包括崭新的阁楼和生活在那里的其他人——顾客和酒店员工。随着时间的流逝，情节的推进速度显然要快一些，你肯定没有兴趣了解30年里每一天的生活细节，但是也不能无限制地加速。故事的结局即将到来，我们再次需要“颗粒度”，让它带着我们走向最终圆满的结局（放心，我不会剧透）。先加倍后减半，无疑是实现这个目的的绝佳方法。这其实也有点儿像人类的记忆，以及我们如何体验时间的流逝。我们对童年都有非常清晰的记忆，但成年后，时间似乎在加速流逝。在眼下的时刻，我们都记得今天、昨天和近期发生的事情，但是当我们探索过往的经历时，时间缩短了，记忆也褪色了。

加倍和减半数列都沿数轴方向延伸，但是对于文学中的二维数学结构，我们只需要看看乔治·佩雷克广受赞誉的《人生拼图版》。我在前面提到，这本书中的所有故事都发生在一个精确的时间点。它颠覆了所有的世俗叙事结构，同时对其他文学准则敞开了怀抱。故事发生在巴黎西蒙-克鲁贝利埃街11号的一幢公寓楼里，那里许多居民的生活以各种方式交织在一起。其中有巴特尔布思，一位脾气古怪的英国人，学习绘画多年，周游世界，在不同的港口绘制水彩画，然后把这些画制作成拼图版，计划用一生的时间将其拼完整。拼图版的制作人是巴特尔布思的绘画老师，他也住在西蒙-克鲁贝利埃街11号。遗憾的是，巴特尔布思的计划未能如愿，因为他在1975年6月23日晚8点前突然死去，差一点儿就完成了所有拼图。

在这部小说中，结构建筑的可见部分是，公寓楼有100个房间，以10×10方阵排列，其中包括阁楼、地下室和楼梯间。每一章讲述一个不同的房间，到此为止一切还算可以理解。但其真正的结构极其深奥，背后隐藏的数学故事包括纸牌游戏、俄罗斯帝国、早期计算机，以及世界上最伟大的数学家之一犯下的一个错误。

你玩过数独游戏吗？如果玩过，你肯定多少了解一些所谓的“拉丁方”概念。如果没玩过也无须担心，我在下面列出了一个较为简单的数独游戏，借此说明它的原理。（这是一个4×4的数独矩阵，报纸上通常是9×9的数独矩阵。）我们最终需要呈现出的结果，是让从1到4的数字在每一行和每一列都只出现一次。我已经列出了一些数字，你的任务是把这个矩阵填写完整，确保每一行和每一列都只有一个1、一个2、一个3和一个4。（如果是9×9的矩阵，我们就需要使用从1到9的数字。）

你可以用“插空”法来尝试解题。例如，第一列必须有一个2，于是第一列的空格处一定是2，这又让第二行第二列的空格处必须是4，以此类推。完整的数字矩阵是这样的：

类似这样的正方形矩阵，所有的数字在每一行和每一列只出现一次，就叫作“拉丁方”。

如果你是17世纪的法国贵族，想要寻找一种能挑战逻辑思维的游戏，你可以尝试另一种在当时极为流行的拉丁方游戏。同样是一个4×4的矩阵，但要使用纸牌。将4张不同花色（红桃、黑桃、方块、梅花）的最大纸牌（J、Q、K、A——在英国我们称其为“宫廷牌”）以特定的方式摆放在这个矩阵中，要使得每一行和每一列都有且仅有唯一花色和唯一点数的纸牌。下面是正确的摆放方式之一。

这里出现的并不是一个拉丁方，而是两个：一个花色拉丁方、一个点数拉丁方。除此之外，它们之间存在完美的互动关系，即每种组合只出现一次，例如，我们并没有两个红桃Q。所以，这其实是一个“双重”拉丁方：具体来说，它包含了两组不同的数字或符号，并以每对组合只出现一次的方式重叠而成。它们有时被称为“正交拉丁方”、“双重拉丁方”或“希腊拉丁方”，最后一个名称的来源是其中一组符号取自希腊字母，另一组符号取自拉丁字母。但我更喜欢“双重拉丁方”的称呼。

这类纸牌游戏有多种解法，但准确的1 152种解法直到几个世纪后才被英国数学家凯瑟琳·奥利伦肖发现。她是个了不起的女人，出生于1912年，从小喜爱数学，8岁时因病失聪，之后她在学习上遭遇严重的挫折，而数学是仅有几项不受耳聋影响的学科之一（就我们当时所接受的教育而言）。在漫长的数学职业生涯中，她还发表了第一篇有关三阶魔方的论文，阐述了一种能从任何起始位置将魔方还原的方法。伴随这项成就而来的是她长时间摆弄魔方而导致拇指受伤，后来《读者文摘》将这种疾病描述为已知的第一个“数学家拇指”的病例。对了，她还当上了曼彻斯特市的市长和英格兰冰球队的队员。你完全可以说我是个老派的浪漫主义者，但她与青梅竹马的罗伯特·奥利伦肖结为终身伴侣的确令我很开心，当他送给她一把计算尺作为礼物时，她说这一定是爱的表示。

回到我们的纸牌游戏，如此众多的解法足以让你愉快地度过漫长的冬夜。但不久之后出现了一个更大的挑战，那就是18世纪70年代开始流行的另一个解谜游戏“三十六军官问题”。这一次你有6个不同的兵团，每个兵团有6名不同官职的军官，包括中尉、上尉、少校等。你还是需要把它们放置在一个正方形的矩阵中，但这一次是6×6的矩阵，规则是每一行和每一列都有且仅有一个隶属于某个兵团的某个职位的军官。也就是说，你需要完成一个6×6双重拉丁方。这个游戏颇受圣彼得堡贵族的青睐，据说俄国女皇叶卡捷琳娜大帝对其深为着迷，但不知道该把手中的上校、准将和将军放在哪里。于是她请数学高手莱昂哈德·欧拉帮忙，他当时在俄国圣彼得堡科学院任职。奇怪的事情发生了，欧拉也不知道该怎么做。

关于欧拉这个人，你需要知道两件事：首先他名字的发音是“oiler”，其次，他是有史以来最受尊崇、最具影响力的数学家之一，著有92卷数学著作。他一手开创了“图论”的数学研究领域，还做出了不计其数的伟大的数学贡献。他介绍了很多现代数学符号，包括我们书写函数的方式。另一位著名的法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯也曾告诉我们：“读欧拉的著作吧，读欧拉的著作吧，他是我们的大师。”所以如果连欧拉都搞不定这件事，我们就要注意了。和所有数学家一样，当我对某个问题束手无策时（如果你从未有过束手无策之感，那只能说明你还未遇到更深奥的问题），我必须做出决定：究竟是我自己愚钝无能，还是问题本来就无解？下一步就是用某种猜想把这种感觉具体化：这个问题无解，即不可能找到答案。当然，如果你在论文或会议上公开说出这样的结论，如果有其他人找到解决方法，你就会觉得自己有点儿傻。所以当做出任何猜想时，你一定要百分之百确定自己的结论。而这就是欧拉面对三十六军官问题时做出的猜想：他认为并非自己力所不及，而是问题无解——6×6双重拉丁方不存在。

判定某个问题无解的唯一途径就是用数学的方法做出证明，你总要给出一些原因来说明为什么无解。为了让你深入理解这件事，我可以向你证明“四军官问题”无解，也就是不存在2×2双重拉丁方。我们有两个职位和两个兵团，假设一个将军和一个少校，来自兵团1和兵团2。你需要把这4名军官放在2×2的正方形矩阵中，使得每一行和每一列都有一个来自不同兵团的将军和少校。首先你不能把两位将军放在同一行或同一列，所以他们只能处于对角线的位置。因此存在两种可能，我用下图来表示。

无论躲在哪个角落，兵团1的将军都要与一位少校处于同一行，与另一位少校处于同一列。哎呀！这意味着兵团1的少校与兵团1的将军必然处于同一行或同一列，从而违背了“每一行和每一列都有一个来自不同兵团的将军和少校”的规则。这真是个大问题。数学家都有一股打破砂锅问到底的精神，作为一名数学家，欧拉开始寻找一项能令双重拉丁方存在的一般性规则。他知道2×2不成立，还知道无法找到6×6的解法。之后他设法证明了奇数矩阵（3×3、5×5等）均存在双重拉丁方，4的倍数矩阵（4×4和8×8的纸牌游戏等）也存在双重拉丁方。欧拉于1782年提出了他的猜想：2, 6, 10, 14, 18等公差为4的等差数列中的数字均不存在双重拉丁方。即使要解决6×6的双重拉丁方问题，需要排除的可能数量也是个天文数字：数百万个。最终，加斯顿·塔里在1901年用数学家所谓的“穷举法”证明了这个命题。别担心，他并没有逐一检查数百万个组合，而是采用了一些聪明的方法批量排除不可能的组合，把问题缩减到一个较小的规模，但余下的依然是一个极为庞大的数字。最终的结果是，叶卡捷琳娜大帝和更伟大的欧拉的结论是正确的：三十六军官问题无解。看来欧拉的猜想站稳了脚跟。

接下来，不可思议的事情发生了。1959年，E.T.帕克、R.C.博泽和S.S.施里坎德利用早期的数学计算机，发现了10×10的双重拉丁方！更为神奇的是，他们证明了所有其他大于6的数字，即使是麻烦的14、18等数字，都存在双重拉丁方。欧拉最终还是错了，但他的错误在近两个世纪之后才被发现。这个消息引起了巨大的轰动，1959年11月的《科学美国人》杂志在封面放置了一张10×10双重拉丁方的图片。这里我们就回到了乔治·佩雷克。他始终乐于探索数学结构对构建新的文学体裁所具有的潜在意义，因此，欧拉一度认为不可能存在的双重拉丁方在研究上出现了令人兴奋的突破，这件事自然而然就进入他笔下的那幢公寓楼。

《人生拼图版》的故事发生在一幢10层的公寓楼里，每一层有10个房间，100个房间组成了一个10×10的正方形矩阵。佩雷克随机创建了几个列表，每个列表都包含10个显著的特征元素，就像混合了10种面料的一摞布。小说的每一章讲述发生在一个特定房间里的故事，因此对应着10×10矩阵中的一个格子。通过叠加相关的双重拉丁方，每个章节都从10个列表中抽取不同的特征元素，形成独一无二的组合，从而产生了极其丰富的叙事结构。不仅如此，还有最后一抹色彩要添加在如此绚烂的烟花表演中。各个房间在故事中出现的顺序，严格按照国际象棋中骑士在棋盘上移动的路线。在国际象棋中（8×8的棋盘），骑士是唯一一个不能移动到相邻格子的棋子。它的行进规则是先向一个方向移动两格，再向与之垂直的方向移动一格（如右移两格、上移一格）。“骑士巡游”指的是骑士走遍整个棋盘但只在每个格子落足一次。我们似乎不大容易看到完成这项任务的可能性，最早有据可查的一个解法是由9世纪中期居住在巴格达的阿德利·鲁米提出的。那么还有其他解决办法吗？在其他大小的棋盘上套用同样的规则也能找到解法吗？最早对骑士巡游问题的系统性研究来自欧拉，你猜对了，他对这两个问题的回答都是肯定的。

我要严正声明，做出一个后来被证明是错误的猜想并不是失败。欧拉的猜想引发了令人兴奋的数学发展，人们花了几个世纪才洞悉其中的奥秘。所以当我说他“失败”的时候，我纯粹是在开玩笑。我做梦都想成为像欧拉一样成功的失败者！《人生拼图版》的主题之一就是失败。巴特尔布思未能完成他组合所有拼图的人生使命；住在公寓楼里的一位画家瓦莱纳也未能绘制出一幅展现公寓楼所有房间、所有住户的全景图；故事还提到欧拉未能预见此类双重拉丁方的存在。至于最后一项失败，算是佩雷克的有意为之：骑士未能巡游所有的房间！整本书共有99章，不是100章——有一间地下室被遗漏了。我非常认同佩雷克对这本书的结构以及未能巡游所有房间的“解释”：这不是他的错误。他说：“对于这个问题，出现在295页和394页的那个小女孩要负全部责任。”

我们在这一章看到了埃莉诺·卡顿和埃默·托尔斯等作家如何利用数学概念营造小说中强大的时间结构。而乔治·佩雷克的《人生拼图版》更进一步，他通过错综复杂的情节设计将空间和时间结合在叙事的几何结构中。但佩雷克只是乌力波的成员之一，正如我在前面提到的，这个流派的作家在文学的类型和边界方面做了大量的探索和尝试。他们将是我们下一章的主题。

[1] 出自洛克伍德2021年的小说《噤若寒蝉》（ No One Is Talking About This ）。 yXyNHMY/Z0U+CQSdr3V/QAoipiSbTBDdYgulZBdpF3IxgURu1BgkgR3w/zG4fES3