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数学与诗歌之间有着深刻的联系，但它们最初都源于一个颇为简单的规则：令人安心的计数节奏感。数字1、2、3、4、5对小孩子产生的吸引力，就像我们给他们念一首押韵的歌谣（“上山打老虎”）。当走出儿歌的世界时，我们依然可以在更复杂的诗歌结构中得到满足：无论是五步抑扬格的节奏还是六节诗和维拉内拉诗的复杂结构。隐藏在这些诗歌规则背后的数学原理既深刻又神奇，这一章我们就来探索其中的奥妙。
想想你童年时期的那些儿歌，我敢保证你肯定记得其中的内容。这就是规律的力量——我们的数学大脑钟爱它。在潜意识里，我们自然而然地接受了儿歌的节奏和韵律，这有助于我们记忆，讲述伟大英雄故事的传统诗歌因此得以口口相传。很多传统韵文都涉及累加，每节另起一行，而且每节的最后一句都回到最初。有一首古老的英语民谣《绿草如茵》（ Green Grow the Rushes ， O ），共有12节，每一节的最后一句都是略带伤感的“一就是一，永远孤独的一”。而通常在逾越节上表演的希伯来语儿歌《谁人知一》（ Echad Mi Yodea ）利用节奏和计数，把犹太教重要的知识传授给孩子们。儿歌的结尾是“四是女族长，三是男族长，二是圣约之碑，一是我们的上帝，在天堂与人间”。
我们可能在学校里学过很多数学记忆法，比如怎样才能记住π的前几位小数。“我多么希望能计算出圆周率”（“How I wish I could calculate pi”），这句话并不表示我希望能计算出π的值，而是表明了一种记忆方法。每个单词所包含的字母数量就是π的前几位小数，即3.141 592。如果你还想记住更多的小数位，更长的一句话是：“在沉甸甸的量子力学讲座之后，我多么需要喝上一杯，把自己彻底灌醉！”（“How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics!”）这句话已经存在了至少一个世纪，据说是英国物理学家詹姆斯·金斯的奇思妙想。如今社会上又出现了一类颇为小众的爱好——用“圆周率文”写诗，也就是由π的小数位来决定诗歌中单词的长度。
最让我感兴趣的一篇圆周率文是迈克尔·基思的《靠近乌鸦》（
Near a Raven
），模仿埃德加·爱伦·坡的名作《乌鸦》：
Poe, E.
Near a Raven
Midnights so dreary, tired and weary.
Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.
During my rather long nap—the weirdest tap!
An ominous vibrating sound disturbing my chamber’s antedoor.
“This,”I whispered quietly,“I ignore.”
你没有必要把这首诗背诵下来——据估算，仅仅40个小数位的π就足以计算出整个已知宇宙的周长，误差小于一个氢原子大小。所以，这首诗的第一节就足够我们应付日常活动了。
上面这首诗基于一个数学常数，但它的内容与数学无关。然而，还有不止一首广为人知的诗歌提出了一些具体的数学难题。你可能知道：
在去圣艾夫斯的路上，
我遇见一个男人，他有7个太太。
每个太太有7个布袋，
每个布袋里有7只猫，
每只猫有7只小猫。
小猫，猫，布袋，太太，
到底有多少人和猫要去圣艾夫斯？
记得小时候我还曾尝试把所有的7都乘起来，后来才发现落入了书中最古老的圈套。
诗歌也能表述更复杂的数学问题，正如我在前言中提到的，这是梵文传统里标准的数学表达方式。12世纪的印度数学家和诗人婆什迦罗把他的全部数学研究成果用韵文写下来。下面这首诗摘自他写给女儿莉拉沃蒂的一本书：
一群蜜蜂，五分之一飞向加昙婆花，
三分之一飞向Silindhri花，
二者数目之差的三倍蜜蜂飞向Kutaja花，
还有一只蜜蜂独自在空中飞舞，
在茉莉花和露兜花芳香的引诱下不知何去何从。
告诉我蜜蜂的数量，亲爱的女士。
这是多么美好的代数表达方式啊！
遗憾的是，现在我们已经不再用诗歌来书写数学，但数学与诗歌之间的美学联系依然存在：二者的终极目标都是对美的追求，一种崇尚表述经济性的美。诗人和数学家都称赞过彼此的专长。美国诗人埃德娜·圣·文森特·米莱在1922年创作的一首十四行诗中向欧几里得的几何学致敬：“唯欧几里得见识过赤体之美。”对爱尔兰数学家威廉·罗恩·哈密顿来说，数学和诗歌都能“把思想从尘世沉闷的骚动中解放出来”。据称，爱因斯坦说过，数学是逻辑思维的诗歌。如果说一个数学证明有任何值得称道之处，那就在于它与一首诗有很多共同之处。在这两种情况下，每个字都不可或缺，没有闲言赘语，都是以一种自圆其说、简明扼要、结构合理的方式来表述一个完整的思想。
我现在要给你看一个证明，因为它无比美妙，是一首纯粹的诗歌。这项证明被普遍认为来自欧几里得（尽管我们真的不知道是谁最初想到这个问题的），其命题是存在无穷多的质数。你或许知道，质数是2、3、5、7等无法被分解为更小整数的数字。例如4就不是质数，因为你可以把它分解成2×2，6可以被分解成2×3。所有大于1的自然数要么是质数，要么可以被分解（专业术语叫作“因式分解”）成质数的乘积，更精彩之处在于，分解的方式是唯一的，前提是你认同2×3与3×2基本上是一样的。顺便说一句，你或许觉得数字1也应当是质数，因为它无法被分解。但是我们没有把它包括进来，因为如果1是质数，我们就可以说6=1×2×3=1×1×2×3=1×1×1×2×3=…，每个数字的分解方式就不唯一了——这可真糟糕！为了避免这种现象，我们把质数定义为除了1和它本身不再有其他因子且大于1的自然数。
理解质数的概念对数学研究至关重要，就如同从事科学研究要理解化学元素一样，因为每种化学物质都是由元素的精确组合组成的（例如，每个水分子或H 2 O，都有两个氢原子和一个氧原子），每个整数也都有特定的质数组合方式。早期数学研究最令人兴奋的发现之一就是，不像化学元素，质数是永远存在的。实际上，这种对比在当时更明显，因为古希腊人认为世界上只有4种元素：土、气、火、水，它们组合成世间的一切事物。
以下就是存在无穷多质数的证明过程：
如果质数的个数有限，那么我们会得到一个有限的列表吗？
从2开始，然后是3，然后是5。
我们把所有的质数相乘，再加1，得到一个新的数字。
这个数字是2的倍数加1，因此不能被2整除；
这个数字是3的倍数加1，因此不能被3整除；
这个数字是5的倍数加1，因此不能被5整除；
列表上所有的数字都不能被它整除。
这个数字要么是一个质数，要么是能被不在列表上的一个质数整除的数字。
不管怎样，这个列表都是不完整的，而且我们无法写出完整的列表。
因此，质数不可能是有限的。
证明完毕。
我告诉你，这其实是一首诗！
诗歌与数学之间的共鸣在美国诗人埃兹拉·庞德1910年的作品《罗曼斯精神》中得到了完美的阐释：“诗歌是被赋予灵感的数学，它带给我们的方程不是抽象的图形、三角形、球体等，而是人类情感的方程。”庞德还做过这样一个类比：数学和诗歌都可以被多层次解读。 [1] 我想说的是，数学家对什么造就了最伟大的数学有着非常相似的理解：数学概念包含了被多重解读的可能性，数学结构也出现在诸多不同的环境中，因此它们具有普遍性。关键在于，一个数学表达式所具有的那种优雅和简洁，就像一首诗歌，可以包含多个层次的含义，它的含义越宽广，被解读的可能性越多，艺术性就越强。数学就像沃尔特·惠特曼一样，无论从字面意义上还是从比喻意义上看，都是一个包罗万象的存在。我们只是希望它不要自相矛盾！
我们很难给诗歌下一个准确的定义。有时候它必须押韵，几乎总是有断行，还要符合节拍和格律，等等。大体上说，诗歌必须受到某些限制，不管是格律（例如五步抑扬格）、押韵，还是每节中特定的行数。即使是那些极端的自由诗也可能有断行、节和韵律。有人说，理解事物是如何被组合在一起的，会破坏其神秘感，事情就变得没意思了。我们不想知道魔术师是怎么变魔术的，我们想要相信魔术的存在。区别在于，诗歌不仅仅是技巧，透彻地理解一个事物会让你更欣赏它吗？这就是我对结构和规律的基本数学概念的看法。
自愿服从某个特定的约束能激发创造力，规矩的存在意味着你必须不拘一格、别出心裁、深思熟虑。“俳句”只有17个音节，因此每个音节都不能被浪费。另一个更接地气的例子是幽默的“五行打油诗”，从铺垫到抖包袱仅用短短5行。爱尔兰诗人保罗·马尔登对此有过精彩的评论，他说诗歌体“是一件紧身衣，就像紧身衣对胡迪尼
来讲也是一件紧身衣一样”。这句话创下了“紧身衣”在一个句子中使用次数最多的纪录，这种观点是完全正确的——约束本身就是天才作品的一部分。
诗歌的约束有很多种。在西方传统中，特定的押韵格式受到人们的青睐。人们还喜欢受制于一系列节奏和韵律，也就是古典诗歌中的抑扬格和扬抑格。这两类约束背后都隐藏着计数、规律和数学。但是其他传统诗歌会使用不同的规律和模式，包括更明确地使用数字。我们就从这里开始讨论诗歌约束中的数学概念吧。
首先让我给你讲述一个11世纪日本宫廷里的故事。作为一名贵族女性和皇后藤原彰子的侍女，紫式部创作了被认为是最早期的小说之一的《源氏物语》。这部讲述宫廷爱情故事和英雄主义的史诗小说是日本的经典之作，在一千多年后的今天依然吸引着众多读者。这部小说有一个极为明显的特征，那就是人物在对话时广泛使用诗歌的形式，无论是直接引用经典的日本诗歌，还是将其稍加修改，抑或只说出某些诗句的前半部分（就像我们经常说“小洞不补”，而不是完整地表述“小洞不补大洞吃苦”）。《源氏物语》里的诗歌大都是“短歌”，属于较为常见的日本古典诗歌体裁“和歌”的一个类型，有些类似于当代的俳句。这类诗歌有5行和31个音节，俳句的格式是5—7—5，共有17个音节，而绝大多数和歌（即短歌）的格式是5—7—5—7—7，共有31个音节。（实际上，“音节”的表述并不精准，确切地说是“声音”，二者的区别有些微妙，但相当重要。请日本诗歌专家原谅我在此处不做深入探讨。） [2]
在一名数学家看来，这类诗歌与质数的关系再明显不过了。我们先来看看俳句：3行，长5和7个音节，一共17个音节。3、5、7、17都是质数。再看看短歌，有2行5音节和3行7音节——2、3、5、7、31都是质数。这里有什么意味深长的含义吗？我读到过有人说，5—7源于早期的“自然”12音节诗句，一句诗被分成两个部分，其间稍加停顿。在我看来，5—7当然比枯燥无趣的6—6或不平衡的4—8更令人兴奋，也更能彰显活力，或许这就是它形成的原因。质数不能被进一步分解，所以5—7能将一句诗分割成独立的、不可再分的表义单位。而4、6、8都存在固有的“断层线”，从而削弱了诗句的结构。
《源氏物语》面世几个世纪后，一种游戏在16世纪日本贵族家庭的会客厅里流行起来，叫作“源氏纹”。女主人从一组不同香味的香中私下挑选出5支，这5支香的香气可能相同，也可能不同。之后她逐一将其点燃，客人们要根据气味猜测哪些香是相同的，哪些是不同的。你可能觉得所有的气味都不相同，也可能觉得第一支香与第三支香的气味相同，其余的气味各不相同。各种可能性用下面的图形来表示：
最左边的图形表示所有气味都是不同的；它旁边的图形表示第一支香与第三支香的气味相同；第三个图形表示第一、第三、第五支香气味相同，第二、第四支香的气味相同；最右侧的图形表示第二、第三、第四支香气味相同，第一、第五支香的气味相同。为了让人们便于描述他们猜测的结果，每一种可能性都用《源氏物语》中的一章来命名——从“各不相同”、部分相同到“完全相同”，一共存在52种可能性。 [3] 《源氏物语》后来的一些版本甚至在章节标题旁画出相应的图案。这些图案本身也有了自己的生命——它们被用于设计和服和徽章。
与此同时，在数千英里
之外的英国都铎王朝，乔治·普登汉姆在他的书《英国诗歌艺术》中列举了以下图形：
它们看起来就像平躺的源氏纹！尤其是比较下面两个图形：
这究竟是怎么回事？普登汉姆描述的是一个五行诗节中可能存在的押韵格式，用图形来帮助读者进一步理解。（或者正如他所说，“我给你举了一个直观的例子：因为你可以更好地理解它”。）
一首诗或一首诗中的一节的押韵格式，简单来说就是该行最后一个单词的押韵。我们见到的早期的诗歌都是带有简单韵律的歌曲和童谣：
Mary had a little lamb
Its fleece was white as snow
And everywhere that Mary went
The lamb was sure to go.
（诗歌大意：玛丽有只小羊羔/它的羊毛像雪一样白/无论玛丽走到哪里/羊羔都跟在她身后。）
这是一首以abcb为押韵格式的“四行诗”，也就是第二行与第四行押韵，其他行不押韵。相比之下，下面是约翰·多恩的一首四行诗《日出》：
Busy old fool, unruly sun,
Why dost thou thus,
Through windows, and through curtains call on us?
Must to thy motions lovers’seasons run?
（诗歌大意：忙碌的老傻瓜，任性的太阳，/你为什么这样，/透过窗户、透过窗帘呼唤我们？/情人的季节一定要按你的节奏运行吗？）
这里的押韵格式是abba。
如果让一个孩子给你写一首诗，很有可能你会看到一首四行诗。为了测试这个理论，我刚刚让我的女儿埃玛给我写一首诗《献给妈咪的书》。3分钟后，她就交给我一首绝妙的数学诗歌：
Endless numbers
You could count them till you die
It can outlive the universe
That is Pi.
（诗歌大意：无穷的数字/你可以一直数到死/它比宇宙更持久/那就是π。）
我觉得它的韵律既算是abab，也算是abcb，取决于你是否认为numbers（数字）与universe（宇宙）押韵。
四行诗一共有15种可能的押韵格式。从押韵最多到最少排列，有aaaa（乏味得要死）、aaab、aaba、aabb、abaa、abab、abba、abbb、aabc、abac、abbc、abca、abcb、abcc和abcd（根本不押韵）。普登汉姆说，其中只有3种押韵格式是被允许的，即使对这些格式他也吝于表达赞美之情。他说aabb“最粗俗不过”（意思是司空见惯），abab是“寻常之举，不足为奇”，还说abba“不那么常见，但也足够令人心神愉悦，可以允许存在”。约翰·多恩一定松了一口气！
四行诗的讨论就到此为止吧。对于一首五行诗，也就是普登汉姆用图形表示的内容，存在更多的押韵格式。我们很容易就能发现，五行诗的押韵格式与源氏纹中香的组合是完全一样的，因为我们都是在寻找一个集合（5支香或5句诗）中哪些元素是匹配的。然而，普登汉姆远远落后于日本人，因为他声称五行诗只有7种可能的押韵格式：“其中一些格式比另一些格式更严格、更难以入耳”，而源氏纹的玩家都知道事实上有52种可能的组合。
由于源氏纹游戏的出现，早在西方数学家关注这类问题之前，日本数学家就对一个物体集合（香或其他任何东西）能以多少种方式被划分的问题表现出浓厚的兴趣。这种方法现在被称为集合的“贝尔数”，该数字增长的速度非常快。第四贝尔数是15（也就是四行诗所有可能的押韵格式），第五贝尔数是52，第六贝尔数是203，第十贝尔数就到了115 975。实际上，我亲身体验过第六贝尔数的悲惨经历，因为我草率地答应为11岁的女儿米利耶安排一次夏季的过夜派对，6个十一二岁的小女孩似乎在一夜之间有203种可能性分裂成相互敌对的小派系。日本数学家松永良弼早在18世纪中期就发现了一种能计算任意大小集合贝尔数的巧妙方法，例如第十一贝尔数是678 570。我不知道为什么这些数字要以20世纪苏格兰数学家埃里克·坦普尔·贝尔来命名，他只是在1934年写了一篇有关这类数字的论文。他自己在论文中也明确表示，他不是第一个研究这些数字的人，这些数字在历史上得到了诸多数学家的关注。这算是“斯蒂格勒定律”的另一个例证，该定律发现，没有一项科学发现是以其最初发现者的名字来命名的（即使是“斯蒂格勒定律”本身也适用于这个定律）。
韵律是诗歌形式的定义特征之一，它的代表性体裁包括十四行诗、维拉内拉诗、亚历山大诗体等等。以维拉内拉诗为例，全诗共有19行，包括5个aba韵律的三行诗节，和最后一个abaa韵律的四行诗节。它还有一些额外的体系：首个诗节的第一行和第三行必须与后续诗节的最后一行，以及四行诗节里的最后两行交替重复。或许最著名的一首维拉内拉诗就是迪伦·托马斯对人类精神的伟大赞歌《不要温和地走进那个良夜》。十四行诗有14行诗句，不同的语言具有不同的传统韵律，但是莎士比亚和大多数英语作家都采用3个abab韵律的四行诗，跟着一个押韵的对句。
莎士比亚是一位多产的诗人——1609年出版的《莎士比亚十四行诗》包含154首诗。但是他恐怕无法跟法国作家雷蒙·格诺相提并论，后者的《一百万亿首诗》利用数学的随机性把100万亿首十四行诗放在一本书里。这怎么可能？请容我解释一下，所有人都喜欢十四行诗，但是如果我想把100万亿首诗放在这本书里，编辑肯定会杀了我。于是，为了能继续活下去，我决定举一个小小的例子来演示一下。为此我突发奇想，写了几首五行打油诗供读者欣赏。
五行打油诗是一种短小幽默的诗歌，通常由五行aabba押韵格式的诗句组成，在维多利亚时代的作家爱德华·李尔的推动下于19世纪在英国流行开来。下面这首典型的五行打油诗摘自他1861年的畅销书《胡诌诗集》：
There was an Old Lady whose folly,
Induced her to sit on a holly;
Whereon by a thorn,
Her dress being torn,
She quickly became melancholy.
（诗歌大意：怪老婆婆做怪事，坐上冬青当椅子，荆棘一刺衣服破，忧郁懊恼悔已迟。）
李尔有时候被称为“五行打油诗之父”，尽管他从未使用过“limerick”（五行打油诗）这种表述方式（这个词最早出现在1898年），当然，它的发明人也不是李尔。然而，凭借他那本人见人爱的作品，他让这种诗歌体广为流传，那本书包括212首让人印象深刻的五行打油诗。目前还不清楚这种诗歌体裁怎么会沿用爱尔兰一个县的名字。一种说法是，它源于一项广受欢迎的客厅游戏（当然也和李尔无关），其中有一句话：“你要不要来利默里克（Limerick）？”
借助随机原理所产生的惊人力量，我在此正式对212首五行打油诗表达我的鄙视，并提供一种无须花费太多力气，也不需要任何艺术修养就能创作出大量这类诗歌的方法。下面是我自己写的两首不太好的五行打油诗（分列左右两侧），只是为了给你展示我的方法。
有个女人名叫简，
出行火车常常选，
每次去国外，
她都受不来，
美妙飞行在蓝天。
这人来自缅因间，
下雨待在家门前，
潮湿多不快，
她是多么崇拜，
西班牙一周的休闲。
从两首诗的第一句开始，你就可以创作出数量众多的五行打油诗，因为你可以随机从左右两侧选择下一句。例如，你可以投掷一枚硬币来决定每一行诗句的选择。如果正面朝上，你就选择左边；如果背面朝上，你就选择右边。更有趣的是，有一个网站甚至让你不必刻意去找一枚硬币。我刚刚尝试掷出5次硬币，结果是正、反、反、正、反，于是我的五行打油诗就是这样的：
有个女人名叫简，
下雨待在家门前，
潮湿多不快，
她都受不来，
西班牙一周的休闲。
既然要让这首诗无论选择哪一边的句子都能“读得通”，你就必须深入了解诗的整体结构。正如我在前面提到的，五行打油诗的押韵方式是aabba，所以每首诗都需要3个相同的韵脚，两首诗就需要6个相同的韵脚。在上面的例子中，我选择了“简”“选”“天”“间”“前”“闲”。如果还想创作第三首打油诗，你或许可以考虑把“偏”“免”“年”“欠”“甜”等字作为韵脚。
在我们这个由两首五行打油诗组成的小小集合里，五行中的每一行都有两个选择。第一行有两种可能，每一种可能的后面都跟着第二行的两种可能，这意味着对前两行我们就有2×2=4种可能。后面是第三行的两种可能，前三行的可能就是2×2×2=8。因此每增加一行，可能性就增加一倍。那么在这两个五行诗句中，我们就有了2×2×2×2×2=32首货真价实的打油诗。但是如果我们再写一首打油诗，每一行就有了3个选择，也就是一共有下面这么多首打油诗：
3×3×3×3×3=243
这是第三首打油诗，供大家欣赏：
巴林女孩笑嫣嫣，
大雪冰雹令她厌，
寒冷多作怪，
旅行乐开怀，
非洲草原惹人羡。
祝贺你，你现在已经是一位了不起的诗界精英，你名下的五行打油诗作品数量比爱德华·李尔整部诗集的数量还多31首。如果你在这个集合里再加进第四首打油诗，那么全部打油诗的数量就跃升到4×4×4×4×4，也就是1024首。既然我只贡献了其中的243首，那么一口气创作1000多首五行打油诗这项举世闻名的伟大成就，你应当占75%以上的功劳。
现在我们来看看雷蒙·格诺究竟是如何创作他的100万亿首诗的。方法其实如出一辙，只是规模更大。他的作品都是十四行诗，格诺采用的押韵格式是abab、abab、ccd、eed（翻译成英语倾向于使用莎士比亚风格的abab、cdcd、efef、gg押韵格式）。《一百万亿首诗》里有10首十四行诗，连续排印在10页纸上。所有诗的第一行韵脚均相同，所有诗的第二行韵脚也相同，其余行都是如此。实际上，这10首十四行诗呈现出一首三维诗歌的形态。也就是说，一共有140行诗句，其中40行（每首诗4行）的韵脚均为a。因此，要想创作出一首十四行诗，对其中的每一行我只需要在10行备选诗句中任意做出选择。于是我可以选择第三首诗的第一行、第一首诗的第二行、第四首诗的第三行，以此类推。如果我根据π的小数位来选择诗句，谁也不能阻止我声称自己创作了一首“π诗”（请原谅）。
那么这本小册子一共包含了多少首诗？我们可以来算算，第一行有10种可能，每一种可能都跟随着第二行的10种可能，也就是说，前两行共有10×10=100种可能。推广到第14行，全部的可能就是10的14次方，100 000 000 000 000，即100万亿。这算是有史以来篇幅最长的一本书吗？如果你以不间断的方式每分钟阅读一首诗，需要190 128 527年才能把所有的诗读完。（雷蒙·格诺也做过类似的推算，但他的答案是190 258 751年，这不禁让我开始怀疑自己的计算能力。不过我很快就发现，他忘记了计算闰年。或许格诺心怀怜悯，慷慨地允许读者在2月29日休息一天。）哲学家可能会问：是格诺自己创作了这些诗句吗？它们在什么意义上存在？我不知道，但格诺隶属于一个作家和诗人组织，他们积极主张尝试所谓的“潜在文学”。这个组织的名称是“乌力波”，稍后我会进一步讨论他们的作品和思想。但包含100万亿首诗的书无疑是潜在文学的绝佳例证。
诗歌中的数学理论不仅限于押韵格式，哪里有结构，哪里就有数学，而押韵格式只是规范诗歌结构的方式之一。如果我们放弃了押韵，那就需要别的东西来代替它。其中的一种就是可以追溯到中世纪的六节诗，我想要专门谈谈这种诗歌，它优雅的结构之所以有效，是因为它涉及数字6的有趣数学知识。
一首六节诗由6节组成，每节6行。每一节每一行的最后一个单词以不同（但特定）的顺序与后续诗节中每一行的最后一个单词相同。最后的三行诗作为“特使”，要包含所有6个结尾单词。
如果可能，我打算给你举一个完整的例子，这样你就能了解六节诗的具体结构。可供选择的诗歌很多，尽管这种诗歌最早出现在800多年前，但它一直被沿用至今，并且经历过极其辉煌的年代。詹姆斯·布雷斯林（当时是加州大学伯克利分校的英语课程教授）说，20世纪50年代是“六节诗的时代”。从但丁到吉卜林，从伊丽莎白·毕晓普到埃兹拉·庞德，再到美国当代诗人大卫·菲利的作品（《街人晚宴上的嘉宾艾伦》）和英国人科娜·麦克菲的作品（2002年那首极度悲伤的《试管婴儿》），她在个人网站上自称“造事者”（thingwright）。我选用的例子是夏洛特·珀金斯·吉尔曼的一首诗，她最广为人知的作品是1892年的短篇小说《黄色墙纸》。
你把幸福寄托于千万户家庭，
或在其中劳累过度，以求无声的和平；
谁的灵魂全部集中于一小群人的生活
那是你对那个小团体的爱
谁告诉你不需理解或关心
关于这个罪恶和悲伤的世界？
你可相信这个悲伤的世界
令你无动于衷而只顾自己的小家庭？
你已获准回避他人的关心
为人类进步而奋进，也为人类的和平
我们有足够的力量拓展我们的爱
直到它覆盖所有领域的生活？
首要责任被赋予人类的生活
是为了推动进步和造福世界
为了正义、智慧、真理和爱；
而你无视它，蜷缩于自己的家庭，
满足于那毫无根基的和平，
满足于把其他一切都抛在脑后，毫不关心。
然而你们毕竟是母亲！而母亲的关心
是人类迈出的第一步，向着美好的生活，
所有的国家都享受着无忧无虑的和平
团结起来提高水平，为了全世界
让幸福进入我们的家庭
为世界传播强烈而丰富的爱。
你满足于保持这种强大的爱
永远将它限制在最初的一步；粗鲁地关心
动物的幼崽、伴侣和家庭，
与其白白淡出你的生活，
不如让它的强大力量滋养全世界
直到每个人类的孩子都能享受和平。
你将无法维持你小小的自我和平，
和你那小小的不成熟的爱，
而被忽视、忍饥挨饿、不受控制的世界
痛苦地争夺着母爱和关心
而它狂暴、痛苦、破碎的生活
敲击着你那自我封闭的家庭。
我们都可以拥有自己的家庭并享受欢乐与和平
当女人的生活，融入充满力量的爱
与男人联合起来，共同关心全世界。
我们来仔细分析一下六节诗的结构。从上一节到下一节，每次都要用同样的方式来调换结尾词的位置。这是一种有序的无序，具体方式是用最后一个结尾词的倒序与第一个结尾词的正序交错，直到我们把它们都用完为止。我们可以在夏洛特·珀金斯·吉尔曼的六节诗中看到这样的模式。第一节的结尾词是“家庭/和平/生活/爱/关心/世界”。从最后一个结尾词开始倒序排列，就是“世界/关心/爱/生活/和平/家庭”，与原来正序排列的结尾词交错，就形成了：
也就是“世界/家庭/关心/和平/爱/生活”。正如你看到的，这恰恰是第二节的结尾词的顺序。这种特定的重新排列方式让诗歌的节与节之间呈现出美妙的连续性，因为一节最后一行的结尾词就是下一节首行的结尾词。同样的变化方式持续下去，我们对第二节重复这种逆向交错的变化，就得到第三节结尾词的顺序。如果这样做，你就会发现“世界/家庭/关心/和平/爱/生活”变成了“生活/世界/爱/家庭/和平/关心”。用同样的方式我们得到了第四、第五和第六节结尾词的排列顺序。这里还有一个我们不曾察觉的精妙结构：我们如果把这种变化模式推进到第七节，也就是对第六节结尾词的顺序“和平/爱/世界/关心/生活/家庭”进行逆向交错，就会得到“家庭/和平/生活/爱/关心/世界”。看起来有点儿眼熟，的确如此，它就是第一节结尾词的排列顺序。因此，在我们尚未察觉的时候，6个诗节完成了一次完整的迭代，如果继续下去，我们就回到了起点。我认为我们的确在潜意识中体验并欣赏了如此精美的数学结构，尽管我们可能没有意识到。这种变化还具有令人愉悦的内部对称性：每个结尾词在不同的诗节中出现在不同行的末尾，从第一行到第六行，这真是一个引人注目的设计思路。
通常对于如此古老的诗歌体裁，我们总是能找到一个举世公认的发明人——12世纪的诗人阿尔诺·达尼埃尔。当时它被视为一种极其精巧的诗歌形式，只有专业的吟游诗人才能掌握。我不知道达尼埃尔是怎么想到这个主意的——它是一个非常简单又方便记忆的排列，你可能会想，一旦你了解了接下来的过程，假设每个诗节的数量和行数都是6，那么在6次变化之后，你自然就会回到最初的起点。但是，如果我们创造出一种“四节诗”，还用同样的方式改变结尾词的排列顺序，那会发生什么？我们先写出第一个四行诗节，假设结尾词的顺序是“北/东/南/西”。记住前面的规则，用结尾词的逆序与正序交错，于是第二节结尾词的顺序就是“西/北/南/东”。重复这个过程，得到第三节的结尾词“东/西/南/北”，然后是第四节的结尾词“北/东/南/西”。哎呀！我们在第四节就回到了最初结尾词的顺序！所以这种方式无法让我们呈现出4个结尾词顺序不同的诗节。更糟糕的是，你可以看到“南”的脚下生了根，它在每一节中都是第三行的结尾词。
如果尝试用6以外的数字来创作符合六节诗规则的诗歌，你会发现它有时有效，有时无效。在20世纪60年代，人们开始寻找 n 是哪些数值时可以完美地契合这个规则。这种类型的“广义六节诗”被乌力波起名为“格尼纳”（quenina），用来纪念雷蒙·格诺。后来人们发现这是个相当复杂的问题，例如3、5、6、9、11都可以，但4、7、8、10就不行。更令人惊讶的是，人们直到现在还不能确定是否有无穷多的 n 值能创作出符合格尼纳规则的诗歌，尽管数学家让-纪尧姆·迪马在2008年的一篇论文中描述了 n 必须具备的特征。有那么一类特定的数字总能符合格尼纳规则，它们都是质数，叫作“索菲·热尔曼质数”。这个名称源于一位卓越的数学家，她曾在多个数学领域做出杰出的贡献，但为了进入大学读书她不得不使用一个假名，还总要请同学帮助她整理课堂笔记，就是因为她身为女性——那毕竟是18世纪的巴黎。所谓的热尔曼质数就是当你把它乘以2再加1时，结果仍然是一个质数。例如，3就是一个热尔曼质数，因为3×2+1=7仍然是一个质数。但7就不是热尔曼质数，因为7×2+1=15不再是一个质数。我在这里无法列出证明过程，但每一个热尔曼质数的确都符合格尼纳规则，我对这类数字颇有好感。实际上，我知道至少有一首“三节诗”（3个诗节，每节3行，最后一行包括了所有3个结尾词）曾被正式发表，作者是英国诗人柯尔斯滕·欧文。
愚蠢的姓名何时才会结束，这些小小的标签
绑在孩子的脚趾上，那都是父母的放任
和暴君般的远见惹恼了当地的法庭？
今天你们三人形同陌路，离开法庭
各回各家，取下自己财物上的标签
正如当初的放任
什么才是一个合理的名字，连珠妙语由不得你放任
就是因为腐败的法庭
和厕所里污秽不堪的标签
标签被放任之时，一个不叫塔露拉的女孩以法庭之令昭示世界。
押韵格式和格尼纳规则都是针对诗句结尾的限制条件，我们看到了由此引发的一些有趣的数学现象。但是当思考诗句中的某些规律时，我们发现了更多值得研究的内容。下面我们就来探索一番。
除了押韵格式，许多诗歌的句子通常还包含特定的节奏，我们叫作“格律”。例如，莎士比亚的戏剧就有很多的“五步抑扬格”（iambic pentameter）。这个词中的“penta”来自希腊语的“五”，“iamb”是一个双音节词语，重音在第二个音节上。因此，iambic pentameter共有10个音节，每个单词中的第二个音节都重读。我在下面的例子中用下划线强调了重读音节（摘自《罗密欧与朱丽叶》阳台上那一场）。
But soft , what light through yon der win dow breaks ?
It is the East , and Ju liet is the sun .
（大意：轻声！那边窗子里透出来的是什么光？那就是东方，朱丽叶就是太阳！）
这种“抑扬、抑扬、抑扬、抑扬、抑扬”的格律可以用形象化的点和线来表示，就像莫尔斯码。一个抑扬格是“·━”，五步抑扬格就是：
·━·━·━·━·━
重读音节和非重读音节组成的基本模式被称为“音步”。举两个常见的例子与我们前面讨论过的抑扬格做一下比较：扬抑格（━·），如“Quoth the Raven‘Nevermore’”（乌鸦答曰，“永不复焉”）；扬抑抑格（━··），如罗伯特·勃朗宁在《迷失的领袖》中的第一句“Just for a handful of silver he left us”（只为了一把银钱他离开了我们），这句话实际上是3个扬抑抑格加上一个扬抑格。对于给定数量的音节，有多少种可能的音步？每个音节存在两种可能——重读音节或轻读音节，于是单音节所能形成的音步数量就是2（·或━）。对于双音节，我们可以在两边各添加一个·或者一个━，因此一共有4个音步。我们还可以继续添加·或者━，形成三音节的8个音步。音步的数量呈倍数增长，因此出现这样一个数字序列1、2、4、8、16等等，即2的幂。
然而，在另一类诗歌中，出现了一些与此截然不同的模式。我第一次读到这个现象，是在乔丹·埃伦贝格对几何学的精彩赞歌《图形》（ Shape ）一书中。他提到，一位数学家朋友曼纽尔·巴尔加瓦给他讲述了梵文诗歌中的音步。就像英语诗歌一样，梵文诗歌的音节模式也相当重要，但是英语强调重读音节的位置，而梵文更加关注音节的长度。梵文音节分为laghu（轻）和guru（重）。重要的一点，laghu表示单音节，guru表示双音节。这可把问题搞复杂了，比如想知道四音节有多少种可能的音步，我们就不能简单地把三音节的音步数量乘以2。那该怎么办？我们只能从头开始分析，单音节只有一种可能：laghu。双音节有两种可能：laghu laghu或guru。对于三音节，你会发现3种可能：laghu laghu laghu、laghu guru或guru laghu。对于四音节，我们采取聪明一点儿的方法，把它分为两个部分，音步的起始要么是laghu，要么是guru。如果从laghu开始，那么我们可以选择三音节的任意一个音步跟在它的后面，形成四音节。如果从guru开始，我们只能在双音节的两个音步中挑选一个跟在它的后面。因此，四音节的音步共有3+2=5种可能。
laghu laghu laghu laghu
laghu laghu guru
laghu guru laghu
guru laghu laghu
guru guru
更重要的是，你可以无限制地沿用这种方法。五音节的音步要么是laghu+（一个四音节音步），要么是guru+（一个三音节音步）。因此，五音节的音步数量等于四音节的音步数量加上三音节的音步数量，也就是5+3=8。我们还可以继续这个过程，每个数字都是前两个数字之和。于是我们就得到一个梵文音步数列：
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
你以前可能见过这个数列。英语国家称它为“斐波那契数列”，由比萨的莱昂纳多在13世纪推广到欧洲，他的昵称就是“斐波那契”。（有时候这个数列的前两项是两个1，但原理是一样的。）正如我们所说，从第三项开始，每一项都是前两项之和。例如13=5+8，21之后的一项就是13+21=34。斐波那契数列具有很多有趣的特性，其中之一就是相邻两项之比
，…无限逼近著名的“黄金律”
≈1.618。
斐波那契在1202年的《计算之书》中介绍了这个数列，用的是一个极其愚蠢的与兔子有关的例子。最开始的时候你有一对新出生的兔子，这对兔子在一个月之后交配，又过了一个月，母兔产下一对幼崽。我们必须丢弃现实中的一些限制条件，假设兔子永远不会死，而且不停地繁殖，也不考虑无关紧要的近亲繁殖问题。那么一年后将有多少对兔子？我们可以看到，这个数列适用于同样的规则。在任意一个月，兔子的数量是一个月之前的数字，加上这个月新出生的数字，也就是（从出生到繁殖需要两个月）两个月之前兔子的数量。于是数列中的每一项都是前两项之和。但是这个数列早在斐波那契之前就被印度的诗歌学者发现了。格律专家维拉安卡（公元600年到800年之间）、戈帕拉（公元1135年以前）和赫马钱德拉（约公元1150年）都知道这个数列，也了解其生成的方式。还有证据表明，这个数列曾出现在更早期的平伽拉（约公元前300年）的作品中。或许我们该给“斐波那契数字”改个名字了。
数学与诗歌是两项最古老的创意表达方式，它们之间的联系可以追溯到人类写作的最初阶段。人类历史上已知的最古老的署名作品来自一位非同凡响的女性，名叫恩西杜安娜，她生活在4 000多年前的美索不达米亚城邦乌尔。她或许创作了有史以来的第一部诗歌集——包含了42首诗歌的《神庙赞美诗》。但是作为月神南纳的最高女祭司，她还需要掌握天文学和数学知识。无论是对数字的运用，尤其是数字7，还是对计算和几何学的涉猎，这些内容都体现在她的诗歌中。《神庙赞美诗》的最后一句提到了“具有真正无上智慧的女人”的数学工作：
她测量上方的天穹
在地面布下测量线。 [4]
诗歌与数学之间的爱情，由一见倾心到蓬勃发展。数学一直存在于诗歌的深处，支撑着它的韵律，隐藏在它的结构中。正如19世纪伟大的数学家卡尔·魏尔施特拉斯所说：“一个没有几分诗才的数学家永远不会是一个完美的数学家。”至于诗歌，它仅仅是数学借用其他方式的某种延续。
[1] 庞德说：“所谓‘意象’，就是在刹那间呈现出一种理智和情感的复合体……正是这种‘复合体’的瞬间呈现给人一种豁然开朗的感觉，一种脱离了时间和空间束缚的自由感，一种瞬间成长的感觉，我们能在伟大的艺术作品中体验到这样的感觉。”（“A Few Don’ts by an Imagist”， Poetry ，Chicago，March 1913.）他解释说，就像在诗歌中一样，同一个数学表达式通常可以在几个不同的层面上被解释。
[2] 想了解完整的学术探讨，可以尝试阅读 The Poetics of Japanese Verse——Imagery, Structure, Meter by Koji Kawamoto（University of Tokyo Press，2000）。我还推荐Abigail Friedman的 The Haiku Apprentice: Memoirs of Writing Poetry in Japan （Stone Bridge Press，2006），作者在书中讲述了她在东京担任美国外交官期间学习写俳句的经历。至于互联网资源，初学者最好的落脚点是www.graceguts.com，网站创建人是诗歌和俳句专家迈克尔·迪伦·韦尔奇。
[3] 源氏纹的全部52个图案，以及《英国诗歌艺术》（ The Arte of English Poesie ）中的部分内容可参考数学家和计算机科学家高德纳的文章《两千年组合学》，这篇文章出现在由罗宾·威尔逊和约翰·J.沃特金斯编辑，由牛津大学出版社于2013年出版的《组合学：古代与现代》（ Combinatorics: Ancient & Modern ）一书中。高德纳和我一样，认为人类最好的沟通方式就是讲故事，无论是在数学还是其他领域。这个想法贯穿了他的计算机编程哲学，他曾经说，如果我们把程序当成文学作品，成效将得到大幅提高。他还在1974年写了一部小说《研究之美》，这本书超越了当时的年代，但仍值得一提，因为在我看来，这是唯一一本在一项数学研究（即约翰·康威发现一类新型数字的过程）被正式发表之前将其介绍给读者的小说。
[4] 《神庙赞美诗》有若干翻译版本，但是我最喜欢萨拉·格拉茲的译本。格拉兹是一名广受尊崇的数学家和诗人，她既出版过抽象代数学的教科书，也出版过一本诗集《数字颂歌》（ Ode to Numbers ，Antrim House，2017），书名来自智利诗人巴勃罗·聂鲁达的一首诗。