“混沌”中的有序

提到数学中的常数，你的第一反应大概是e和π。数学中还有许多具有令人惊奇性质的常数，费根鲍姆常数（准确来说，费根鲍姆常数有两个，分别叫“费根鲍姆第一常数”和“费根鲍姆第二常数”。本书介绍的是前者）就是其中之一。这个常数是以其发现者，美国数学家米切尔·费根鲍姆的名字命名的。

要理解费根鲍姆常数，需要从了解一个生物种群数量变动模型开始。很久以前，科学家就很关心生物种群数量的变动问题。人类本身也是一种生物种群，人类未来人口数量是增加还是减少，如何变动，当然是一个非常重要的问题。

1845年，比利时数学家皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒提出这样一个人口变动模型：

假设在地球或者一个特定的，相对封闭的生物群落中，存在一个理想的人口数量，称其为“可维持人口数”。一旦人口超过这个数量，那么由于资源的匮乏和紧张，人口就要减少。如果人口低于这个可维持人口数，则因为资源充裕，人口就会增加。

另外，人口的变化当然还与平均生育率或者繁殖率相关。因此韦吕勒提出了这么一个公式：如果把“当前人口数/可维持人口数”这个比值记为 ，繁殖率记为 ，则：

其中 表示流逝的时间，则 表示 随时间变化的趋势。可以看出，如果当前人口数量超过可维持人口数量，那么 就会大于1，以上公式右边的取值就会小于0，也就是人口变化趋势是逐渐减少。如果 小于1，则人口增加。

以上模型看上去有些道理，不过我们并不关心这个模型在生物学上是否有用，只需要知道有这个模型。

韦吕勒把以上的人口变动模型公式命名为Logistic Map。这个名字的来历是有点让人困惑的，“Map”在数学中通常是“映射”的意思，“Logistic”在词典里是“后勤保障”的意思。那么“Logistic Map”就是“后勤映射”？这个翻译听上去太奇怪了。中文给“Logistic Map”的正式翻译是“逻辑斯谛映射”，这个翻译是音译，对我们理解这个名词也没有帮助。

“维基百科”给了一个翻译叫“单峰映射”，这个翻译好一点。但这个翻译是从曲线形状来的，因为 是一个二次函数。二次函数在图像上一般只有一个最大值或最小值，在图像上看像一座山峰，所以叫“单峰映射”。

但这个翻译完全与英语原词无关了。笔者考证了一下“Logistic Map”名称的来历，终于发现维基百科上有个注释。这个注释说“Logsitic”其实是来自法语中的“Logistique”一词。韦吕勒是比利时人，比利时的官方语言之一正是法语。而法语中的“Logistique”一词，又是源于古希腊语中的同根词。在古希腊语中，这个词有“居住、住宿”的意思。比如，英语里有“lodging”一词，就是来自同一词源。

既然“Logistic”与“居住”“住宿”有关，那么“Logistic Map”，我就翻译为“生存空间映射”了。以上有点扯远了，但是考证一下这个词的来历，可以帮我们理解这个函数的含义。

接下来，简单说说数学家费根鲍姆的简历。费根鲍姆于1944年出生于美国费城，父母分别是来自波兰和乌克兰的犹太裔移民。少年时代的费根鲍姆对电气工程很感兴趣，曾希望成为电气工程师，因此选择进入纽约城市大学的电气工程专业学习。但他后来发现制造收音机中用到的物理知识，只是物理理论中很小的一部分。

因此，费根鲍姆从纽约城市大学毕业后，考入了麻省理工学院，攻读物理博士学位。1970年，26岁的费根鲍姆取得了物理学博士学位。1974年，他进入洛斯阿拉莫斯实验室，成为专职研究员，当时他的研究领域是流体中的湍流现象。尽管完整的湍流理论至今还有待建立，但是这方面的研究使他接触到了“混沌映射”理论，这在当时还属于新兴研究领域。

之前提到的“生存空间映射”就是“混沌映射”的一种，费根鲍姆开始考虑这样一个问题：在“生存空间映射”中，如果给定一个固定的繁殖率参数 ，取不同的 ，进行反复迭代，将上一次的计算结果作为下一次的参数 进行计算，那么最终结果会如何？是否会出现 变为0，物种灭绝的情况？或者出现某种循环状态？

对这个问题，用现在的个人计算机可以轻易地编写出程序，很快对各种可能参数进行模拟。但20世纪70年代的计算机非常昂贵，不是想用就能用的。所以费根鲍姆就搞来了一台当时很时髦的HP-65计算器，手动开始进行“生存空间映射”的模拟计算。

如果你手头有一台科学计算器，那么你可以拿出计算器，跟随本书，感受一下这一计算过程。现在，我们的目标是考察“生存空间映射”： 在不同的 值下，反复迭代后的最终表现。

我们先任取一个繁殖率参数 的值进行考察，比如取0.6。 的初值含义是当前人口除以“可维持人口”的比值。但在当前的纯数学讨论中，这个值可以取任何值。好在费根鲍姆已经帮我们计算过了，我们知道最终的结论是：对绝大多数 ， 初值并不重要，最终还是会回归到某种稳定情况。所以，我推荐 的初值就取0.5，这样可以较快地看到收敛。

那么，我们把 ， 代入，得：

因为要计算迭代过程，所以我们把上一次计算的结果0.15代入公式，计算下一代的人口变化，也就是计算：

那么得到的最新值是0.0765后，把这个值继续作为 的值，代入原公式，不断反复迭代计算后，你会发现计算结果越来越小，直到超过计算器的指数存储上限，计算器最终会显示0。

所以，我们知道，当繁殖率参数为0.6时，种群最终消亡了。但这只是繁殖率为0.6的情况，费根鲍姆尝试了非常多的 值，以及不同初始 值的组合，最终有了惊人的发现。

首先，当繁殖率参数在0和1之间时，种群数量最终趋向于0。这是符合直觉的，因为繁殖率太低了。

当繁殖率在1和2之间时，物种就不会灭绝了，而是最终稳定在 这个值上，且不依赖 初值。比如，当 时， 会稳定在1/3，即种群数量会稳定在某个数值上。这一点请各位用计算器自行验证。

当繁殖率在2和3之间时， 最终仍然稳定在 这个值上，但这次，在收敛到这个终值前，函数值会在这个收敛值的上下摆动很长一段时间，尤其当 的时候。也就是说，在计算器上要按非常多的次数。我自己尝试了一下，当 时，理论上映射应该稳定在 这个值上。但我的计算器迭代了上百次，按到手指都酸了，仍然没有稳定在这个值上。虽然数字越来越接近2/3，但收敛得非常缓慢。这很有意思，虽然 在[1，2]和[2，3]范围内，映射的收敛情况是一样的，但是收敛速度相差非常大。

当繁殖率在3和3.44949之间时，对几乎所有的 初值，都能使函数最终稳定在两个值之间的震荡状态中，呈现“A-B-A-B…”的模式，来回摆动。而A，B的值是与繁殖率相关的。

当繁殖率在3.44949和3.54409之间时，最终的结果是在四个数字中来回震荡了。

当繁殖率在3.54409和3.56695这样一个狭小范围内时，你也许能猜到函数值会在8个、16个、32个等 个数值之间来回震荡。

当 约等于3.56695时，函数进入了一个混沌起始点。不管初值如何，都无法观察到函数最终稳定在有限的若干数字上的情况。而且微小的初值变化，可以使函数值的变化模式产生巨大的不同。

当 大于3.56695时，情况类似，几乎都是混沌区域。但神奇的是，在混沌中，还是会有那么一些不怎么混沌的区域，比如 附近。当 在这个值附近时，函数又会出现周期性的震荡，而且是在三个数值之间震荡。 附近的这个范围，现在被称为“稳定岛”，因为它是在一大片混沌区域中，相对安全的一个“岛屿”。

以上大致介绍了一下，不同的繁殖率 值时，“生存空间”映射迭代后的最终表现，总结就是：从很有规律地收敛到1个值，到逐渐复杂，变为在2个、4个、8个值之间来回震荡等，再到混沌。混沌之后，又出现神奇的一小片一小片的“稳定岛”。

说起来简单，但要在计算器上按出这些结果，不但需要毅力，而且需要很强的观察力和想象力。费根鲍姆思考，这些结果到底有什么含义呢？能否用更直观的方法体现出来？

费根鲍姆想到了，可以用坐标图来使以上结果“可视化”。最终画出的这幅图就是著名的“分叉图”。

对这幅图是这样解读的：横坐标是繁殖率参数 ，纵坐标是 。如果对某个 ，最终 稳定在单个值上，那么就在对应的 位置画一点。如果是在两个值 ， 之间震荡，则在图中为 和 两个点画上颜色，依次类推。在整幅图中，如果某区域点比较多，颜色比较深，就是 在非常多的值之间震荡或者混沌的区域。而颜色比较浅的区域，就是比较有规律，不怎么混沌的区域。所以，在这幅图中，你可以清晰地看到在 之后，函数值开始在两个值之间震荡，在3.44949位置，分为4个叉等。而右边深色区域中的狭长浅色区域就是“稳定岛”。

这幅图非常直观。费根鲍姆还观察到，图上映射图像发生分叉的位置，也就是1分2，2分4，4分8的位置是有规律的。这个规律就是前两次分叉之间的距离除以后两次分叉之间的距离的比值，极限约为常数4.6692…

[上式：费根鲍姆（第一）常数的定义， 是第 次分叉发生位置的横坐标。]

而这个4.6692…的比值，就是费根鲍姆常数。1975年，费根鲍姆发现了这个常数。1986年，费根鲍姆获得了沃尔夫物理学奖。此后，费根鲍姆也在多个数学和物理领域做出了贡献。

费根鲍姆常数发现至今已近五十年，但它的很多性质仍不清楚。例如，虽然人们猜想费根鲍姆常数是超越数，但至今都未能证明它是无理数。另外，也有人考察过是否能用已知常数表示费根鲍姆常数。

对费根鲍姆常数，有一个很有意思，也很神秘的近似值：

它可以与费根鲍姆常数吻合到小数点后6位，但可惜不是精确吻合。

费根鲍姆常数并不仅仅出现在“生存空间”映射中。数学家还研究了其他的一些映射，比如，复数平面上的 等（c是一个常数）。这些二维平面下的映射，根据不同的c值，也会出现从规律性的震荡到混沌的现象，而且从这些映射的分叉图中，也观察到了费根鲍姆常数，由此证明费根鲍姆常数在混沌现象中的普适作用，这凸显了这个常数在混沌领域中的重要性。

以上简单介绍了费根鲍姆常数的来历，它确实是一个用计算器“按出来”的常数。费根鲍姆曾说过，正是在反复按计算器，观察输出结果的过程中，给了他将结果画在坐标图上的灵感。如果使用现代计算机，虽然可以一次产生海量的数值结果，但他可能迷失在数据海洋中，无法找到其中的规律。这确实是一个罕见的“低技术”带来的发现。

“混沌”领域的问题是一个数学中神秘而有趣的领域，仍有无穷的秘密等待人类探索。 gzpGPoE6yKW4vnFUP3kEqi0ksKSiqekqpIg4ruzY9wPsfumX6dYj9soz1f99OevP