有意思的163

看到数字“163”，你的第一反应是啥？你可能会想到某个著名网站，但163这个数字确实是在数学里有特别性质的。

1975年4月，美国科普作家马丁·加德纳在《科学美国人》杂志的专栏中声称，数学家发现数字 是一个整数。

当然，这只是一个愚人节玩笑，但是这个数字确实非常接近一个整数：

其小数点后有12个9。而且可以证明，把163换成任何其他自然数都不会使结果更接近整数。与这个结论直接相关的问题叫作“高斯类数问题”，这个问题的历史十分悠久。在以下介绍中，因为很多问题的细节比较复杂，无法详细解说，所以读者关注主要脉络即可。

1772年，欧拉发现以下多项式能产生非常多的质数：

，在 时，都是质数。稍微分析一下这种形式的多项式： ，如果这个多项式的值等于某个合数，那似乎意味着这个多项式可以做某种因式分解：

这又像是说方程 有两个解。如果把它视作一个一元二次方程的话，则它的判别式是：

此处，你把 用41代入，会发现值恰为-163。所以这里的41是与163有关联的，并且在这个多项式中，把 的值换成任何其他整数，都不能比41产生更多的质数。当然，这些都是很多年后才证明的。

后来，高斯考虑了以上问题的一般化问题，用以下形式的二次多项式可以表示怎样的整数：

其中 都是正整数。

高斯发现， 的数值决定了以上多项式表示整数的性质，他称其为“判别式”。

在现代符号中，人们习惯用以下形式的二次多项式：

对应的判别式相应变为： （确实与一元二次方程的判别式一模一样，请体会它与一元二次方程的关系），这个判别式通常用字母“ ”表示。

高斯发现，根据不同的 值，可以决定以上多项式可以变换的（不等价）形式的种类数，记作 ，称为“类数”。

对类数的一种直观理解是它决定了在二次域 中的整数的因子分解情况。那么什么是域 ？简单来说，它就是在有理数集合 Q 中，添加元素 后，得到的另一个对加法和乘法封闭的运算系统。

比如，在有理数中添加 ，我们就得到了一个集合，集合中的元素可以写作 都是有理数。可以验证，在这样一个集合中，进行加法和乘法运算，你跳不出这个集合，即这个集合对加法和乘法是“封闭”的。与此类似，可以添加任何的 ，利用加法和乘法，在保持封闭性的前提下，扩大集合，术语称为“扩域”。注意，因为这里的 是在一个根号内，所以以下默认所有的 都是“无平方数”，即在 的因子分解中，不含有任何质数的2（或以上）次方，比如 不等于 等，因为在这些情况下，扩域都等价于另一个域。

在这些扩域中，我们还需要先定义整数，然后才能考虑其中的质因数分解问题。在数学中，这些域中的整数称为“代数整数”，它们必须是如下形式的方程的根： ，其中 为整数。

因为这个方程的最高次项的系数为1，所以被称为“首一整系数二次多项式”。高斯整数就是 域中的整数，因为 是方程 的根。

看上去似乎域 中的整数应该是 ，其中 为整数”的那些数，但有一点儿小小的例外。比如，在 中， 是如下整系数方程的根（带推导过程）。考虑多项式：

所以， 是方程 的根，从而 是一个代数整数。从以上推导过程可以看出，当且仅当 除以4余1时， 形式的数是代数整数。所以，代数整数在不同的 值的情况下，其中的“整数”的形式为：

不管怎样，高斯发现类数 决定 中的“整数”。是否具有唯一因子分解定理？当且仅当 时，唯一因子分解定理成立，否则不成立。比如， ，所以在 中，不具有唯一因子分解性质。比如：

但是，根据D计算和证明 的值是十分困难的。高斯在1801年出版的数论巨著《算术研究》中，提出了关于类数 的一系列猜想。

在这本书里有一个神奇的表格，高斯把自然数按（猜想的）类数分类，用的是当时刚出现的生物学分类方法。他用了“纲”和“属”两个词，而且“属”的级别比“纲”高，“属”和“纲”中的对象都是自然数：

要注意的是，由于之前提到过的，高斯的类数定义与现代定义略有区别，所以上表中的数值与现代的类数数值是不同的。如果用现代定义，关于类数，高斯主要提出了以下几个猜想：

当 时，存在无穷多个 ，使得 。

这个猜想现在被称为“实数二次域上的类数1问题”，因为 时，这个数域里都是实数。这个猜想非常难，到现在也没有被证明。

当 时， 趋向负无穷大， 的值趋向无穷大。

这个问题被称为“虚数二次域上的类数问题”，因为当 时，数域里会含有虚数。这个猜想至今没有被完全证明。

高斯还给出了关于特定类数值的猜想，其中最著名的一个是“高斯的1类数问题”，当 时，只有有限多个 可以使 ，它们是以下9个数：

高斯没有给出他是如何找出这些数字的，只在书中说：“证明这些结论似乎非常困难。”很多年后，他的这个猜想终于被证明了。

此后，关于类数问题的第一个突破是在1918年，德国数学家艾里希·赫克证明，如果黎曼假设成立，则高斯的第二个猜想成立，也就是 趋向负无穷大，类数趋向无穷大。到了1934年，英国数学家莫代尔和德国数学家汉斯·海尔布隆证明如果黎曼假设不成立，则高斯的第二个猜想成立。

这下出现了一种神奇的情况，不管黎曼假设成不成立，高斯的猜想都成立，所以，高斯的第二个猜想就被证明了，现在它被称为“艾里希赫克-莫代尔-海尔布隆定理”。这大概是重要数学证明中绝无仅有的一种情况，证明方式为：

如果A成立，则B成立；如果A不成立，则B也成立；所以B总是成立，但我们还是不知道A成不成立。

以上结论运用到以上第三个猜想上，意味着当 时，类数趋向无穷大，所以我们知道只能有有限多个负整数 ，使得类数为1。而海尔布隆和数学家林福特在1934年证明了最多只能有10个负整数 ，使得类数为1。而且，他们确定高斯猜想的那9个数值都是对的。

此时的问题就变成，是否还有第十个负整数，使得类数是1？这其中有一个戏剧化的故事。1952年，一位60岁的德国电气工程师库特·黑格纳发表了一篇论文，宣称证明了不存在第10个整数 ，也就是说，以上9个整数就是全部使类数为1的负整数，这就等于解决了虚数域上的类数1问题。但是，由于他的本职工作是电气工程师，所以他的论文不太被重视。一些数学家看了他的论文后，又发现有一些明显的漏洞，所以数学家认为他的证明不成立。

又过了14年，1967年，英国的艾伦·贝克和美国的哈罗德·史塔克完整地给出了一个类数1问题的证明。他们证明不存在第10个这样的整数，并且通过了同行评议。二人此后还因此获得了菲尔兹奖。

史塔克之后在审阅黑格纳的证明时，惊奇地发现黑格纳的证明整体思路是不错的，虽然里面有些漏洞，但都是可以填补的，而且他的证明思路跟自己的证明很像。1968年和1969年，另一位数学家和史塔克先后给出了对黑格纳证明的“修补”，使它成为一个无漏洞的证明。

1969年，黑格纳已经去世四年，人们为了纪念他，把类数1问题的证明称为“史塔克-黑格纳定理”，并且把那9个使得唯一因子分解定理在虚数域上继续有效的数（取绝对值后）称为“黑格纳数”：

1，2，3，7，11，19，43，67，163

所以，163就是最大的黑格纳数。史塔克说，一个人的荣誉死后才能得到，是很让人遗憾的事。但好在数学界最终还是给了“业余数学家”黑格纳一些补偿。

那么，163这个数字的特殊含义至此应该是清楚了，即在所有 的数域中，满足类数 ，且 的情况下， 是最小的那个。这也意味着在 中，唯一因子分解定理仍然成立。

满足 的那些 有一个好玩的性质就是，可以使得 非常接近整数（当然，以下式子里，744这个数字的出现也是有含义的，但我无暇细说）：

而 这个特性，其实最早是1859年数学家赫米特发现的。但人们觉得这个数字的风格太像印度传奇数学家拉马努金的风格了，所以就叫它“拉马努金常数”。

虚数域上的类数问题的进展是：1971年，史塔克和贝克分别独立证明，有18个负整数 ，使得 。1985年，奥斯达利解决了 的问题。2004年，沃特金斯解决了所有 ≤100的情形。

相比之下，实数域上的类数问题研究更为缓慢。目前还不知道，是否存在无穷多个正整数 D ，使得 。当然，还有三次、四次域上的类数问题等，数论领域实在是深不可测。