学数学会上瘾最新章节_李有华著

有意思的163

看到数字“163”，你的第一反应是啥？你可能会想到某个著名网站，但163这个数字确实是在数学里有特别性质的。

1975年4月，美国科普作家马丁·加德纳在《科学美国人》杂志的专栏中声称，数学家发现数字是一个整数。

当然，这只是一个愚人节玩笑，但是这个数字确实非常接近一个整数：

其小数点后有12个9。而且可以证明，把163换成任何其他自然数都不会使结果更接近整数。与这个结论直接相关的问题叫作“高斯类数问题”，这个问题的历史十分悠久。在以下介绍中，因为很多问题的细节比较复杂，无法详细解说，所以读者关注主要脉络即可。

1772年，欧拉发现以下多项式能产生非常多的质数：

，在时，都是质数。稍微分析一下这种形式的多项式：，如果这个多项式的值等于某个合数，那似乎意味着这个多项式可以做某种因式分解：

这又像是说方程有两个解。如果把它视作一个一元二次方程的话，则它的判别式是：

此处，你把用41代入，会发现值恰为-163。所以这里的41是与163有关联的，并且在这个多项式中，把的值换成任何其他整数，都不能比41产生更多的质数。当然，这些都是很多年后才证明的。

后来，高斯考虑了以上问题的一般化问题，用以下形式的二次多项式可以表示怎样的整数：

其中都是正整数。

高斯发现，的数值决定了以上多项式表示整数的性质，他称其为“判别式”。

在现代符号中，人们习惯用以下形式的二次多项式：

对应的判别式相应变为：（确实与一元二次方程的判别式一模一样，请体会它与一元二次方程的关系），这个判别式通常用字母“ ”表示。

高斯发现，根据不同的值，可以决定以上多项式可以变换的（不等价）形式的种类数，记作，称为“类数”。

对类数的一种直观理解是它决定了在二次域中的整数的因子分解情况。那么什么是域？简单来说，它就是在有理数集合 Q 中，添加元素后，得到的另一个对加法和乘法封闭的运算系统。

比如，在有理数中添加，我们就得到了一个集合，集合中的元素可以写作都是有理数。可以验证，在这样一个集合中，进行加法和乘法运算，你跳不出这个集合，即这个集合对加法和乘法是“封闭”的。与此类似，可以添加任何的，利用加法和乘法，在保持封闭性的前提下，扩大集合，术语称为“扩域”。注意，因为这里的是在一个根号内，所以以下默认所有的都是“无平方数”，即在的因子分解中，不含有任何质数的2（或以上）次方，比如不等于等，因为在这些情况下，扩域都等价于另一个域。

在这些扩域中，我们还需要先定义整数，然后才能考虑其中的质因数分解问题。在数学中，这些域中的整数称为“代数整数”，它们必须是如下形式的方程的根：，其中为整数。

因为这个方程的最高次项的系数为1，所以被称为“首一整系数二次多项式”。高斯整数就是域中的整数，因为是方程的根。

看上去似乎域中的整数应该是，其中为整数”的那些数，但有一点儿小小的例外。比如，在中，是如下整系数方程的根（带推导过程）。考虑多项式：

所以，是方程的根，从而是一个代数整数。从以上推导过程可以看出，当且仅当除以4余1时，形式的数是代数整数。所以，代数整数在不同的值的情况下，其中的“整数”的形式为：

不管怎样，高斯发现类数决定中的“整数”。是否具有唯一因子分解定理？当且仅当时，唯一因子分解定理成立，否则不成立。比如，，所以在中，不具有唯一因子分解性质。比如：

但是，根据D计算和证明的值是十分困难的。高斯在1801年出版的数论巨著《算术研究》中，提出了关于类数的一系列猜想。

在这本书里有一个神奇的表格，高斯把自然数按（猜想的）类数分类，用的是当时刚出现的生物学分类方法。他用了“纲”和“属”两个词，而且“属”的级别比“纲”高，“属”和“纲”中的对象都是自然数：

高斯书中出现的类数表格

要注意的是，由于之前提到过的，高斯的类数定义与现代定义略有区别，所以上表中的数值与现代的类数数值是不同的。如果用现代定义，关于类数，高斯主要提出了以下几个猜想：

当时，存在无穷多个，使得。

这个猜想现在被称为“实数二次域上的类数1问题”，因为时，这个数域里都是实数。这个猜想非常难，到现在也没有被证明。

当时，趋向负无穷大，的值趋向无穷大。

这个问题被称为“虚数二次域上的类数问题”，因为当时，数域里会含有虚数。这个猜想至今没有被完全证明。

高斯还给出了关于特定类数值的猜想，其中最著名的一个是“高斯的1类数问题”，当时，只有有限多个可以使，它们是以下9个数：

高斯没有给出他是如何找出这些数字的，只在书中说：“证明这些结论似乎非常困难。”很多年后，他的这个猜想终于被证明了。

此后，关于类数问题的第一个突破是在1918年，德国数学家艾里希·赫克证明，如果黎曼假设成立，则高斯的第二个猜想成立，也就是趋向负无穷大，类数趋向无穷大。到了1934年，英国数学家莫代尔和德国数学家汉斯·海尔布隆证明如果黎曼假设不成立，则高斯的第二个猜想成立。

这下出现了一种神奇的情况，不管黎曼假设成不成立，高斯的猜想都成立，所以，高斯的第二个猜想就被证明了，现在它被称为“艾里希赫克-莫代尔-海尔布隆定理”。这大概是重要数学证明中绝无仅有的一种情况，证明方式为：

如果A成立，则B成立；如果A不成立，则B也成立；所以B总是成立，但我们还是不知道A成不成立。

以上结论运用到以上第三个猜想上，意味着当时，类数趋向无穷大，所以我们知道只能有有限多个负整数，使得类数为1。而海尔布隆和数学家林福特在1934年证明了最多只能有10个负整数，使得类数为1。而且，他们确定高斯猜想的那9个数值都是对的。

此时的问题就变成，是否还有第十个负整数，使得类数是1？这其中有一个戏剧化的故事。1952年，一位60岁的德国电气工程师库特·黑格纳发表了一篇论文，宣称证明了不存在第10个整数，也就是说，以上9个整数就是全部使类数为1的负整数，这就等于解决了虚数域上的类数1问题。但是，由于他的本职工作是电气工程师，所以他的论文不太被重视。一些数学家看了他的论文后，又发现有一些明显的漏洞，所以数学家认为他的证明不成立。