三维世界中的“和谐”比例

数学中的常数很多，“黄金分割比”是大家比较熟悉的一个：

数学中有一个与黄金分割比有关，但不太为人所知的常数：“塑料常数”，英文叫“Plastic Constant”。

这个数字的定义很简单，它就是方程 的唯一实数根，约等于1.3247或4/3。一元三次方程是有根式解的，所以塑料常数有一个根式表达形式：

你可能注意到这个数字的定义与黄金分割比例有点像。黄金分割比是方程 的解，而塑料常数就是把这个方程左边未知数的指数从平方改成了立方之后的解。那么它们之间有联系吗？被你猜对了，确实有联系，我们还是要从这个常数的来历说起。

话说在1924年，法国工程师热拉尔·科尔多尼就专门研究过这个数。当时只有17岁的他，把这个数命名为“辐射数”。但四年之后，荷兰建筑师汉斯·范德兰发表了有关这个数在自然界中的属性和在建筑美学上的应用，并且把这个数字命名为“塑料常数”，当年他只有24岁。

这是一次意外的跨界事件。像 这样的方程，对数学家来说，已经研究了很多，人们也知道这个方程的实数解的一些特别性质。但这位建筑师经过研究后，发现了不同的意义。这位建筑师发现这个数字在自然界中有一些美学含义。所以人们接受了范德兰命名的“塑料常数”这个名字。范德兰的结论是：塑料常数是“美”的，更重要的是，它是“清晰”（clarity）的。

范德兰的发现是从思考两个问题开始的，这两个问题都是关于我们如何感受现实中物体的长度、大小，以及如何把它们归类。

第一个问题是这样的：请看上面这些大小不同的正方形，有20个。其中最小的边长是5，最大的边长是25，是最小边长的5倍。请看一下，是否你的第一感会自动地把这些正方形分类，使得其中一些属于“偏小”的，其中一些属于“大”的。尽管这些正方形大小都是渐变的，所以不能严格地归为“大”或“小”两类，但你的大脑还是会这样做。

范德兰问：当两个物体长度是 和 ，且 ，当 的值大于多少之后，你的大脑会把它们归为两类呢？也就是 比 要大到多少，你的大脑会认为区别足够大了，应该分为两类了。这是第一个问题。

第二个问题可以用“卖西瓜”来解释。如果西瓜不是按重量卖，而是按数量卖，显然老板必须把差不多一样大的西瓜放在一起标一个价。西瓜大小不能差太多，否则顾客都会挑大的。现在的问题就是，两个西瓜大小之间的差距在什么样的范围内，人们才会认为它们的大小差不多呢？也就是说，如果你是西瓜店老板的话，你会把差距在哪个范围内的瓜放在一起，而如果你是作为顾客挑选的话，也不太会在意它们的区别？

这两个问题看上去都很不“科学”，像是心理学中的问题，但这不妨碍去做这些实验。建筑师范德兰请人做了这些实验，最后统计结果出来了：对第一个问题，答案约为4/3；第二个问题，答案约为1/7。也就是当两个物体之间的长度比值达到4/3以上时，你的大脑会把它们划分为两类；而两个东西的大小差距在1/7以内，你的大脑会倾向于忽略它们之间的大小区别。

这两个数字看上去有点矛盾，但其实它们出现在不同的场景。4/3这个数字出现在对很多物体需要快速按大小分类的时候。1/7这个数字出现在对两个物体的大小需要进行区分的时候。两者的使用场合不同，所以并不矛盾。接下来你会发现，这两个数字的来源是一致的。

范德兰指出，这两个数字其实就是来源于黄金分割比的一个扩展。我们知道黄金分割比是这样定义的：

将一根线段切成两段，我们要使它的整体长度与较长一段的长度比，等于较长一段与较短一段的长度比，而这个比值约为1.618，就是黄金分割比。

现在稍微扩展一下，请考虑在一个线段上取两个点，分为长度不同的3段。这样两个分点加线段两端点，一共4个点。从其中任取两个分点的话，可以得到6种不同的长度组合，如果我把这6种不同的长度组合按从最长到最短排列起来，并且要求相邻的两段长度之间的比值都相等，问：这个分点取在哪里，比值是多少？

这个比值的问题的答案就是“塑料常数”，约4/3！而那个1/7是怎么来的呢？塑料常数的7次方接近7：

1.32471795 ⁷ =7.15919

它的倒数就是1/7。也就是一个线段长度按塑料常数的比例不断拉长7次后，它的长度接近原来的7倍，原来的长度是它的1/7。

你马上就能发现，既然分成3个点能得到一个常数，分成4个点、5个点、6个点，应该都可以啊！是的，范德兰发现，如果将一个线段分成 个点，要使分出的线段之间的比例如之前例子中的“和谐”状态，那这个比例会符合方程 。如果 ，就是黄金分割，如果 ，就是塑料常数。

之后，也能求出一个在1与2之间的实数解，而且 越大，比值越小。范德兰把这个数列第 个数，称为 维空间的和谐数。因为人类生活在三维空间，所以人类无法感受 之后的和谐数，但是能感受到 时黄金分割比带来的美感，以及 时，塑料常数带来的和谐感和“清晰感”。

据说有人做过实验，让人们从不同长宽比的矩形里找出最具美感的，结果发现人们都选择长宽比接近黄金分割比的。而范德兰认为，如果让人们从很多不同长宽高的立方体里面选择最美的，他们会选出符合塑料常数比值的立方体。而且他在自己的建筑设计中，就运用了这个比值。

为什么要叫它“塑料常数”呢？按理说，既然有“黄金分割比”，接下来就应该是“白银分割比”了吧？但是，有另一个数字已经被称为“白银分割比”了。这个数字是在三维世界中起作用的，塑料是当时的一种新兴材料，其特点是方便在三维中塑形，因此范德兰命名它为“塑料常数”。不过后来确实有人把“塑料常数”称为“银数”。

塑料常数虽然因心理学和美学上的一些性质而得名，但它也有一些数学上的性质。首先，塑料常数是“佩兰数列”和“巴都万数列”的两项之间的比值极限。佩兰数列和巴都万数列的定义跟斐波那契数列很像。斐波那契数列是当前项为前两项之和，而佩兰数列和巴都万数列是跳过上一项，取再前两项之和，也就是 。

佩兰数列和巴都万数列的区别仅是起始的几项不同。斐波那契数列相邻两项之间的比值极限是黄金分割，而佩兰数列和巴都万数列相邻两项之间的比就是塑料常数，从这里也可以看出塑料常数与黄金分割比的联系。

塑料常数的另一个性质是：“皮索特-维贡伊拉卡文数”（简称“PV数”）中最小的一个。PV数的一个有意思的性质就是：虽然都是无理数，但这些数的某些幂次会非常接近整数。比如： 是一个PV数，它的6次幂非常接近一个整数，这是PV数的一个性质。

值得一提的是，据说有人分析了塑料常数与音阶的联系，发现塑料常数与12平均律的音阶也有所联系。

我还联想到一个著名实验，是让你在心里想一个1和10之间的整数，据说2/3以上的人第一个想到的是数字“7”，这是不是也与“塑料常数”有关呢？请读者想想身边有没有什么事物可能是与塑料常数相关的，欢迎你告诉我你的发现。 LHHps6vBEQ9xUi9LQbMymEhZ3SJYTucmkWSUE+WfoYMP0Lf1p+Ujd5xOgIY5B0VU