第四章
几何原本

希腊人来自爱奥尼亚与爱琴海之间的北方，以侵略者的身份登上了历史舞台。他们渴望向更古老的邻国学习，并渴望超越埃及人和美索不达米亚人的智慧。希腊人及希腊社会由文化背景而不是由种族差异确定。以亚历山大大帝为过渡期，希腊的发展过程分为两个时期。对于数学来说，这两个时期可以叫作雅典时期和亚历山大时期。

第一次奥林匹克运动会于公元前776年举行。从那时起希腊文献已经开始夸耀荷马和赫西奥德 的作品，但是直到公元前6世纪，我们对希腊的数学还是一无所知。希腊最早的数学家可能是米利都的泰勒斯 （Thales of Miletus，约前624—前548）。人们认为是他首先给出了许多几何定理的证明，并因此孕育了杰出的欧几里得几何体系。但是我们对希腊数学及其他方面的认识，很容易受到诸多历史因素的干扰。我们没有这一时期的文字记载，因而不得不依赖于远隔1000多年以后的学者们所写的关于一些往事的注释。

公元前4世纪，雅典成为地中海文明世界的中心。这一时期的柏拉图学园以及这之后亚里士多德学园的创建，都对雅典的发展起到了极大的促进作用。柏拉图在数学史上的作用，至今仍是一个有争议的焦点。柏拉图本人没有留下数学著作，但是他的思想对数学哲学有着深远的影响。在《共和国》一书中，他强调数学应该是未来君主的必修课程。在《提麦奥斯》一书中，我们看到一种改良的毕达哥拉斯主义的陈述，柏拉图体是由表示火、土、气、水等四种基本元素的立方体及象征着整个宇宙的十二面体组成。亚里士多德哲学对数学的影响并非都是正面的。他对逻辑演绎的强调有着正面的影响，但是他不赞同使用无穷大及无穷小，而认为圆和直线是理想图形的思想，可能对数学的发展产生了负面的影响。

柏拉图学园和亚里士多德学园都是数学教育和数学研究的重要中心。亚里士多德当时是亚历山大大帝的老师。亚历山大帝国在发展的巅峰时期，将其版图一直延伸到了印度的北部。亚历山大死后，亚历山大帝国被对手瓜分。在托勒密一世 开明的统治下，被分割后的一个小国成了学习和研究的中心——这就是拥有音乐厅及珍贵图书馆的亚历山大新城。在古希腊文明的第二阶段，亚历山大远远超越了雅典。这一时期是希腊数学的黄金时代。

希腊数学中最重要的文献，无疑是由欧几里得（Euclid，约前330—前275）写的《几何原本》。与如此著名的杰作相比，我们对欧几里得的生活却知之甚少，甚至连他的出生地都不知道。我们通过普罗克洛（Proklus，410—485）的关于欧几里得《几何原本》第一卷的评注才知道：欧几里得在托勒密统治下的亚历山大新城教学。而且还记录了这样一件逸事：当托勒密王问他是否有学习几何的捷径可走时，欧几里得回答说：“几何学中没有专为国王铺设的大道。”《几何原本》的声誉远远超过了欧几里得写的许多其他的著作，例如欧几里得写的关于光学、力学、天文学和音乐等方面的著作。《几何原本》成为正规的几何教科书，使得以往的几何书籍甚至它们的手抄本都变得多余而没有保留下来。像所有的教科书一样，这里所使用的《几何原本》大多都不是原著。但我们仍然要感谢欧几里得：是他收集整理了这些资料和结果，并把这些结果用定理和证明的演绎系统的形式展示给我们。《几何原本》不是希腊数学的概述，而仅仅是几何学的基础部分。它不仅没有包含计算的技巧，也没有涉及如二次曲线这样的高深数学的内容。

《几何原本》分为十三卷。它囊括了初等平面几何、数论，以及不可比量和立体几何。《几何原本》一开始就是由23个公理组成的定义列表。例如“点没有大小”，又例如“线无宽度”。接着是5个公设和5个“一般概念”。其中著名的第五公设有着它自己的故事。《几何原本》的每一节都以该节要探讨的新课题开始。欧几里得认为，与公设相比，定义是不证自明的。而对今天的我们来说，定义和公设与公理都是同等的。如果有什么区别的话，公设更倾向于程序化，正如“连接任意两点做直线”，而第四条定义则是“直线是由点组成的平坦的线”。总的来说，初等几何规定只能用直尺和圆规画图。这两个简单的工具——圆规和直尺产生了整个初等几何体系，因为圆和直线是最完美的图形。当时的希腊人还使用了其他的“机械化”的构造方法，但是《几何原本》没有涉及这些方法。

该书的第一卷到第四卷讨论了平面图形，包括四边形、三角形、圆和多边形的几何作图法。有人认为这几卷书，尤其是第二卷暗示了一类代数几何学。在这里，几何作图法与代数运算具有同样的功能。无论上述观点正确与否，但从早期的这些定理来看，欧几里得所关注的完全是几何概念。术语“量”或“量度”（magnitude）全都用于表示任何一个几何对象，如一条线段或一个图形。而书中的定理则是关于作图法和量之间的关系。但书中没有给出像长度这样的数值概念，例如一个正方形被看成来源于一条线段的几何作图。欧几里得在任何地方都没有提到过一个正方形的面积是其两边长乘积的结论。这一结论在很久以后才被给出。因此，量是《几何原本》中最基本的概念。它是该书其余部分的基础。在这一背景下，欧几里得用图形转换的方法证明了毕达哥拉斯定理。如果我们被涉及的实际面积所吸引，将得到另外一种完全不同的证明。这一点是非常有趣的。

第五卷是比例的一般理论。比例论的研究是由欧多克索斯 首先阐述的。作为柏拉图学派的一员，欧多克索斯（Eudoxus of Cnidus，约前408—前355）是当时最有名的数学家之一。他有两个重要的发现：比例论和穷竭法。通过欧多克索斯的比例论，我们有能力求不可公度量的积和比，从而在很大程度上克服了不可公度量所引发的危机。实际上，欧几里得引用了比例的许多规则及这些规则的使用条件。对分数宁愿用比例，可以带来很大方便。比如我们可以这样叙述规则：“圆的面积与它直径的平方成正比。”从而可以在许多定理中使用这一规则而避开使用无理数π。同类量之间的比是无单位的，这样，比和比之间可以进行比较，正如上例所示。因此，比是量之间的最基本的关系。比例论使我们可以比较不同的比。第六卷论述相似图形的规律，其中包含了毕达哥拉斯定理的推广。该推广不限定于由直角三角形的边所构成的正方形，同时也推广到其他与边长有关的图形。这样，如果我们以直角三角形的边长为直径作半圆，则两个小半圆的面积和与大半圆的面积相等。

第七卷到第九卷论述了数论。欧几里得认为“数”是指整数。从第七卷中的定义可以看到：处理整数实质上就是处理几何图形。欧几里得认为“大数是小数的倍数，当前者可用后者度量时”，而两个整数的积是一个长方形的面积。在第七卷中还有一个有名的欧几里得算法：求两个整数的最大公约数，或者用欧几里得的话说是“测量两个量的最大公约”。在第九卷里，我们发现一个有关下述结论的著名证明：用现代的说法是，素数个数是无穷的。而欧几里得尽可能地避开使用无穷大这一术语，因而他是这样阐述上述定理的：“素数的个数，比任何指定的素数的值还要大。”《几何原理》第九卷只给出了当素数的个数为3时的这一定理的证明，并没有指明对任意给定个数的素数的证明。在这一卷中还给出了构造完全数的方法。完全数是这样的数：它是它的因子的和。例如第一个完全数是6（6的因子是1、2、3，而1+2+3=6）。第二个完全数是28（28的因子是1、2、4、7和14，而1+2+4+7+14=28）。

第十卷详细论述了各类不可比的长度。在这里，我们还发现，一般量之间的不可比的思想已精练成长度间（及面积间）不可公度的概念。给定一条指定为可比的线段，那么，任意与它不可公度的线段称为无理的。该卷对各种不同类型的无理量（无理数）做了详细的论证：从简单的平方根到复合根，如 。一个关于用数值表示无理数的方法的论述引起了人们的注意。确实存在着一个基于欧几里得算法的无理数的数值表示方法。虽然它能够有效地表示单个的无理数，但用同样的表示法我们没有表达无理数的和或积的简单方法。人们好奇的是引理1，它是一个著名的定理：存在两个平方数，它们的和是另一个平方数，也就是毕达哥拉斯定理的数论表示形式。但在此没有提到在第一卷末尾所给出的这一结果的证明。也正是在这一卷中，欧几里得着重强调了数值-几何的处理过程，是解决更进一步问题的前奏，如求积问题。他还注意到处理无理数都还可以用直尺和圆规作图的方法进行。这里没有关于立方根的讨论。无理数的详细分类，在《几何原本》的最后一节变得很有意义。在那里，无理数出现在与正立方体的关系中。

《几何原本》的最后三卷讨论了立体几何图形的性质，并且把欧多克索斯的穷竭法作为通过反复逼近求面积和体积的严格方法。阿基米德声称，是欧多克索斯首先证明了“圆锥体的体积是同底等高圆柱体体积的1/3”。第十二卷的大部分想法基于欧多克索斯的工作。第十三卷的末尾，证明了只存在5种柏拉图立体，这些立体可以由三角形、正方形、五边形构造出来。每个立体都内接于球体。这里还详细说明了立体的棱到这一球心的距离。在这一卷中，我们还发现在第十卷中描述过的无理量。于是在交响乐的十三乐章落下帷幕。

从古到今《几何原本》都是最有影响的一本教科书。该书多次再版，在再版的过程中不断有新的评注加入。同时，它被翻译、编译成适合各种文化的版本。欧几里得的原始著作已经无从考察。公元9世纪以前的有关资料已所剩无几。但是，这一几何巨作一直流传至今，并使它之前的所有几何著作黯然失色。

在此之后的一段时间里，亚历山大新城一直保持着学术中心的地位。几何巨匠佩尔加的阿波罗尼奥斯 （Apollonius，前262—前190）在此学习和教学。他最著名的著作是关于几何的开创性研究——《圆锥曲线》。圆锥截面是通过从各种角度切割一个圆锥体而得到的截面。这样的截面的截口有圆、椭圆、抛物线和双曲线。阿基米德以及其后的托勒密和丢番图 （Diophantus，约250年）都在亚历山大新城学习过。从公元前4世纪开始亚历山大新城的学术自由逐渐衰退。泰昂的女儿希帕蒂亚 （Hypatia，约370—约415）是数学史中第一位女数学家。她曾一度是新柏拉图学派的领袖。随着基督教权势的增大，这一学派对被他们视为异教的科学及哲学越来越敌视。希帕蒂亚死于当地基督教徒之手。她的死标志着亚历山大学术中心衰落的开始，数学发展的中心从此转向东方的巴格达。 eogLjixFWkD/U/vS3QNJApfvURKKERfa8L2KhdEfcbyD+wQC4YyM9fJYnx/MeM+R