第三章
毕达哥拉斯定理（勾股定理）

有一个数学定理是每个人在学校都要学习的。这个定理现在有一个名字，叫作毕达哥拉斯定理。但是远在毕达哥拉斯出生前，这一定理早已广为人知。这一定理的存在，使得我们可以比较在不同文化背景下，古代数学家处理数学问题的风格及他们所关注的问题。

毕达哥拉斯定理：对于一个直角三角形，两个直角边边长的平方和等于斜边边长的平方。存在三个边长都是整数的直角三角形，最有名的是三个边长分别是3、4、5的直角三角形。存在无穷多个这样的被称为毕达哥拉斯三元数组的三元数组。例如5，12，13和7，24，25。这些数组在古代就已被发现。

巴比伦数学最具魅力的文献之一，是现今保存在哥伦比亚大学的被命名为《普林顿322》的表。它含有4列15行数字，似乎是一个不完整的表，且很有可能是一张损坏的大表的一部分。人们普遍认为，这张表展现了部分毕达哥拉斯三元数组的推导过程。如此精密复杂的推导过程足以说明，早在公元前1800—前1650年，巴比伦人就已经知道了毕达哥拉斯定理，这要比毕达哥拉斯早1000多年。这一解释被另一张表所证实。这张表发现于巴比伦附近的同一地区，它现在是毕达哥拉斯定理最早的例子之一。巴比伦人使用了几何计算的法则来求代数方程的解。然而，这时的代数是用语言而不是用符号来表述的。有些人推测巴比伦人可能已经开始着手研究三角学。

人们一般认为，印度的吠陀梵语文化始于公元前的第一个千年所在的初期。通过《吠陀经》（印度最古的宗教文献和文学作品的总称）和《奥义书》（印度教古代吠陀教义的思辨作品，为后世各派印度哲学所依据）这样的手稿，我们可以了解到印度文化和宗教是在这一时期确立的。同样，通过《摩奴法典》可以了解到社会行为准则的确立。这一时期的数学记录在《测绳的法则》（ Sulbasutras ，又译为《祭坛建筑法式》或《绳法经》）上，而《测绳的法则》是《吠陀经》的附录的一部分。理所当然的，《测绳的法则》中的大部分数学内容，是为了确保符合宗教仪式准则的需要。术语Sulba表示测量祭坛尺寸的绳索。我们找到了3个版本的手稿，最早的一个可能是写于公元前800—公元前600年之间。波德海亚纳将毕达哥拉斯定理的一个特例明确地陈述为：“在一个正方形的对角线上拉紧的绳索为边做出的正方形，它的面积是原来正方形面积的2倍。”之后，卡特雅亚那（印度学者，是《测绳的法则》的作者之一）给出了更一般的命题：“以在一个矩形的对角线上的绳索为边所做出的正方形的面积，是以该矩形的相邻两个边为边的两个正方形的面积之和。”书中没有给出证明，只是描述了一些实际的应用。法典规定：一个新建的祭坛的大小必须是已有的同样布局的祭坛大小的整数倍。这一强制性的法典表明，几何方法比数值方法更合适。例如，如果要把已知正方形的面积增加一倍，则可以做一个边长为该正方形的对角线长度的正方形。这比计算出新正方形的边长是已知正方形边长的2倍更加简单。虽然印度人已有估算 的极好方法，但是由于宗教法规要求绝对精确，估算不能达到要求。

中国最早的数学文献是《周髀算经》，写于公元前500—公元前200年之间，基于约500年前商朝的文献。正如它的名字所显示的那样，它主要论述天文学方面的问题。其中还包括一些算术和几何的初步说明。它完成于周、秦年间的战国时期，可能是由许多游说思想家中的一员按照某位封建君主的提议写成的。当时最著名的思想家是孔子，他的中庸之道的哲学思想，是对动荡不安的时代的反映。

《周髀算经》的第一节记载了周公（旦）和商高两人讨论直角三角形的对话。他们用几何论证的方式陈述了被叫作勾股定理的毕达哥拉斯定理。这里使用了“出入相补原理”，并以最小的毕达哥拉斯三元数组（3，4，5）为例对该方法做了图示。读者一定很清楚其他毕达哥拉斯三元数组，但是毕达哥拉斯定理的一般陈述一直到公元3世纪才由评注者们给出。刘徽就是这样的一位评注者。他用“割补”原理给出了毕达哥拉斯定理的第二个几何证明。在该原理中两个小正方形被适当切割，以构成大正方形。这样，我们就可以使用规则“勾 ² +股 ² =弦 ² ”（即现代的a ² +b ² =c ² ）进行数值计算。由于毕达哥拉斯定理是求平方根和解二次方程的基础，所以它对于中国数学非常重要。一个叫作“破竹”的经典问题后来在欧洲的著作中再现，这成为中国数学通过印度和阿拉伯世界传往西方的一个佐证。

最后我们来看一看传奇人物毕达哥拉斯（Pythagoras，约前580—约前500）。几乎可以确定毕达哥拉斯和释迦牟尼、孔子、大雄 、老子及琐罗亚斯德 是同一时代的人物。他的数学和神秘主义相结合的思想在公元前3世纪得到高度发展，形成了新柏拉图主义。只有毕达哥拉斯学派的成员才对他有所了解，而即使是仅隔200年的亚里士多德也无法为我们提供这个人的清晰描述。毕达哥拉斯及其信徒的贡献，是他们的数学思想体系。毕达哥拉斯的数为万物本原的思想，通过柏拉图、普罗提诺 、扬布利科斯 及普罗克洛 等人流传下来，并且为对西方思想影响深远的新柏拉图主义奠定了基础。

从师于埃及人及迦勒底人之后，毕达哥拉斯定居于今天的意大利南部的克罗托内，在那里创建了毕达哥拉斯学派。这个学派更像是一个秘密结社或教派。学派的研究成果只传授给学派内部的人员。学派成员过着集体的生活，有严格的行为准则和道德规范。规范包括灵魂转世的信仰和严格的素食主义。因毕达哥拉斯本人没有著作留下来，我们只能通过推测来判断他本人取得的数学成就。当禁止公开研究成果的教条被废止后，许多学者开展了关于毕达哥拉斯的研究。毕达哥拉斯学派的一个关键的学说认为数是万物。没有数，则任何事物都是无法想象和不可能的。他们最膜拜的数是10（或四元素图），它是四个数的和：1+2+3+4。这四个数是生成宇宙各维空间的生成元的个数：1是无维点，是其他维空间的生成元。两个点相连可以生成一维空间的直线，3个点两两相连构成二维空间的三角形，而4个点两两相连可以生成三维空间的四面体。四元素图成了毕达哥拉斯学派的象征。他们比以前的所有数字神秘主义者更加热衷于构造这样一个宇宙：在这里，数既扮演哲学上的角色，又扮演启示性的角色。为了得到高八度的音，我们把琴弦的有效长度缩短到原来的1/2。从这里出发，毕达哥拉斯学派对音乐进行了数值的分析，并以四元素图表示音符的弦长比例。天体和谐的整体概念就是来自这一音乐的数值理论。这一理论在两千年后还对开普勒的行星模型产生了巨大的影响。

然而，使毕达哥拉斯扬名的是毕达哥拉斯定理。如上所述，这一定理实际上自古就已为人们所知。人们认为毕达哥拉斯是从埃及人那里学到这一定理的。而实际上，希腊文献多次提及他们的几何知识来源于埃及。但是不幸的是，我们没有关于毕达哥拉斯定理的相应埃及文献。亚里士多德认为毕达哥拉斯学派首先证明了2的平方根是无理数。从毕达哥拉斯定理可得到，如果一个等腰直角三角形的直角边的长度为1，则斜边长度为 。按希腊数学的描述，毕达哥拉斯学派试图把以直角边为单位长度的直角三角形的斜边与直角边的比，即 ，表示成整数的比，就像（3，4，5）这样的直角三角形那样。结果却恰恰相反，证明了这个值不能表示成整数的比。这一斜边和单位直角边被称为是不可比的。也就是说，用等刻度直尺不能丈量这个比。由于给定的单位直角边是有理数，所以相应的斜边是无理数。历史学家第欧根尼 说：这一事实是毕达哥拉斯学派的成员发现的。他就是（梅塔蓬图姆的）希帕索斯。毕达哥拉斯学派的其他成员把他扔进了海里，因为他破坏了毕达哥拉斯学派的信条，即毕达哥拉斯学派的关于所有事物都可以由整数及整数的比来表示。人们现在认为这一传说值得怀疑。但是可公度与不可公度间的关系以及有理数与无理数间的关系，对数学曾起过非常重要的作用。实际上，直到两千年后，人们才使用有理数来定义无理数（见第十九章）。

希腊人给出了毕达哥拉斯定理的一个巧妙的证明。该证明记载在欧几里得《几何原本》第一卷末尾。它的证明方法是非常通用的几何证明方法——使用一系列构造方法，分别把以两个直角边的长度为边长的两个正方形转换成两个长方形，这两个长方形合在一起构成以斜边的长度为边长的正方形。这一证明中没有用到任何数值，而且证明特有的“风车”图在后来的许多欧亚文明的数学中出现。的确，正如普罗克洛所评注的那样：“我在钦佩发现这一定理的发现者的同时，对《几何原本》的作者更加感到惊奇。”总之，我们仍在使用毕达哥拉斯作为这一定理 的名字，而毕达哥拉斯数学宇宙观的魅力永存。 n4b7ByctqusQW18GRsHq6WRlwTreCTX7j4ASD58m3dnfLGDJyEGo29YS+hdkKoyG