第二章
天空守望者

早期数学大部分是为满足贸易及农业的需要而发展起来的，但也与宗教仪式及天体运行有关联。历法的设计基本上是天文学家和牧师的工作，而绘制天体图则要求特殊的数学。由于多数的古代宇宙论是以地球为中心的，术语“行星”指的是太阳、月亮及其他五个可见行星，而天王星、海王星和冥王星则是近年来才被发现的。在地球各地各个不同的文明社会中，人们记录了天体的运动并设计制定出历法，他们都需要寻找一种方法来协调两个最重要的时间周期：朔望月和回归年。

中美洲的玛雅文明可以追溯到公元前1000年。它的辉煌时期是公元300—900年，自1519年西班牙占领以来，只有极少数的文献保存了下来（其中最重要的是含有天文表的叫作《德累斯顿抄本》的手稿），但是幸运的是，玛雅人还给我们留下了雕刻。每二十年玛雅人就竖起一些石碑或石柱，记录二十年来建设数据、重要的事件及贵族和牧师的名字。这里所使用的象形文字和其他碑铭一样是玛雅神学文体。但是对于数字，他们经常使用一种现在被叫作“点和画”的记法。在这一简明的位值制中，一个点表示“1”，而一条竖画代表“5”；同时还有一个表示“0”的符号，它看起来像一个贝壳。这一体系似乎从约公元前400年就开始使用了。本质上它是二十进制，但它的第三位是不规则的。真正的二十进制应是以1，20，20 ² ，20 ³ 等的序列作为位值，而玛雅制使用的序列是1，20，18×20，18×20 ² ，等等。这使得一些计算变得复杂，但是从18×20=360这一事实，我们可以看出玛雅人认为他们的历法是很重要的。

玛雅人有3种历法。与宗教有关的年有260天，分两个部分重叠的周期：一个是从数目1到13，另一个是神学的20天周期。这样，宗教年的每一天由一个数目和神位唯一确定。这一历法对农民没什么用处，而含有365天的平民历法却被使用。这一历法有18个每月20天的月份，以及合称为“无名期间”的另外5天。表示最后这一期间的象形文字的含义是混乱和无秩序，人们认为在此期间出生的人是不吉利的，生命会被诅咒。第三种历法是用于“长计算”的历法，它基于公元前3013年8月12日的一个年表，其周期是360天。这里还有4天、9天和819天的献祭周期。许许多多的书记花费大量的时间计算历法及重大日期。在没有明显使用小数或三角学方法的情况下，基于积累起来的天文观察的丰富资料，玛雅人可以非常精确地预测这些周期。例如，玛雅天文学家主张149个朔望月是4400天，这等价于1个月有29.5302天。它与我们现在公认的一个月有29.53059天非常接近。《德累斯顿抄本》含有月亮表和太阳表以及作为“晨星和昏星”的金星的位置预测表。除此之外，人们对玛雅的数理天文学知之甚少。

埃及的历法使用了与玛雅完全相同的方案。它有12个每月30天的月份和年末额外的5天。正是埃及人首先把1天分成24个单位，虽然我们不清楚在何时小时成为固定的时间单位。他们用的是可以叫作“季节性”的小时，把白昼和夜晚各分成12个单位，每个单位根据白天和黑夜在一年中的变迁而变化。埃及人拥有自己的小星系，即“旬星系”。这些星星每隔10天升起一次。在希腊时代，人们把这些与巴比伦黄道带相结合，在天空横跨30度的黄道带内的每个星座，进一步分成3个“旬星系”。这些“旬星系”被描绘在中世纪王国（约前2100—前1800年）的王室神殿的天花板及棺盖上。但是人们已证实，难以把这些“旬星系”与已知的星星对上号。只有天狼星是个例外，它在每年固定的时间升起，预报了尼罗河一年一次的洪水泛滥，这对于灌溉非常关键。在此后的坟墓中，我们发现了基于方格系统对星星更精细的描绘，而且我们还找到了一本有助于破译这些碑刻的希腊时期的现代通俗希腊语纸草书。虽然如此，在坟墓中雕刻这些石碑的工匠们在解释这些天文信息时，似乎做了很大的艺术夸张，因为作为最终绘图基础的初始草图实际上更精确。我们没有当时埃及人关于天体观测及制表的文字记载，即使是提供了古天文学原始资料的托勒密，也没有引用任何埃及人的数据。

从亚述帝国末期到希腊时期，巴比伦人完善了一种有效的预测天文学。托勒密提到从公元前8世纪开始已经有了完整的月食表，但是缺乏行星的可靠数据。巴比伦历法是纯阴历的，每个月的第一天始于蛾眉月始见之时，每天从日落开始到下一个日落结束。因此，他们对预测蛾眉月的出现非常关心。他们还根据太阳和月亮的相对位置，判断一个月是29天还是30天。同样，对于行星关心最多的，是预测它们的初升，在早初升表中最重要的是金星初升表。记录行星位置的表叫作星历表。为了编制星历表，黄道带内的区域被分成3个区域12个星座。行星的位置是通过参照这些星星而给出的。这里还有这些星座的升起和下落的时间表。人们从塞琉西时期开始制造星历表，特别是月亮的星历表，但也有其他行星的星历表。

这一时期最伟大的成就之一，是分析了太阳和月亮的运动，其目的是为了确定每月的第一天。巴比伦人证实了地平线与太阳运行轨道的黄道间的角度在一年中是在变化的。还有，月亮的轨道偏离黄道约5度。在此之上，两个星体以变速运行。这些运动的周期按正弦曲线变化，当时的科学家们用所谓的锯齿形函数高度精确地逼近了这一正弦曲线。这些锯齿形函数被当作上升和下降数列进行算术处理。巴比伦人的许多用算术级数绘制的表可能就是为了创建太阳表和月亮表而做的准备工作。依据月亮和太阳相对位置，这些表可以预测3年以后的蛾眉月。从我们掌握的证据来看，他们好像使用了算术插值法，使得依据不连续的观测数据建立起来的太阳和月亮的轨道更平滑。而托勒密理论（见后文所述）则使用了相反的方法：试图建立尽可能精确的行星模型以推导出行星的位置。

我们不清楚后期的巴比伦行星理论是什么，但早期的记录表明了以地球为中心、行星按圆形轨道运行的宇宙观。在希腊，阿里斯塔克 （Aristarchus，约前310—约前230）提出了以太阳为中心的体系。这可能是基于太阳是最大的天体的计算结果。但是，这一学说与亚里士多德学派的独断论格格不入，而这一理论直到16世纪才再度浮出水面。希腊的行星理论被亚里士多德（Aristotle，前384—前322年）的观点所支配。亚里士多德认为，行星以恒速沿圆形轨道完美地运行。尽管有变速和行星的亮度变化的确凿观测证据，但这一哲学立场一直被坚持下来。理论和观测的这些差异由引进本轮而得到解决：一个行星不再是沿绕地球的轨道运行，而是沿着本轮运行。本轮是一个圆形轨道，它的中心沿着一个均轮移动，均轮是一个以地球为中心的圆形轨道。通过这一人造的模型，行星的恒速似乎转化成了变速，与此同时，即使行星不是沿着完美的圆形轨道运行，也是在圆形的“壳”内运行的。托勒密给出了这一体系最完整的描述。

在介绍托勒密之前，我们必须提到著名的先驱，即来自尼西亚（在今天的土耳其）的数学家喜帕恰斯 （Hipparchus，约前190—前125年）。他被认为是当时最伟大的天文学家，创立了基于希腊几何学原理的天文学。他把圆分成360度，每一度又细分成60分，以此作为三角学的基础。他在这一方面的论述包括了一个弦表（一个弦从本质上是一个角的一半的正弦的两倍），然而，他不是用单位长度作为圆的半径，而是选择了3438分为半径，以使圆的周长为360×60=21600分。这些表与印度数学中的表很相似，它使得喜帕恰斯能更精确地描述天体的位置。他使用本轮的地心说体系定出了太阳和月亮的运行模型。喜帕恰斯承认他的数据不够精确，不足以推测其他行星的轨道。不幸的是，他只有一部不太重要的著作留传下来，而且，同其他希腊天文学家一样，由于托勒密的显赫名声，其显得默默无闻。

克劳迪亚斯·托勒密（Claudius Ptolemy，约90—168）居住于亚历山大，于127年3月26日开始进行天文观测。我们对他的家庭背景及准确的出生及死亡日期知之甚少。他留下了一些文稿，其中最著名的是《数学集》。约在820年，《数学集》被翻译成阿拉伯文，受到高度的重视。被译成拉丁文后，这本书变得非常有名。这时文稿的名字被改为《大综合论》（ Almagest ）。对于天文学来说，托勒密的《大综合论》就如同几何学中的欧几里得的《几何原本》一样，使得前人的著作黯然失色，只有他在书中提到的例外。《大综合论》以三角学和弦的预备知识开始，然后就是关于太阳运行的详细理论。在这一理论中，他为太阳选定了一个圆形轨道，但把地球放在稍微偏离轨道圆心的位置，他把这一位置叫作偏心。在月球运行的理论中，托勒密大量地引用了喜帕恰斯的著作并且改进了他的本轮模型。通过把太阳和月亮的运行结合起来，托勒密讨论了月食和日食。接着他指出恒星和宇宙确实是稳定的，因为托勒密自己的星体观测与200年前喜帕恰斯所做的观测一致。在给出1000多个恒星的一览表之后，托勒密给出了剩下的5个行星的轨道。一个特别有创意的结构包括一个被称为“等分点”（equant）的点，它到地球偏心的距离与太阳轨道的圆心到地球偏心的距离相等，但在相反的一侧。托勒密构造了一个行星周期使得它在等分点附近恒速。宇宙学已离亚里士多德的尽善尽美如此之远，我们可能会惊讶，为什么他的哲学约束没有被完全摒弃。但是，地球绕着太阳运转与当时对地球动力学的理解相矛盾：人们仍然相信我们会从运动着的地球表面飞出去。托勒密的模型被理解为是计算模型而非实际模型。用这一模型来重现包括逆行圈在内的行星的运动，使得它成为在已有的预测天文学中最成功的一次尝试。这一模型与实际观测的差异通常都在当时的观测技术的误差范围内。该体系直到16世纪都没有受到质疑，那时，托勒密的《大综合论》已确立了1400年的权威地位。