第一章
数学元年

历史并非那么整齐有序，关于数字起源的探索，是一段通向迷雾笼罩的人类生活与文化起源的艰难旅程。考古学家和学者们努力利用有限的残砖碎瓦，构建出有意义的史前图案。新发现不仅仅是为以前的图案增加一块拼图，而且还有可能从根本上改变以前的图案及我们与它的关联。当我们考察数学活动的最早期的遗迹及美索不达米亚和埃及的数学文明时，要牢记这一点。

数字记录的最早物证，是在南部非洲斯威士兰王国出土的一块刻有29道清晰的V字形刻痕的狒狒的腓骨。这一记录的年代大约是公元前35 000年。它与纳米比亚现今仍在用于记录时间变迁的“日历棒”类似。在西欧也找到了新石器时代的骨制品。在捷克共和国找到的公元前30 000年的幼狼桡骨上，刻有两列5道一组共55道V字形刻痕。这好像是一本账簿，也许是猎物的记录。最令人感兴趣的一个发现，是所谓的“伊尚戈骨”，发现于乌干达与扎伊尔间的爱德华湖边，年代大约是公元前20 000年。它好像不单单是记账棒，用显微镜分析显示出了似乎与月相相关的痕迹。由于夜间能见度的实际理由，也许还有出自宗教的需要，预报满月是重要的。承认这一点就不难理解，为什么记录月亮的轨迹应该是新石器人非常关心的事情。实际上，贯穿于天文学、占星术和宇宙学，并对数学的发展影响最大的可能是天体。

美索不达米亚数学

在幼发拉底河与底格里斯河间的美索不达米亚，文字记录可以追溯到公元前3500年。不同的文化曾经统治着这一地区：一开始苏美尔人和阿卡得人统治着这一地区，继之而来的是铁匠赫梯人，赫梯人屈从于可怕的亚述人，亚述人又被卡尔迪亚人取代，迦勒底人和他们的著名国王尼布甲尼撒二世随后被波斯人推翻，这回又轮到波斯人被亚历山大大帝的军队赶走。这一时期，权力的中心在乌尔、尼尼微和巴比伦之间更迭。我们的数学资料主要来源于旧巴比伦帝国（前1900—前1600）及公元前4世纪的后亚历山大塞琉西王朝。前期显示出巴比伦人和阿卡得人的影响，而后期希腊人和巴比伦人的影响更加显著。由于巴比伦人在这一时期的重要地位，数学也经常被叫作巴比伦数学。

我们现在使用的十进制，是一种以10为基数的位值制。换句话说，在某位的10个单位，等价于相邻高位的一个单位。而一个数中，数字的位置决定它的值。最早的文字记载显示，巴比伦人使用的是以60为基数的六十进制数。迄今为止，六十进制仍用于计时。使用六十进制时，巴比伦人把75表示成“1，15”，这和我们把75分钟写成1小时15分钟是一样的。大约公元前2000年出现了一种仅使用两个楔形符号的以60为基数的位值制。在该位值制中，“T”形的楔形文字表示1，“〈”形的楔形文字表示10。因此，75被写成T〈TTTTT。这一位值制被进一步推广到六十进制分数的表示上，但是没有表示0的符号。一直到公元前6世纪的新巴比伦帝国为止，置位符号仍然没有出现。因此我们在读旧巴比伦数字时需要细心地通过上下文来辨别符号的位。例如，因为没有0，我们难以区分18、108和180。我们无法断定为什么巴比伦人选择了这样的位值制。尽管如此，它对计算仍是非常有效的。同时，它奠定了时间的计量标准，这主要是在时间和角度的测量中，分和秒全部以60为基数。

巴比伦数学的物证，是一块带有楔形符号的土碑（黏土版）。这种土碑是用黏土制成的。它们的使用非常广泛，成千上万的黏土版被保存了下来，小到小碎片，大到公文包大小的整块黏土版。黏土是随处可取的。而且只要它还潮湿，就可以擦掉上面的计算，开始新的计算。一旦黏土干硬了，黏土版或者被扔掉，或者被用作建筑材料。巴比伦人所进行的算术计算与我们今天做的很类似。巴比伦人与生俱来就是制表能手。他们给我们留下了各种精密复杂的运算表，如倒数表、平方表、立方表及高次幂表。这样的高次幂表对借贷利息的计算很有用。由于袖珍计算器已普及，数学运算表的使用在很大程度上已成为历史。但是它们在便于计算上影响极其深远，这可以追溯到那些黏土版。巴比伦人对代数学也非常精通，尽管代数问题和解法是用语言描述的，而不是用符号来表示。他们利用本质上等同于我们的“出入相补原理”（填充正方形）的方法解了二次方程。他们的计算过程的正确性，基于一个矩形可以重新排列成正方形这一事实。一些高阶方程也通过使用数值方法或将其简化成其他已知类型的方程的方法得到解决。

在几何学领域，他们拥有求平面图形面积的算法，并且用代数方法解决了许多问题。在这里，利用截取六十进制小数的方法，数值化地处理了无理数。例如，在十进制中 ……表示小数展开后可以一直持续下去。截取 的展开式到小数点后两位，得到2.23，而不是更接近的2.24。有时截取值和近似值相同，例如截取 的展开式到小数点后3位的值，与3位近似值相同。而这些无理数后来导致了无穷小数展开。这里没有任何关于这样的展开式的无穷性的讨论。但是有一个表展示了对 的非常好的近似值，其精确度为小数点后5位。 的这一近似值用六十进制表示时为1∶24，51，10，这一结果的推导过程没有给出，但是以近两千年后的公元1世纪的希腊数学家希罗 命名的一个方法也给出了完全一样的结果。同样，巴比伦人在毕达哥拉斯出生的1000年前，就广泛使用了毕达哥拉斯定理。

旧巴比伦数学不仅精密，而且对会计、金融、称重、测量等实际应用也很有效。被解决的一些问题说明了其中也有推理的传统，在考虑巴比伦天文学时我们将看到这方面的成果。

埃及数学

对于延续了长达4000年的文明社会来说，埃及却只给我们留下了很少的宝贵数学史料。纸莎草制成的纸是一种易碎的物质，有这种纸能遗留下来本身就是一个奇迹。《莱因德古本》〔之所以这么称呼，是因为它是由苏格兰的埃及考古学家莱因德（A. H.Rhind）发现的。由于它现存于英国不列颠博物馆，所以也称《伦敦本》〕和《莫斯科古本》（它是俄罗斯收藏家格列尼切夫获得的）是两个主要的资料来源。还有一些次要的资料以及一些画在坟墓及神殿的墙壁上，显示需要数学技巧的商贸、行政问题的插图。《莱因德古本》是一个叫阿迈斯的文牍员于大约公元前1650年写的。阿迈斯解释他是从200年前的一本原作上抄写的。该书的开场白声称该书为“万物的详尽研究，洞察一切存在及所有晦涩奥秘的知识”。对我们来说这可能相当夸张。但是，它展示了抄写技术是当时传授知识的重要手段。该纸草书包含87个问题及其解答。所用的是神职人员常用的象形手写字体，而不是常用于装饰的精致的象形文字。大部分的问题是像把一定数量的面包片分给若干个人这样的计算。这里还有求直角三角形面积的方法。所有的解答均用举实例说明，没有明确给出一般公式。《莫斯科古本》包含的内容与《莱因德古本》基本一样，但它还包含了被截断了的金字塔，即平截头体体积的计算，以及似乎是半球体的表面积的计算。

埃及人在数的使用上有两个极突出的特征：第一个是所有的计算都基于加法运算和乘2运算的运算表；第二个是他们对单位分数（1/2，1/3等等）的偏爱。因此，乘法运算是重复加倍运算（如果需要，减半运算），然后把适当的中间结果相加。例如，19乘以5被写成：

然后，因为1+4=5，把19和76相加，得到95，这就是19×5。除法运算也可以做类似的处理，但这时可能产生分数答案。这就是单位分数产生作用的地方。埃及人表示单位分数的方法，是在数的上面画横线。因此，1/5被写成5。这里不存在对应于2/5及其他分数的符号，只有2/3例外。《莱因德古本》中含有形为2/n的分数表，其中n为奇数。该表将2/n分解成单位分数。这样2/5被分成1/3和1/15。而且，每当答案有一个我们写成2/5的解时，埃及人将解记为3、15。虽然这种方法显然是行得通的，但很难看出它有什么实用价值。有待于进一步的发现以澄清它的由来。

一种可能性是这样的：当计算遗产或物品分配时，使用单位分数能够产生绝对精确而非近似的结果。因为埃及人没有货币，他们用其他物品作为交易的标准。最常用的是面包和啤酒。

从《莱因德古本》中的10人分9片面包的问题可以看出这一点。现在我们可以计算出10个人平分9片面包时，每人可得到1片面包的9/10。分面包时将每片面包切下1/10，这样10个人中的9个人每人得到一块9/10片面包，而剩下的1个人得到9块1/10片面包。纸草书中给出的答案是9/10=2/3+1/5+1/30。这需要切更多次，但是，作为补偿，每个人不仅得到相同比例的面包，而且大小、块数也一样。

体积的测量有其自己的符号体系：由象征荷鲁斯 的眼睛的象形文字的部分组成。在这里我们可以看出既作为行政官员又作为宗教职员的宗教等级制度的双重角色。荷鲁斯是鹰神，他的眼睛是半人半鹰的。象征他的眼睛的象形文字的每一个元素表示1/2到1/64 中的一个分数，将它们组合起来可以表示分母为64的任何分数。而且，荷鲁斯的眼睛本身还带有神秘色彩，他是伊希斯和欧西里斯（古埃及的主神之一）的独生子。欧西里斯死于他兄弟塞斯之手。荷鲁斯发誓为他父亲的死复仇。在他们之间的无休止的战争中，有一次，塞斯挖出了荷鲁斯的眼睛，将它撕成6块，扔到埃及各地。作为回敬，荷鲁斯阉割了塞斯。传说诸神介入了战争并命荷鲁斯为埃及国王以及法老的守护神。同时让掌管学习和魔法的月神透特去收集荷鲁斯的眼睛（的碎块）。就这样，荷鲁斯的眼睛成了健康、洞察力和富饶的象征。以透特为守护神的书记们，用这一法宝形象地表示测量中的分数。据说有一天，一个见习书记对他的老师说，荷鲁斯的眼睛的碎片所表示的所有分数加起来不是一个单位，而是63/64。老师回答说，透特把剩下的1/64给了所有进行探索并接受他的保护的书记。

关于埃及数学的认识，我们必然要受到史料极其短缺的限制。因此，许多人认为埃及数学比巴比伦数学要落后一大截。但这可能是站不住脚的，特别是金字塔建筑的精妙及如此巨大的帝国的管理都说明了这一点。像平截头体体积的计算这样的事实，似乎给了我们重要的启发。但是我们仍不清楚这是由于他们对金字塔的兴趣所促成的独立结果呢，还是更先进的但不幸失落了的知识汇总的一部分呢？古希腊人普遍承认他们的数学，特别是几何学，源于埃及。现在给我们印象最深的，不是埃及数学和希腊数学的相似之处，而是它们在风格上、深度上以及由此可以推测的理解上的巨大差异。看来阿姆斯的“晦涩的奥秘”一直遗留到了今天。