1.3 离散傅里叶变换（DFT）举例

图1.3a表示任意一个数字信号 x _a （ nT ）。虽然信号 x _a （ nT ）是从 n =-∞变化到+∞的（任何时域信号，包括模拟信号和数字信号，在时间上都是从 t =-∞变化到 t =+∞的），但实际上只能取它的一小部分，比如图1.3a中从 x _a （0）至 x _a （3 T ）的4个样点（这里的4个样点只是举例，DFT的实际样点数可以很大，比如32768个样点）。

有了这4个样点，就可以分析数字信号 x _a （ nT ）在 t =0～3 T 区间内的频率组成。具体方法是，把这4个样点向两侧周期性地无限延伸，以得到一个时间上从-∞变化到+∞的数字信号 x （ nT ），如图1.3b所示。现在的任务也就变成了对图1.3b中的周期信号 x （ nT ）计算频率组成。

由于 x （ nT ）是周期信号，就可以展开为傅里叶级数[此时的 x （ nT ）可看作是连续时域信号，并假设在 t = nT 以外所有时间点上的幅度处处为零]。而傅里叶级数中每一项的系数 X （ k ）表示信号 x （ nT ）中包含的频率分量。根据傅里叶级数展开的计算规则，系数 X （ k ）可计算为

对于式（1.2），暂时不必关心计算细节（后面的第12章将具体说明）。只需知道，从式（1.2）可以算出从 X （0）～ X （3）的4个傅里叶级数的系数。在具体计算时，先令 k =0，由于e ^{-j nk π / 2} =e ⁰ =1，所以 X （0）= x （0）+ x （ T ）+ x （2 T ）+ x （3 T ）。这实际上是在计算 x （ nT ）的直流分量（还应除以4，这在后面第12章说明）。然后令 k =1，就可算得 X （1）= x （0）×e ⁰ + x （ T ）×e ^{-jπ / 2} + x （2 T ）×e ^-jπ + x （3 T ）×e ^{-j3π / 2} 。再令 k =2，3，就可分别算得 X （2）和 X （3）。这就得到了数字信号 x （ nT ）的4个频率分量 X （0）、 X （1）、 X （2）和 X （3）。这4个频率分量就是图1.3a中从 x （0）～ x （3 T ）的4个样点序列的离散傅里叶变换，可以用来估算信号 x _a （ nT ）在 t =0～3 T 时间区间内的频率组成。

根据式（1.2）的计算方法，可以画出相应的DFT计算图，如图1.4a所示。图中，当 k =0时，只需把 x （0）～ x （3 T ）加起来，就得到 X （0）。当 k =1时，需将 x （0）～ x （3 T ）分别与1、e ^{-jπ / 2} 、e ^-jπ 、e ^{-j3π / 2} 相乘，然后把它们加起来，就得到 X （1）。当 k =2（或3）时，需将 x （0）～ x （3 T ）分别与1、e ^{-jπ / 2} 、e ^-jπ 、e ^{-j3π / 2} 的平方（或立方）相乘，再把乘积项加起来就得到 X （2）[或 X （3）]。对于图1.4a中DFT计算图的正确性，可以用图1.4b和c中的两个信号序列来测试。下面来说明。

图1.4b左边的 x ₁ （ n ）是一个直流信号。用图1.4a中的结构算出的结果为 X ₁ （0）=4和 X ₁ （1）= X ₁ （2）= X ₁ （3）=0，如图1.4b右边所示。这表示输入信号中只有直流分量，其他频率分量都为零。这当然是对的。

图1.4c左边的 x ₂ （ n ）是一个频率等于 f _S /4的零相位余弦信号。由于信号频率为采样率 f _S 的1/4，所以每个信号周期内被采得4个样点，如图1.4c左边所示。用图1.4a中的结构算出的结果为 X ₂ （1）= X ₂ （3）=2.0和 X ₂ （0）= X ₂ （2）=0，如图1.4c右边所示。这表示输入信号中只有频率为 f _S /4的分量，其他频率分量都为零。这当然也是对的。这就完成了用信号序列 x ₁ （ n ）和 x ₂ （ n ）对图1.4a中DFT计算图的验证[在图1.4c的右边， f _S 为采样率， X ₂ （1）和 X ₂ （3）都表示频率等于 f _S /4的分量，而且两者是同一个频率分量， X （0）表示直流分量， X （2）表示位于 f _S /2的频率分量。后面第3章将详细说明这些概念]。

图1.4a中计算图的要点是，图中的大多数乘法计算都是重复的（样点数越多越明显）。利用这一特点，可以使计算量大为节省，这就是所谓的快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。此外，图1.4b和图1.4c中右侧的频率谱应该看成是以采样率 f _S 为周期向两侧无限重复的，这是数字信号处理中最基本的概念。或者说，任何一个数字信号的频率谱都是以采样率 f _S 为周期而向两侧无限重复的。