4.2.3 z 变换的收敛域

在连续时域中，对于单边拉普拉斯变换的收敛域进行讨论（见图4.2）；对于 z 变换，也将主要讨论单边 z 变换的收敛域。由于式（4.32）是以复变量 z 为自变量的无穷级数，所以复变函数中的所有性质和定理都适用于 z 变换，其中 X （ z ）的收敛域是本小节要讨论的。

从复变函数理论可知，在式（4.32）中，只要后一项与前一项的模之比随 n 的增加而趋于小于1， X （ z ）就收敛，否则就发散。通常，式（4.32）中后一项与前一项的模之比随 n 的增加会趋于| z ^-1 |。所以，只要| z ^-1 |＜1， X （ z ）就收敛；也就是，只要| z |＞1， X （ z ）就收敛。由此看来，在一般情况下， X （ z ）的收敛域应该是 z 平面内单位圆的外部区域，而且一定包含无穷大处，因为| z |越大，| z ^-1 |就越小，级数就越容易收敛。另一方面，如果式（4.32）中的信号 x （ n ）呈指数变化，也会对收敛域产生影响。如果指数是递减的，收敛域会扩大而进入到单位圆内部；如果指数是递增的，收敛域会缩小而位于单位圆的外部。总的来说， X （ z ）的收敛域应该在一个以原点为圆心、以 r 为半径的圆的外部，并可表示为

式中， r 被称为收敛域的最小半径，或被称为收敛半径（在连续时域中，拉普拉斯变换的收敛域是以纵坐标为界的，这个纵坐标被称为收敛纵坐标，见第4.1.3节）。而这个以 r 为半径的圆可以在单位圆内，也可以在单位圆外，具体取决于信号 x （ n ）的变化趋势。图4.7表示4种常见的 z 变换收敛域。一般来说，为了保证 z 变换式的完整性，需要同时给出它的收敛域。

需要说明的是，图4.7a、b和c表示的是单边 z 变换的收敛域。如果是双边 z 变换，那么 z 变换中负指数部分[即 z ^-n ，见式（4.32）]的收敛域应该在某个圆的外部，而正指数部分（即 z ⁿ ）的收敛域应该在另一个圆的内部。两者的交集可以是一个以原点为圆心的圆环形区域，如图4.7d所示；但也可以没有交集而没有收敛域。下一节将讨论几个基本离散时域信号的 z 变换及其收敛域。