4.2.1 单边 z 变换定义式

在第3.3.3节，我们用理想采样的方法导出了已采样信号 x _S （ t ）的时域表达式（3.6），现重复于下

式中， x （ t ）为被采样的模拟信号； T 为采样周期，右边的累加和组成了理想采样信号 p （ t ）。上式实际上表示了理想采样的操作过程：用无数个相互间隔 T 的 δ （ t-nT ）去乘以 x （ t ），便完成了采样，并得到已采样信号 x _S （ t ）。

在式（4.22）中，利用乘法对加法的分配率，可以把 x （ t ）移到累加号之后

式（4.23）中，由于输入信号 x （ t ）可以认为是从 t =0开始的[当 t <0时 x （ t ）一概为零]，式（4.23）中累加运算的下限就可以从-∞右移到0。式（4.23）变为

图4.6a表示与式（4.24）对应的样点图，其中 x （ t ）是一个从 t =0开始的连续时域信号， x _S （ t ）也仍然被看作连续时域信号。

对式（4.24）的两边分别做拉普拉斯变换

对上式交换积分和累加的计算顺序（交换顺序的条件是所谓的“一致收敛”，但一般都能满足）

现在来解释式（4.25）和式（4.26）。在式（4.25）中，我们实际上是把方括号内的累加和看成是一个整体项，对它做拉普拉斯变换。但我们也可以把方括号内的累加和展开为无数个乘积项之和，然后对每个乘积项分别做拉普拉斯变换（根据上面第4.1.4.1节的线性定理），最后把所有的拉普拉斯变换加在一起，就得到式（4.26）。

此外，在式（4.26）的每次积分运算中， n 都可以看成常数。在积分式中，由于 δ （ t-nT ）的存在，就可以把 x （ t ）改写成 x （ nT ）。再由于 x （ nT ）对于积分运算是常数（因为 n 是常数），就可提到积分号之前。式（4.26）变为

式（4.27）中，一旦积分完成， t 就消失，只剩下 n 和 s 两个独立变量。在累加运算完成后， n 也将消失。最后，等式右边剩下以 s 为自变量的拉普拉斯变换式，而左边为 x _S （ t ）的拉普拉斯变换 X _S （ s ）。下面来说明式（4.27）的进一步简化过程。

由于 δ （ t-nT ）的存在，使负指数e ^-st 在 t = nT 时的值被筛选了出来，也就是，e ^-st 可以用e ^-snT 来代替。由于e ^-snT 对于积分变量 t 是常数，也可提到积分号之前。式（4.27）变为

式（4.28）中，当 n 从0顺序变化到∞时，被积函数 δ （ t-nT ）始终只是一个 δ 函数，所以积分值总是等于1。由此，式（4.28）简化为

式（4.29）右边的负指数项e ^-snT 是不易使用的，可以绕开这个负指数项，方法是使用变量代换

这样代换之后，就可以把式（4.29）变成我们想要的单边 z 变换定义式

现在，式（4.29）中的指数函数e ^-snT 已经变成了式（4.31）中比较容易使用的幂函数 z ^-n 。式（4.31）的另一个特点是，式中的 x （ nT ）已经可以看成是数字信号了，如图4.6b所示。

从式（4.31）的结构看，累加运算中的每一项都由 x （ nT ）和 z ^-n 两个因子组成。其中， x （ nT ）表示被采样信号 x （ t ）在 t = nT 时的值，而 z ^-n 表示采样点 x （ nT ）在时间上比原点晚了 n 个采样周期时间。 z ^-n 的这个延迟特性已在前面第4.1.4.2节证明过，即拉普拉斯变换中的因子e ^-snT [也就是式（4.31）中的 z ^-n ]把时域信号右移了时间 nT 。

需要说明的是，式（4.29）左边的下标S来自已采样信号 x _S （ t ），但在式（4.31）中已被去除，只有已采样信号 x _S （ t ）才能有 z 变换。由于式（4.31）中的累加是从 n =0开始的，所以被叫作单边 z 变换定义式。

由于在同一数字信号系统中，采样率和采样周期通常是不变的，就可以略去式（4.31）和图4.6b中的采样周期 T ，这使得式（4.31）变为

同时，也使图4.6b中的 nT 变成图4.6c中的 n 。从现在起，对于数字信号，主要使用式（4.32）和图4.6c中的表示法。它们与式（4.31）和图4.6b中的表示法是等价的。我们还把图4.6c中的图形叫作信号的样点图。