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4.2.1 单边 z 变换定义式

在第3.3.3节,我们用理想采样的方法导出了已采样信号 x S t )的时域表达式(3.6),现重复于下

式中, x t )为被采样的模拟信号; T 为采样周期,右边的累加和组成了理想采样信号 p t )。上式实际上表示了理想采样的操作过程:用无数个相互间隔 T δ t-nT )去乘以 x t ),便完成了采样,并得到已采样信号 x S t )。

在式(4.22)中,利用乘法对加法的分配率,可以把 x t )移到累加号之后

式(4.23)中,由于输入信号 x t )可以认为是从 t =0开始的[当 t <0时 x t )一概为零],式(4.23)中累加运算的下限就可以从-∞右移到0。式(4.23)变为

图4.6a表示与式(4.24)对应的样点图,其中 x t )是一个从 t =0开始的连续时域信号, x S t )也仍然被看作连续时域信号。

图4.6 从连续时域到离散时域
a)把 x S t )看作连续时域信号 b)数字信号 x nT ) c)简写为数字信号 x n

对式(4.24)的两边分别做拉普拉斯变换

对上式交换积分和累加的计算顺序(交换顺序的条件是所谓的“一致收敛”,但一般都能满足)

现在来解释式(4.25)和式(4.26)。在式(4.25)中,我们实际上是把方括号内的累加和看成是一个整体项,对它做拉普拉斯变换。但我们也可以把方括号内的累加和展开为无数个乘积项之和,然后对每个乘积项分别做拉普拉斯变换(根据上面第4.1.4.1节的线性定理),最后把所有的拉普拉斯变换加在一起,就得到式(4.26)。

此外,在式(4.26)的每次积分运算中, n 都可以看成常数。在积分式中,由于 δ t-nT )的存在,就可以把 x t )改写成 x nT )。再由于 x nT )对于积分运算是常数(因为 n 是常数),就可提到积分号之前。式(4.26)变为

式(4.27)中,一旦积分完成, t 就消失,只剩下 n s 两个独立变量。在累加运算完成后, n 也将消失。最后,等式右边剩下以 s 为自变量的拉普拉斯变换式,而左边为 x S t )的拉普拉斯变换 X S s )。下面来说明式(4.27)的进一步简化过程。

由于 δ t-nT )的存在,使负指数e -st t = nT 时的值被筛选了出来,也就是,e -st 可以用e -snT 来代替。由于e -snT 对于积分变量 t 是常数,也可提到积分号之前。式(4.27)变为

式(4.28)中,当 n 从0顺序变化到∞时,被积函数 δ t-nT )始终只是一个 δ 函数,所以积分值总是等于1。由此,式(4.28)简化为

式(4.29)右边的负指数项e -snT 是不易使用的,可以绕开这个负指数项,方法是使用变量代换

这样代换之后,就可以把式(4.29)变成我们想要的单边 z 变换定义式

现在,式(4.29)中的指数函数e -snT 已经变成了式(4.31)中比较容易使用的幂函数 z -n 。式(4.31)的另一个特点是,式中的 x nT )已经可以看成是数字信号了,如图4.6b所示。

从式(4.31)的结构看,累加运算中的每一项都由 x nT )和 z -n 两个因子组成。其中, x nT )表示被采样信号 x t )在 t = nT 时的值,而 z -n 表示采样点 x nT )在时间上比原点晚了 n 个采样周期时间。 z -n 的这个延迟特性已在前面第4.1.4.2节证明过,即拉普拉斯变换中的因子e -snT [也就是式(4.31)中的 z -n ]把时域信号右移了时间 nT

需要说明的是,式(4.29)左边的下标S来自已采样信号 x S t ),但在式(4.31)中已被去除,只有已采样信号 x S t )才能有 z 变换。由于式(4.31)中的累加是从 n =0开始的,所以被叫作单边 z 变换定义式。

由于在同一数字信号系统中,采样率和采样周期通常是不变的,就可以略去式(4.31)和图4.6b中的采样周期 T ,这使得式(4.31)变为

同时,也使图4.6b中的 nT 变成图4.6c中的 n 。从现在起,对于数字信号,主要使用式(4.32)和图4.6c中的表示法。它们与式(4.31)和图4.6b中的表示法是等价的。我们还把图4.6c中的图形叫作信号的样点图。

小测试 有4个积分:① ,② ,③ ,④ ,其中 m 为常数,并假设积分①存在。这4个积分相等吗?答:①、②和④相等,它们与③不相等。 HALtM+cabUj8ZAAX1aTunRvoDuyo+s9Zy3YQNwxT/T+2FfavGUuC0qM5LUUT2VjP

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