4.1.3 拉普拉斯变换的收敛域

从上面的【例题4.2】看，式（4.6）仅当 σ >0时才收敛。因为如果 σ =0，那么当 t →∞时，式（4.6）就变成等幅振荡而不存在极限。由此， u （ t ）的拉普拉斯变换收敛域应该是 s 平面内 σ >0的部分，如图4.2b所示。我们还可以容易地证明，任意时域信号 x （ t ）的拉普拉斯变换 X （ s ）（如果存在）的收敛域总是从 σ 的某个最小值 c 开始，一直向右延伸至+∞。而这个 c 与具体的 x （ t ）有关，被称为收敛纵坐标（即积分只在纵坐标 σ = c 的右边才收敛）。图4.2表示三种基本时域信号 δ （ t ）、 u （ t ）和 u （ t ）e ^-at 的拉普拉斯变换收敛域[ u （ t ）e ^-at 的拉普拉斯变换可以像 u （ t ）那样导出，其中的 u （ t ）用来保证当 t <0时 u （ t ）e ^-at 一概为零，即单边信号]。图4.2中，单位冲击信号 δ （ t ）的拉普拉斯变换的收敛纵坐标在-∞处； u （ t ）和 u （ t ）e ^-at 的收敛纵坐标分别为 c =0和 c = -a （收敛纵坐标通常不在收敛域内）。

从图4.2还可以看出，拉普拉斯变换的极点总是在收敛域之外，如图4.2b和4.2c所示；而图4.2a中不存在极点。所谓极点，是指使拉普拉斯变换趋于无穷大的 s 取值。由于极点使变换式趋于无穷大，所以一定不在收敛域内。还有，只要收敛域包含虚轴，比如图4.2c中的情况，它的时域信号就可以有傅里叶变换。表4.1给出了三种基本时域信号的拉普拉斯变换及其收敛纵坐标。