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傅里叶变换的不足之处是只能用于很少的信号，因为式（4.1）的积分对于大多数信号是不存在的。但如果用复变量 s = σ +j ω 代替式（4.1）傅里叶变换中的j ω ，只要 σ >0，e -σt 就起到衰减作用，式（4.1）就可以用于大多数的信号[只要信号 x （ t ）随 t 的增速小于e -σt 的衰减量]。这时的傅里叶变换就变成了拉普拉斯变换
式中，拉普拉斯变换式 X （ s ）的定义域从傅里叶变换的虚轴j ω 扩展到了整个 s 平面。在 s 平面的虚轴上， σ =0，使 s =j ω 。这说明：虚轴上的每一点都与一个频率值相对应，这就回到了式（4.1）中的傅里叶变换。
另一方面，式（4.2）中的积分下限已经从傅里叶变换的 t =-∞右移到了 t =0，也就是，从双边积分变成了单边积分。在数字信号处理中，我们总是从某个时间点开始计算的，这个时间点就可以设定为 t =0。此外，系统的冲击响应也总是从 t =0开始的；当 t <0时，系统响应一概为零。这就是因果型系统的意思（因果型在第5章讨论，实际的系统都是因果型的）。下面两个例题将计算两个基本信号的拉普拉斯变换。
【 例题4.1 】计算图4.1a中单位冲击信号 δ （ t ）的拉普拉斯变换。
解 ：根据式（4.2），单位冲击信号 δ （ t ）的拉普拉斯变换可写为
式（4.3）中，积分区间的下限0-表示比零小的一个无穷小量，目的是为了包含 δ （ t ）的全部面积。这样，式（4.3）可演算为
式（4.4）中0+的含义与0-相似，即比零大一个无穷小量。由于积分区间被限制在 t =0两侧的极小区域内，就可认为e -st =1。从式（4.4）看， δ （ t ）的拉普拉斯变换 X d （ s ）与拉普拉斯变量 s 无关，所以 X d （ s ）在 s 平面内处处收敛，即 X d （ s ）的收敛域为整个 s 平面，如图4.2a所示。
图4.1 两个基本信号的时域波形
a）单位冲击信号 δ （ t ） b）单位阶跃信号 u （ t ）
【 例题4.2 】计算图4.1b中单位阶跃信号 u （ t ）的拉普拉斯变换。
解 ：在式（4.2）中，令 x （ t ）=1就得到单位阶跃信号 u （ t ）的拉普拉斯变换
式（4.5）中，把d t 变成d（ -st ），同时把积分式除以 -s ，就可演算为
式（4.6）演算中使用了欧拉恒等式。当 t =0时，式（4.6）等于1/ s 。当 t →∞时，如果 σ ＞0，式（4.6）右边的分式e -σt /s 趋于零，而后面括号内复数的模总是等于1。这就是说，式（4.6）在 σ ＞0且 t →∞时趋于零。所以式（4.6）的计算结果为
从条件 σ ＞0可知，式（4.7）的收敛域为右半 s 平面（不包括虚轴）。
