傅里叶变换是从傅里叶级数(也称三角级数)演化来的。在傅里叶级数展开中,当周期信号的周期趋于无穷大时,周期信号即变成只包含一个单脉冲波形的非周期信号。这样的非周期信号一般是绝对可积的(绝对可积是指被积函数取绝对值后的积分依然存在)。这样的积分就叫傅里叶变换
式中, x ( t )为时域信号,也就是上面所说的非周期信号;e -j ωt 类似于图2.7a中的旋转复矢量; X ( ω )为 x ( t )的傅里叶变换,也就是 x ( t )的频率谱; ω =2π f 是频率变量,也是式(4.1)中的自变量,但对于积分式可看作常量,或者说,做积分时的变量是时间 t , ω 是暂时固定的常量。前面的第2.2.1节已经给出了单脉冲矩形波的傅里叶变换计算实例。
小测试 : 写出单位冲击信号 δ ( t + τ )频率谱的幅值和相位。答:1, ωτ 或2π fτ 。