3.8.4 动态范围的计算

现在来计算图3.19中量化器的动态范围。在图3.19a中，量化器所允许的输入信号最大值为1V；量化器所允许的信号最小值应该等于量化器的量化噪声。

另一方面，从图3.19b看，如果输入信号变化很小或者为直流，信号会停留在同一量化区间内的某个很小的范围内（比如图3.19b中的P点附近）。这使量化误差也集中在某个小区域内（比如图3.19b中的 Δ /4附近）。这样的量化误差就不是均匀分布的。

如果输入信号比较活跃（即有一定的高频分量）或者量化器有较多的位数（即有很小的量化步长 Δ ），输入信号就会不停地在各量化区间之间跳来跳去。这时可以认为量化误差是在[ -Δ /2， Δ /2]范围内均匀分布的。由于一般的使用情况都非常接近均匀分布，所以量化器的量化噪声功率就可以用量化器的平均量化误差功率来表示，并可简单地用图3.19b中的任意一个直角三角形来计算。

下面利用图3.19b最左边的倒直角三角形来计算。为便于计算，先把它画成图3.20a中的形状，即把倒三角形变成正向的三角形，这对计算结果毫无影响。现在，三角形的两条直角边的长度都等于 Δ /2。所以，量化器的量化噪声功率可计算为

式中， Δ 为量化器的量化步长； x 为量化器的任意一个量化误差，如图3.20a所示。上式的计算结果 Δ ² /12就是量化器或ADC的平均量化噪声功率，是信号处理中的重要数据。

接下来要计算的是输入信号的平均功率，并规定输入信号的形状应该像三角波或锯齿波那样，也就是像图3.20a中的形状。这样的好处是，输入信号的幅度在整个输入范围内是均匀分布的。在定义信噪比和动态范围时，都是使用这样的形状。图3.20b中的三角波就是根据图3.20a中的锯齿波画出的（在计算信号功率时，三角波与锯齿波是相同的）。图3.20b中的 A 表示三角波的峰峰值，这与图3.20a中的 Δ 相对应。图3.20b中的水平轴为时间轴，它的标尺是随意的，不会影响计算结果。计算区间也是随意的，这里选用从0～1（对应于图3.20a中从0～ Δ /2）。计算的形状仍然是直角三角形。

根据式（3.14），可以容易地算出最大输入信号的平均功率为

式中， P _ST 为输入三角波信号满幅时的平均功率[下标S表示信号，下标T表示三角波，所以下标ST表示三角波信号。下面式（3.18）中的下标SS表示正弦量信号]；被积函数 y 为输入信号的任意一个幅度； A 为输入信号的满幅值，与 Δ 对应。

从图3.19可知，量化器的量化步长 Δ 取决于量化器的位数 B 和输入信号的满幅值 A ，并可表示为

在图3.19中， A =1V和 B =2，所以量化器的量化步长 Δ =1/2 ² =0.25V。

利用式（3.14）～式（3.16）可以算出量化器以三角波为输入时的动态范围表达式

式（3.17）表示，量化器的位数每增加1位，它的动态范围就增加6.02dB，近似为6dB。这个6.02dB或6dB也是信号处理中的重要数据。

再回到图3.19中，由于是2位量化器，它的动态范围就可用式（3.17）计算为12dB。或者说，这个2位量化器可以达到的最大信噪比为12dB。如果一个ADC的位数为16位，它的动态范围就应该为6×16=96dB。

虽然已经推导出了量化器的动态范围，但问题还没有完全解决，因为在对量化器（包括ADC）进行信噪比或动态范围测试时，总是把正弦量信号用作输入信号，而非三角波或锯齿波。其中的原因是，正弦量信号是单频信号，所以量化器的输出等于单频信号与量化噪声之和（假设量化器本身是完全线性的，所以没有非线性误差，也就没有谐波失真），这使得信噪比的测试非常容易（对于测试得到的数据，通常会用FFT进行分析计算）。如果改用三角波来测量，由于三角波本身存在大量的谐波成分，难以确定量化器的量化噪声。

为此，还需要找出正弦量信号与三角波信号在幅度分布方面的不同点。具体说，三角波信号的幅度是均匀分布的，而正弦量信号的幅度较多地分布在峰值附近（正弦量峰值附近的导数趋于零，这表示峰值附近的幅度是缓慢变化的，而过零点附近的幅度是急速变化的），如图3.20b所示。所以两者幅度相同时的平均功率是不同的。但量化噪声功率是基本不变的，依然是 P _N = Δ ² /12[见式（3.14）]。

三角波信号的平均功率已经表示在式（3.15）中。正弦量信号的平均功率，可以用它的有效值来计算（正弦量信号的有效值等于它的振幅的 ，而这里的振幅等于 A /2，见图3.20b）。

把式（3.14）中的量化噪声功率 P _N = Δ ² /12和上式中的 P _SS = A ² /8代入式（3.17），得到

式（3.19）表示，如果把正弦量信号用作输入信号，那么量化器的动态范围就不再是式（3.17）中的6.02 B ，而变成了式（3.19）中的（6.02 B +1.76）dB，或近似为（6 B +1.76）dB，其中的 B 为量化器的位数，而1.76dB表示正弦量信号的平均功率要比相同幅度的三角波信号高出1.76dB。【例题3.4】将从时域波形来说明这一点（这里讨论的量化器的步长是相等的，这叫均匀量化器。步长不等的量化器叫非均匀量化器。比如，数字电话中使用的对数式量化器）。