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图3.15表示余弦信号 x 1 （ t ）（用虚线表示）被错误采样的情况。图3.15中的采样率 f S =4kHz，信号 x 1 （ t ）的频率 f 1 =3kHz。由于信号频率 f 1 大于 f S /2，不满足采样定理，所以一定会发生频率混叠。下面来说明。
图3.15a中的 x 1S （ t ）是 x 1 （ t ）被用 f S =4kHz的采样率错误采样后得到的11个样点，且 x 1S （ t ）每两个相邻样点之间的时间间隔就是采样周期 T 。由于采样率 f S =4kHz，所以采样周期 T =1/4kHz=0.25ms；而信号周期 T 1 ≈0.33ms。由此，模拟信号 x 1 （ t ）在它的一个周期 T 1 内只被采得 T 1 / T ≈1.3个样点（一个正弦量信号如果在每个周期内被采得的样点数不超过2，就不满足采样定理）。图3.15a中从-0.5～0.5ms的1ms时间内，总共包含了 x 1 （ t ）的3个周期，但只采得4个样点。如果把图中采集到的11个样点，用一条光滑虚线连起来，便得到一条频率等于1kHz的余弦曲线[这只是 x 1S （ t ）所包含的无数个不同频率余弦信号中频率最低的那个余弦信号的曲线]。一个频率等于3kHz的余弦信号在采样后变成了一个频率等于1kHz的余弦信号，这就是频率混叠。因为原来3kHz的正弦量被错误地搬移到了1kHz的频率点上。
图3.15 不满足采样定理时发生的频率混叠
a）已采样信号
x
1S
（
t
）的样点图 b）模拟信号
x
1
（
t
）的频率谱
X
1
（
f
） c）已采样信号
x
1S
（
t
）的频率谱
X
1S
（
f
）
图3.15b和c从频域来说明频率混叠现象。在图3.15b中，模拟信号 x 1 （ t ）的频率谱 X 1 （ f ）被表示为两条分别位于±3kHz的谱线。在图3.15c中，由采样率 f S 引起的两条谱线，分别位于 f S 两侧距离±3kHz的地方，其中一条谱线的频率变为1kHz，另一条谱线的频率变为7kHz。现在如果把图3.15b中的谱线与图3.15c中从0到 f S /2频率区（即只能处理的频率区）内的谱线进行比较，就会发现图3.15c中多了一条位于1kHz的谱线。这条谱线其实是从图3.15b中原先位于-3kHz的谱线通过 f S 产生的。这就是频率混叠[由于原先的 x 1 （ t ）中未包含1kHz的频率分量，所以没有发生两条谱线的重叠。下面图3.16中的 X S （ f ）则同时包含了1kHz和3kHz的正弦量，那里将看到谱线重叠的情况]。
频率混叠现象在日常生活中也是存在的。比如在电影里，当马车跑得越来越快时，车轮的转速反而会变慢，然后停转、倒转。这就是频率混叠现象（由于车轮只表示单一频率信号，所以没有发生真正的频率混叠，这与图3.15中的情况相同）。提高每秒播放的帧数（即提高采样频率）或不让马车跑得那么快（即降低信号频率）都可以用来避免车轮慢转、停转和倒转，也就是避免了频率混叠。
小测试 ： 如果采样后使原先模拟信号中1kHz和9kHz的两个正弦量错误地混叠在一起，采样率只能等于10kHz。答：是。
【 例题3.2 】画出已采样信号 x S （ t ）的双边幅值谱和时域样点图，采样率为8kHz。被采样信号 x （ t ）由两个正弦量信号 x 1 （ t ）和 x 2 （ t ）组成。其中， x 1 （ t ）为频率等于2kHz、振幅等于10和相位等于零的余弦信号， x 2 （ t ）为频率等于6kHz、振幅等于5和相位等于零的正弦信号。
解 ：图3.16a中用实线表示被采样信号 x （ t ）的波形，它等于两个正弦量信号 x 1 （ t ）和 x 2 （ t ）之和，而 x 1 （ t ）和 x 2 （ t ）可分别写为
图3.16 正弦量信号 x 1 （ t ）、 x 2 （ t ）、 x （ t ）和已采样信号 x S （ t ）的时域波形和频率谱
根据上面两式，可以容易地画出 x （ t ）的频率谱，如图3.16c所示。图3.16b表示对图3.16a中的 x （ t ）用8kHz采样率采样后得到的已采样信号 x S （ t ）的样点图。图3.16b中的9个样点是在-0.5～0.5ms范围内采集到的。图中用一条光滑虚线把它们连起来，得到频率为2kHz的正弦量信号。
图3.16d表示已采样信号 x S （ t ）的频率谱 X S （ f ）的组成。图中，采样操作从 -f S 、0和 f S 三个频率点产生了12条谱线（在[ -f S ， f S ]的两侧还有无数条相同的谱线），这些谱线分别位于±2kHz、±6kHz、±10kHz和±14kHz的频率点上。把它们两两相加后，就得到图3.16e中的频率谱 X S （ f ）。由于这些谱线的模和幅角被表示为一个复数（如图3.16c所示），所以谱线的相加就是复数的相加（复数相加，除了用平行四边形法则外，还可以把两个复指数分别展开为实部和虚部后相加）。比如，图3.16d中位于2kHz的两条谱线分别为5e j0 （来自 f =0）和2.5e jπ / 2 （来自 f = f S ），相加的结果为5.6e j0.148π ，如图3.16e所示。而图3.16b中连接 x S （ t ）的9个样点的光滑虚线，也验证了图3.16e中已采样信号的频率谱 X S （ f ）的正确性（因为从图3.16e中的[ -f S /2， f S /2]范围看，只存在一个位于2kHz频率点的正弦量信号，且幅度和相位都相符）。
【 例题3.3 】画出正弦信号 x （ t ）的时域波形和它的已采样信号 x S （ t ）的样点图，以及两者的频率谱。已知正弦信号 x （ t ）的振幅等于1，相位等于30°，频率等于1kHz，采样率等于2kHz。
解 ：图3.17a表示正弦信号 x （ t ）的时域波形，图3.17c是它的频率谱 X （ f ）。图3.17b表示已采样信号 x S （ t ）的样点图，图3.17e是它的频率谱 X S （ f ）。由于正弦信号 x （ t ）的频率刚好等于采样率的一半，所以也会有频率混叠。
图3.17 正弦信号 x （ t ）的时域波形、已采样信号 x S （ t ）的样点图以及它们的频率谱
在画频率谱时，如果把正弦信号改写为余弦信号会比较简单。为此，只需把相位30°减去90°，变成-60°或-π/3。这就可以很容易地画出图3.17c中的频率谱 X （ f ）。当用2kHz的采样率对 x （ t ）采样时，就会从频率点 nf S （ n =0，±1，±2，…）向左右两侧产生无数对谱线，并可以从图c中的频率谱确定这些谱线的幅值都等于0.5，相位都等于±π/3，如图3.17d所示。由于信号的频率刚好等于采样率 f S 的一半，所以这些谱线是两两重叠的。把这些两两重叠的谱线加起来（关于矢量加法，如图2.8所示），就得到图3.17e中的线谱图。这个线谱图是与图3.17b中的样点图一致的（图3.17b中用光滑虚线描出的余弦信号），即两者的频率都等于1kHz、相位都等于零和幅值都等于0.5（图3.17e中位于±1kHz处的两个复指数信号的0.5的幅值，也应该看成是由图3.17d中的四个幅值为0.5的复指数信号两两相加后产生的）。
需要说明的是，当信号频率刚好等于 f S /2时，已采样信号 x S （ t ）样点图的幅值完全取决于正弦信号 x （ t ）的相位。在图3.17a中，正弦信号 x （ t ）的相位等于30°，所以 x S （ t ）的幅值等于0.5；如果相位等于零，幅值就等于零，如果相位等于90°，幅值就等于1。
小测试 ： 当正弦量信号的频率等于 f S /2时，每个信号周期内仅采得两个样点，而且这两个样点的大小一定成相反数，它们的幅度则与正弦量信号的相位有关。答：是。
