3.5 采样定理

采样定理是数字信号处理中最重要的定理。它的要点是对模拟信号 x （ t ）中所包含的最高频率分量的频率 f _N 与采样率 f _S 之间的大小关系作出规定，并可叙述为：如果 f _N 小于 f _S /2，就可以从已采样信号 x _S （ t ）中完全恢复出原来的模拟信号 x （ t ），如图3.13所示。

图3.13a表示已采样信号 x _S （ t ）的幅值谱| X _S （ f ）|（见图3.12f）。图3.13b表示理想模拟低通滤波器的幅值响应。由于滤波器的截止特性是直上直下的，没有过渡区，所以用这种滤波器对图3.13a中的已采样信号| X _S （ f ）|[也就是 x _S （ t ）]进行滤波，就可还原出原来的模拟信号| X （ f ）|[即 x （ t ）]，如图3.13c所示。但前提是需满足采样定理。或者说，| X _S （ f ）|与| X （ f ）|在[ -f _S /2， f _S /2]频率范围内完全一样。

图3.13中的滤波过程，在数字信号处理中被称为模拟信号的理想重构（在本书第11.1节详细说明）。也就是说，利用理想模拟低通滤波器来重新构建或还原出原来的模拟信号。但图中存在两个实际问题：①图3.13b中具有直上直下截止特性的理想模拟低通滤波器是无法实现的；②图3.13a中的 X _S （ f ）对应于时域中的已采样信号 x _S （ t ），而 x _S （ t ）是由理想采样信号 p （ t ）（见图3.8）产生的，也是无法实现的。所以，图3.13中的滤波过程只是理论上的想法。本书后面的第11章将对理论和实际的重构做比较详细的讨论。