3.4.2 卷积计算

卷积计算的步骤为：先算出理想采样信号 p （ t ）的频率谱 P （ f ）（上一小节已完成），再假设被采样信号 x （ t ）的幅值谱| X （ f ）|，最后计算| X （ f ）|与 P （ f ）之间的卷积。这样得到的卷积曲线就是已采样信号 x _S （ t ）的幅值谱| X _S （ f ）|。

为了做卷积，先要改换频率变量名，把 P （ f ）和| X （ f ）|中的 f 改用其他变量名（比如 ζ ），变成 P （ ζ ）和| X （ ζ ）|；而把 f 用作由卷积产生的幅值谱| X _S （ f ）|中的变量名，如图3.12f所示。

现在把图3.11中理想采样信号的幅值谱 P （ ζ ）重复于图3.12b中。图3.12中 P （ ζ ）=| P （ ζ ）|是因为 P （ ζ ）的相位处处为零；把 f ₀ 改写为 f _S ，以及把幅度改写为1[假设图3.9中理想采样信号 p （ t ）的幅度从1变成 T ]。图3.12a为假设的被采样信号 x （ t ）的幅值谱| X （ ζ ）|， f _N 为信号 x （ t ）的奈奎斯特频率（奈奎斯特频率是指信号中最高频率分量的频率）。

做卷积按照以下5个步骤进行：

1）使| X （ ζ ）|和 P （ ζ ）中的任意一个，比如 P （ ζ ），固定不变，如图3.12b所示。把另一个幅值谱| X （ ζ ）|在频率上倒转，变成| X （ -ζ ）|。由于| X （ ζ ）|是偶函数，倒转后的曲线形状不变，如图3.12c所示。

2）把图3.12c中频率倒转后的幅值谱| X （ -ζ ）|改写为| X （ f-ζ ）|，其中的 f 就是图3.12f中卷积曲线的频率变量。这样改写后，只要改变 f 就可以使| X （ f-ζ ）|左右平移。在开始做卷积时令 f =-∞，就可把| X （ f-ζ ）|左移到-∞处，如图3.12d所示。

3）让 f 逐渐增加，| X （ f-ζ ）|就逐渐右移。每移到一个频率点 f ，就对乘积 P （ ζ ）| X （ f-ζ ）|在整个频率范围内做一次积分。这个积分值就是卷积曲线在频率点 f 的值。

4）令 f = f ₁ ，因而| X （ f-ζ ）|变成| X （ f ₁ -ζ ）|，这就得到图3.12e中的情况。此时，| X （ f-ζ ）|已被右移到它的纵坐标与图3.12f中的 f ₁ 对齐的位置[在图3.12e中， f ₁ 为常量， ζ 为变量。令 ζ = f ₁ ，就得到| X （ f ₁ -ζ ）|=| X （0）|，而| X （0）|就是图3.12a中| X （ ζ ）|的中间值]。这就可以对乘积 P （ ζ ）| X （ f ₁ -ζ ）|在（-∞，∞）频率范围内做积分了。这个积分是很容易的，因为 P （ ζ ）的无数个 δ 信号中只有 δ （ ζ +2 f _S ）与| X （ f ₁ -ζ ）|有交点。这个卷积值也就简单地等于图3.12e中的 a [ δ （ ζ +2 f _S ）与| X （ f ₁ -ζ ）|相乘的情况与图3.5中相同，即利用 δ 函数的筛选特性]；而 a 就是图3.12f中 f ₁ 频率点的卷积值（因为图3.12e中 f = f ₁ ），即| X _S （ f ₁ ）|= a 。至此就完成了频率点 f ₁ 处的卷积计算。

5）在| X （ f-ζ ）|从 f =-∞变化到+∞的过程中，需计算出所有的卷积值，再把这些卷积值连起来，就得到图3.12f中的卷积曲线| X _S （ f ）|。

读者可以仿照上面的步骤，自行计算图f中其他频率点上的卷积值。

由于| X （ f ）|与 P （ f ）之间的卷积是周期性的[因为 P （ f ）是周期性的]，所以只要算出在[ -f _S /2， f _S /2]范围内的卷积值，然后将它复制、平移和叠加，也可得到图3.12f中完整的卷积曲线。

现在可以根据图3.12f中的卷积曲线，写出已采样信号 x _S （ t ）的频率谱表达式

式（3.11）中已把幅值谱| X _S （ f ）|改成了频率谱 X _S （ f ）。这是因为 P （ f ）的相位处处为零，使卷积的相位与 X （ f ）的相位相同（见图3.12e），使 X _S （ f ）和 X （ f ）有相同的相位值。式（3.11）的意思是：由理想采样操作产生的已采样信号 x _S （ t ）的频率谱 X _S （ f ），等于无数个被采样信号 x （ t ）的频率谱 X （ f-nf _S ）的叠加（ n =…，-2，-1，0，1，2，…），其中的 nf _S 表示每两个相邻频率谱之间都相距 f _S 。