3.4.1 理想采样信号 p （ t ）展开为傅里叶级数

理想采样信号 p （ t ）已示于图3.8b中。由于理想采样信号 p （ t ）是周期信号，就可展开为傅里叶级数。再由于 p （ t ）是偶函数，它的傅里叶级数中只有余弦项，没有正弦项。另外从 p （ t ）的波形看，它的平均值不等于零，所以其傅里叶级数中还包含直流项。在傅里叶级数展开时，余弦项的频率都等于 p （ t ）重复频率的整数倍，而它们的相位都等于零[因为 p （ t ）是关于纵坐标偶对称的，这样的信号被称为零相位信号]。所以在做傅里叶级数展开时，只需计算余弦项的系数，并使用 p （ t ）从 t = -T /2到 T /2的一个周期（也可以用其他任意一个周期）作为积分区间，如图3.9所示。

直流项的幅值 a ₀ 等于 p （ t ）在一个周期内的平均值，即

其他所有余弦项的幅值可计算为

式（3.8）中，由于 p （ t ）中包含了 δ （ t ）[ δ （ t ）为 p （ t ）中最中间的那个 δ 信号]，使积分区间可以从[ -T /2， T /2]缩小到（0-，0+）的范围。这使得式（3.8）中积分变量 t 的变化范围趋于0，进而使被积函数中的cos（2 n π f ₀ t ）等于1。结果是，所有余弦项的系数（即振幅）都等于2/ T 。其中的 f ₀ 为 p （ t ）的重复频率，也就是信号的采样率 f _S （ f _S = f ₀ =1/ T ）。

利用式（3.7）和式（3.8），可以写出 p （ t ）的傅里叶级数展开式为

现在来验证式（3.9）的正确性。方法是用式（3.9）中的直流项和余弦项叠加出理想采样信号 p （ t ），如图3.10所示。

图3.10给出了用展开式（3.9）中的直流项和前三个余弦项叠加出的结果。其中，图3.10a表示理想采样信号 p （ t ）的波形。图3.10b、c、d和e分别表示式（3.9）中的直流项和前三个余弦项的波形。图3.10f、g、h和i分别表示从零依次加上图3.10b、c、d和e中波形后的叠加波形。

从[ -T /2， T /2]的范围看，图3.10b和f中的曲线与水平轴之间的面积都等于1。在依次叠加了图3.10c、d和e中的波形后，由于余弦信号在一个周期内的正负面积相等，使图3.10g、h和i中的波形与水平轴所包围的面积总保持为1。与此同时，图3.10g、h和i中波形的宽度在逐渐变窄，高度在逐渐增加，使等于1的面积逐渐向纵坐标集中。

可以想象，如果把式（3.9）中三次谐波以上的所有无穷多个谐波分量都叠加到图3.10i的波形上，由于高频余弦项在（ -T /2，0）和（0， T /2）范围内是相互抵消的，只在 t =0时间点上是相互增加的，这使图3.10i的波形在（ -T /2，0）和（0， T /2）范围内的幅度趋于零，而使等于1的面积全部集中到 t =0的时间点上。这便是一个 δ （ t ）信号。需要知道，在图3.10i中[ -T /2， T /2]范围的两侧，还有无穷多个、相互间隔时间 T 的 δ 信号。由此，式（3.9）的右边确实是一个理想采样信号 p （ t ）。这就验证了展开式（3.9）的正确性。

把展开式（3.9）中的余弦项用欧拉恒等式（2.16）表示为复指数信号

根据图2.11中的表示法，上式中的每个复指数信号都可以表示为频域中的一条谱线，谱线的高度都等于1/ T ，谱线的相位都等于零，谱线的频率等于 f ₀ 的整数倍。由此，得到了理想采样信号 p （ t ）的频率谱 P （ f ），如图3.11所示。

需要说明的是，由于图3.9中每个时域 δ 信号的高度为1，结果得到图3.11中每个频域 δ 信号的高度等于1/ T 。但如果把图3.9中时域 δ 信号的高度变成 T ，那么图3.11中频域 δ 信号的高度就变成1。这两种做法是等价的，可以互换。

图3.11中的频率谱对于数字信号处理是非常基本和重要的，图中的 f ₀ 就是采样率 f _S 。在计算出了理想采样信号 p （ t ）的频率谱 P （ f ）之后，就可以用卷积来计算已采样信号 x _S （ t ）的频率谱。