3.3.1 单位冲击信号

图3.3a表示单位冲击信号的时域波形（单位冲击信号也叫 δ 信号或delta信号）。图中， δ （ t ）信号被定义在整个时间轴上，且有一个矩形位于 t =0的两侧，矩形之外的幅值处处为零。 δ （ t ）信号的主要特点是：矩形的底边宽度 B 在不断变窄并趋于零，同时高度 H 在不断增加并趋于无穷大，但矩形的面积 S = BH 始终保持等于1。所以，单位冲击信号 δ （ t ）是一个极限过程，它的极限是把等于1的面积集中到 t =0的时间点上。这可以写为

式中，0-和0+分别表示位于 t =0两侧的两个无穷小量。这使从0-到0+的区间能包含 δ （ t ）信号在 B →0极限过程中的全部矩形面积。式（3.1）表示 δ （ t ）信号是可以通过计算来求值的。这被称为 δ 信号的可计算性。

除了图3.3a中的矩形外， δ 信号还可以有其他多种时域形状，比如梯形波或正向余弦波等。图3.3b中的符号是图3.3a中 δ （ t ）信号的简化形式，两者是等效的。在后面的讨论中，将主要使用图3.3b所示的符号。

需要说明的是，不必把 δ （ t ）的高和宽与一般的时间、电压或电流相对应。 δ 信号毕竟是一种纯数学的信号（ δ 信号属于奇异函数）。唯一关心的是，它与水平轴围成的面积总是等于1。这个1，既不是1V电压，也不是1A电流，而是无量纲的常数1。比如，如果宽度 B 以时间 t 为量纲，那么高度 H 就以 t ^-1 为量纲。实际上，连续时域系统（比如 RC 网络）的单位冲击响应也是以 t ^-1 为量纲的。第4章中也会讲到这一点[连续时域系统的单位冲击响应是指以 δ （ t ）信号为输入时的系统输出，这使连续时域系统的单位冲击响应也以 t ^-1 为量纲，详见附录A.3.1]。

3.3.1.1 一个非常接近 δ （ t ）的实例

一个与 δ （ t ）信号非常接近的例子就是用内阻很小的1V电压源对容量很小的1pF电容 C 充电的电路，如图3.4a所示，并假设充电前的电容电压为零。关注点是总的充电电荷。

假设电源内阻可以是 R ₁ =2Ω或 R ₂ =1Ω。当使用 R ₁ =2Ω时，起始充电电流 i ₁ （0）= V/R ₁ =0.5mA（因为此时电容上的电压为零），充电时间常数 τ ₁ = R ₁ C =2×10 ³ ×1×10 ^-12 =2ns。当使用 R ₂ =1Ω时，起始充电电流 i ₂ （0）= V/R ₂ =1mA，充电时间常数 τ ₂ = R ₂ C =1×10 ³ ×1×10 ^-12 =1ns。两条充电电流曲线示于图3.4b中。

两条电流曲线是这样画出的。由于两条曲线都是指数曲线，所以每当时间 t 经过一个时间常数 τ 后，电流就会下降63%，即下降到原来电流值的0.37[用 i （ t ）=e ^-t/τ 算出]。在图3.4b中， R ₁ =2Ω的充电电流曲线在 t = τ ₁ =2ns时，下降到了起始值0.5mA的0.37，即0.185mA；而另一条 R ₂ =1Ω的充电电流曲线在 t = τ ₂ =1ns时下降到了起始值1mA的0.37，即0.37mA。

可以想象，随着电源内阻 R 的不断变小，图3.4b中的电流曲线会不断变高变窄，并在 R →0时曲线的宽度趋于零和高度趋于∞。但另一方面，无论内阻 R 如何变化，曲线与两个坐标轴之间围成的面积总是等于电容上的最终电荷量；而这个电荷量又等于电源电压 V 与电容量 C 的乘积，即电容量 Q = VC =1×10 ^-12 C。这是一个常数，不随 R 而变。

这个例子与 δ （ t ）函数非常接近。这说明，虽然 δ （ t ）函数是一种理想状态，是无法实现的，但实际电路中的有些情况会非常接近 δ （ t ）信号。这也就说明了引入 δ （ t ）信号的合理性。

3.3.1.2 δ 信号的筛选特性

假设有一个模拟信号 x （ t ），如图3.5a所示。如果把模拟信号 x （ t ）与图3.5b中的 δ （ t ）相乘，就得到图3.5c中的信号 x _S （ t ）。信号 x _S （ t ）就被叫作已采样信号（下标S是采样的意思）。需要说明的是，虽然图3.5c中的 x _S （ t ）在 t =0处被表示为一个圆点和一条垂线的组合，不像图3.5b中的 δ （ t ）用箭头表示，但两种表示法是同一个意思，都表示包含了一个 δ 信号。下面来说明图3.5c中的已采样信号 x _S （ t ）是如何得到的。

当把模拟信号 x （ t ）与 δ （ t ）相乘时，由于 δ （ t ）在 t =0以外处处为零，所以 x _S （ t ）在 t =0以外也处处为零。对于 x _S （ t ）在 t =0处的值，可以用式（3.1）来计算。此时的积分区间可以缩小到 t =0两侧一个无穷小的邻域内，即

此时的 x （ t ）可看作是常数，并等于 x （0）；而常数 x （0）又可提到积分号之前。这样，式（3.2）可演算为

这就得到了已采样信号 x _S （ t ）在（-∞，∞）范围内的所有值：在 t =0处 x _S （0）= x （0）；在其他时间点， x _S （ t ）处处为零。这就是图3.5c中的图形。

从图3.5a～c可以看出，用 δ （ t ）乘以 x （ t ），结果是把 x （ t ）在 t =0处的值提取了出来。这就相当于是完成了一次采样操作。与前面3.2节中的实际采样操作相比，这里的采样操作是通过计算完成的，所以被称为理论上的采样操作。而 δ （ t ）对模拟信号 x （ t ）在 t =0处的值进行提取的能力，称为 δ （ t ）信号的筛选特性。由于筛选特性的重要性，下面用图3.6做进一步说明。

图3.6a中的信号就是上面讨论过的 δ （ t ）信号。对于信号 δ （ t ），如果把它的自变量 t 减去一个常量 T （ T >0），就得到信号 δ （ t-T ），如图b中所示[对 t 减去常量 T >0，等于把 δ （ t ）曲线右移时间 T ]。结果是，把 δ （ t ）在 t =0处的特性右移到了 t = T 处；而在 t ≠ T 的其他时间点， δ （ t-T ）处处为零。这就是图3.6b中曲线的含义。它依然定义在整个时间轴上，是一个连续时域信号。

相似地，如果对 δ （ t ）的自变量 t 加上 T （ T >0）变成 δ （ t + T ），就得到图3.6c中的情况。这其实是把图3.6a中的曲线左移了时间 T 。此时，信号 δ （ t + T ）在 t = -T 处的值为1，在 t ≠ -T 的时间点处处为零。

在图3.6a中，信号 δ （ t ）的非零特性位于 t =0及其邻域。在图3.6b中，信号 δ （ t-T ）的非零特性位于 t = T 及其邻域。在图3.6c中，信号 δ （ t + T ）的非零特性位于 t = -T 及其邻域。由此可知，只要对自变量 t 增加或减去某个时间量，就可以用 δ 信号对图3.5a中的模拟信号 x （ t ）在任意时间点上值进行采样。