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2.2.1 单脉冲矩形波的频域表示

2.2.1.1 单脉冲矩形波的傅里叶变换

本节要讨论的单脉冲矩形波信号 x rec t ),如图2.17所示。它的高度等于1,宽度等于2,中心在 t =0,所以它的波形是关于纵坐标偶对称的,是一个偶函数。它的频率谱可用傅里叶变换计算

由于 x rec t )在区间[-1,1]内恒为1,在其他时间点恒为0,式(2.29)就可简化为

式(2.30)中, f 可看作常量,所以-j2π f 也是常量。在做积分时,可以先把d t 改写为d(-j2π ft )/(-j2π f )。这样改写后, t 的变化范围不变,仍是[-1,1]。但如果用变量代换,比如 x =-j2π ft ,那么积分区间就不再是[-1,1]了,而要通过代换式 x =-j2π ft 重新计算。现在就可用指数函数的积分来计算(指数函数e x 的积分和导数都仍然是e x )。式(2.30)可演算为

式(2.31)计算中使用了欧拉恒等式(2.15)。式(2.31)右边的分式sin(2π f )/2π f 是一个sinc函数。所以,先讨论sinc函数。

图2.17 单脉冲矩形波信号 x rec t

2.2.1.2 sinc函数

sinc函数是信号处理中的重要函数,它被定义为

式中,自变量 x 的变化范围从-∞~∞。从上式看,sinc函数也是偶对称的(因为分子和分母都是奇函数)。当自变量 x x =0向两侧变化时,分母 x 的绝对值逐渐增加,而分子的正弦函数sin x 总是在-1和1之间摆动,所以函数sinc x x =0附近达到最大,并随 x 向两侧的移动,作衰减振荡且趋于零。而且,当 x = n π( n =±1,±2,…)时sinc x =0;当 x = n π±π/2( n =0,±1,±2,…)时,sinc x 达到正、负向峰值(严格说,应该在 x 略小于 n π±π/2时达到正、负向峰值,峰值的正确位置可以通过对函数sin x/x 求极值来确定)。这样画出的sinc x 曲线如图2.18a所示。

图2.18 sinc函数
a)根据式(2.32)画出的sinc x 曲线 b)根据式(2.34)画出的sinc x 曲线

式(2.32)的一个问题是,当 x =0时,右边的分母等于零(零是万万不可做分母的),使它在 x =0处有一个间断点。但另一方面,当 x →0时,右边分式的分子和分母会同时趋于零。我们可以将分式的分子和分母分别对 x 求导,然后代入 x =0,就得到sinc x x →0时的极限

这种对分子和分母分别求导的计算方法叫作洛必达法则。由式(2.33)可知,只需定义sinc x | x =0 =1,就可去掉这个间断点(这样的间断点叫作可去间断点,但条件是 x 从正负两个方向趋于0时sinc x 有相同的极限。这里的极限都等于1)。这样之后,式(2.32)就是一个完整的sinc函数定义式了。

对于式(2.32)和图2.18a,还有一个改进。因为图2.18a中有太多的π,希望把它们隐藏起来。办法是把式(2.32)中的变量 x 代换成π x ,而式(2.32)变成

此时的 x 就与π无关,而变成像图2.18b中那样 x =0,±1,±2,…。

所以,在与频率有关的表达式中,可以使用式(2.34)中的sinc函数定义。用式(2.34)画出的sinc x 曲线如图2.18b所示。图中少了π,显得比较简洁。

小测试 要求计算sinc(π/2)[用式(2.32)]或sinc 0.5[用式(2.34)]的值。答:0.637。

2.2.1.3 单脉冲矩形波的频率谱

现在回到式(2.31)。对于式(2.31),使用式(2.34)的定义式,那么式(2.31)变为

式(2.35)的导出过程是:先把式(2.31)中的 f 改为 x (自变量名是可以随意改换的),然后使用式(2.34)中的定义式,最后再把 x 改回 f

用式(2.35)画出的单脉冲矩形波的频率谱曲线如图2.19所示。这张曲线图与图2.18b中的曲线图有两点不同。一个不同点是,水平轴的比例尺不同,这里的 f =0.5对应于图2.18b中的 f =1[因为这里是sinc(2 f ),那里是sinc f ];另一个不同点是,这里的幅度是图2.18b中的两倍。

图2.19 单脉冲矩形波的频率谱曲线 X rec f

图2.20a和b是从图2.19导出的。其中,图2.20a是图2.19中 X rec f )的幅值谱,图2.20b是 X rec f )的相位谱。由于幅值谱是对频率谱取绝对值,所以不可小于零,如图2.20a所示。但是,在复数运算中,把幅值从负变正,它的幅角(也就是相位)需改变π(因为-1=e ±jπ );而这个改变量可以是+π或-π。但另一方面,时域实函数 x rec t )的相位谱一定是奇对称的。所以,在图2.20b所示的相位谱中,把右边(正频率)因为幅值从负变正的相位画成-π,而把左边(负频率)因为幅值从负变正的相位画成+π。这也可以反过来,把右边画成+π,把左边画成-π。两者完全一样(对于正弦量而言,相位+π和-π没有任何不同)。

图2.20 矩形单脉冲信号的频率谱曲线 X rec f
a)幅值谱 b)相位谱

对于图2.19中频率谱的形状,其表示各频率分量之间的幅值之比。或者说,矩形单脉冲信号的能量主要集中在低频区内,高频分量相对较小,且很快趋于零。 MUZT7485xnzAfzcIlgGL+4O9Lwhoc8yXYxfMsN2dbShe1Fm+DGmoaMGDIrvwgWgF

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