2.2.1 单脉冲矩形波的频域表示

2.2.1.1 单脉冲矩形波的傅里叶变换

本节要讨论的单脉冲矩形波信号 x _rec （ t ），如图2.17所示。它的高度等于1，宽度等于2，中心在 t =0，所以它的波形是关于纵坐标偶对称的，是一个偶函数。它的频率谱可用傅里叶变换计算

由于 x _rec （ t ）在区间[-1，1]内恒为1，在其他时间点恒为0，式（2.29）就可简化为

式（2.30）中， f 可看作常量，所以-j2π f 也是常量。在做积分时，可以先把d t 改写为d（-j2π ft ）/（-j2π f ）。这样改写后， t 的变化范围不变，仍是[-1，1]。但如果用变量代换，比如 x =-j2π ft ，那么积分区间就不再是[-1，1]了，而要通过代换式 x =-j2π ft 重新计算。现在就可用指数函数的积分来计算（指数函数e ^x 的积分和导数都仍然是e ^x ）。式（2.30）可演算为

式（2.31）计算中使用了欧拉恒等式（2.15）。式（2.31）右边的分式sin（2π f ）/2π f 是一个sinc函数。所以，先讨论sinc函数。

2.2.1.2 sinc函数

sinc函数是信号处理中的重要函数，它被定义为

式中，自变量 x 的变化范围从-∞～∞。从上式看，sinc函数也是偶对称的（因为分子和分母都是奇函数）。当自变量 x 从 x =0向两侧变化时，分母 x 的绝对值逐渐增加，而分子的正弦函数sin x 总是在-1和1之间摆动，所以函数sinc x 在 x =0附近达到最大，并随 x 向两侧的移动，作衰减振荡且趋于零。而且，当 x = n π（ n =±1，±2，…）时sinc x =0；当 x = n π±π/2（ n =0，±1，±2，…）时，sinc x 达到正、负向峰值（严格说，应该在 x 略小于 n π±π/2时达到正、负向峰值，峰值的正确位置可以通过对函数sin x/x 求极值来确定）。这样画出的sinc x 曲线如图2.18a所示。

式（2.32）的一个问题是，当 x =0时，右边的分母等于零（零是万万不可做分母的），使它在 x =0处有一个间断点。但另一方面，当 x →0时，右边分式的分子和分母会同时趋于零。我们可以将分式的分子和分母分别对 x 求导，然后代入 x =0，就得到sinc x 在 x →0时的极限

这种对分子和分母分别求导的计算方法叫作洛必达法则。由式（2.33）可知，只需定义sinc x | _{x =0} =1，就可去掉这个间断点（这样的间断点叫作可去间断点，但条件是 x 从正负两个方向趋于0时sinc x 有相同的极限。这里的极限都等于1）。这样之后，式（2.32）就是一个完整的sinc函数定义式了。

对于式（2.32）和图2.18a，还有一个改进。因为图2.18a中有太多的π，希望把它们隐藏起来。办法是把式（2.32）中的变量 x 代换成π x ，而式（2.32）变成

此时的 x 就与π无关，而变成像图2.18b中那样 x =0，±1，±2，…。

所以，在与频率有关的表达式中，可以使用式（2.34）中的sinc函数定义。用式（2.34）画出的sinc x 曲线如图2.18b所示。图中少了π，显得比较简洁。

2.2.1.3 单脉冲矩形波的频率谱

现在回到式（2.31）。对于式（2.31），使用式（2.34）的定义式，那么式（2.31）变为

式（2.35）的导出过程是：先把式（2.31）中的 f 改为 x （自变量名是可以随意改换的），然后使用式（2.34）中的定义式，最后再把 x 改回 f 。

用式（2.35）画出的单脉冲矩形波的频率谱曲线如图2.19所示。这张曲线图与图2.18b中的曲线图有两点不同。一个不同点是，水平轴的比例尺不同，这里的 f =0.5对应于图2.18b中的 f =1[因为这里是sinc（2 f ），那里是sinc f ]；另一个不同点是，这里的幅度是图2.18b中的两倍。

图2.20a和b是从图2.19导出的。其中，图2.20a是图2.19中 X _rec （ f ）的幅值谱，图2.20b是 X _rec （ f ）的相位谱。由于幅值谱是对频率谱取绝对值，所以不可小于零，如图2.20a所示。但是，在复数运算中，把幅值从负变正，它的幅角（也就是相位）需改变π（因为-1=e ^±jπ ）；而这个改变量可以是+π或-π。但另一方面，时域实函数 x _rec （ t ）的相位谱一定是奇对称的。所以，在图2.20b所示的相位谱中，把右边（正频率）因为幅值从负变正的相位画成-π，而把左边（负频率）因为幅值从负变正的相位画成+π。这也可以反过来，把右边画成+π，把左边画成-π。两者完全一样（对于正弦量而言，相位+π和-π没有任何不同）。

对于图2.19中频率谱的形状，其表示各频率分量之间的幅值之比。或者说，矩形单脉冲信号的能量主要集中在低频区内，高频分量相对较小，且很快趋于零。 b5p35W1vGqRyaiD/hDoayN56V/f/TOJsUcby0vwyFQ0M6Ewmy9scfImz92dVUkX6