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对于周期信号的频域表示，需借助欧拉定理（也称欧拉恒等式），即
欧拉定理的漂亮之处，是把看来毫不相干的正弦量信号与复指数关联了起来。在上面两式中，左边是复指数信号，右边是正弦量信号。图2.7用来说明两者是如何关联的，而关联的媒介是复平面内的单位圆。
图2.7 复指数分解为正弦量信号
a）e
j
φ
分解为cos
φ
和jsin
φ
两个复矢量 b）e
-j
φ
分解为cos
φ
和-jsin
φ
两个复矢量
图2.7a解释了式（2.12）的含义。在复平面内，式（2.12）中的e j φ 、cos φ 和jsin φ 都应被看作矢量，而矢量的分解和合成遵守平行四边形法则。图中根据式（2.12）把矢量e j φ 分解成两个分别沿纵、横坐标方向的矢量cos φ 和jsin φ 。反过来，也可以用cos φ 和jsin φ 合成矢量e j φ 。此外，从式（2.12）还可以算出矢量e j φ 的模（矢量的模也称幅值或长度）。由于等式右边cos φ +jsin φ 的模等于1（复数的模等于实部和虚部平方和的平方根，即cos 2 φ +sin 2 φ =1），所以e j φ 的模也等于1，表示矢量的末端在单位圆上。
对于式（2.13）可以用图2.7b来解释。图中的e -j φ 、cos φ 和-jsin φ 三个矢量同样满足矢量分解和合成的平行四边形法则，而且同样可以证明e -j φ 的幅值等于1，即矢量的末端也在单位圆上。
如果把式（2.12）和式（2.13）相加和相减，可以得到另一对欧拉恒等式，即
式（2.14）和式（2.15）表示，一个正弦量信号可以用一对正、负指数的复指数信号相加或相减得出。这同样可以通过复平面内的单位圆来解释，如图2.8所示。图中的e j φ /2和e -j φ /2是两个幅值为0.5、幅角分别为± φ 的复矢量。在图2.8a中，把矢量e j φ /2和e -j φ /2相加，就得到cos φ （同样可以用矢量相加的平行四边形法则，或计算e j φ /2和e -j φ /2在实轴上的投影之和，两者在虚轴上的投影相互抵消）。
在图2.8b中，从矢量e j φ /2中减去e -j φ /2，就得到沿虚轴方向的jsin φ （这等于e j φ /2和e -j φ /2在虚轴上的投影之和；两者在实轴上的投影也相互抵消）。由于j=e jπ / 2 表示把矢量逆时针旋转90°，所以矢量sin φ 应该是沿实轴的正方向，如图2.8b中所示。
图2.8 两个复指数合成出正弦量信号
a）用e
j
φ
/2和e
-j
φ
/2合成cos
φ
b）用e
j
φ
/2和-e
-j
φ
/2合成jsin
φ
，再顺时针旋转90°就得到sin
φ
小测试 ： 把正弦函数10sin（ α +π/2）分解为两个复指数函数。答：5e j α +5e -j α 。
上一小节讲述了每个正弦量信号都可以分解为两个复指数信号，即式（2.14）和式（2.15）。如果把复指数信号中的幅角 φ 代换成2π ft + θ ，式（2.14）和式（2.15）就分别变为
式（2.16）和式（2.17）中，假设频率 f 和相位 θ 都是常数，而 t 为时间变量。那么当 t 增加或减小时，等式右边的两个复指数信号e j（2π ft + θ ） 和e -j（2π ft + θ ） 就变成一对沿单位圆等速且反向旋转的复矢量。这样的一对旋转复矢量就可以用来表示正弦量信号的频率谱，简称频谱。
为说明这一点，使用一个实际的正弦量信号，如图2.9所示。图2.9a把正弦量信号表示为余弦信号 x cos （ t ），它的振幅为1，频率为 f 0 ，相位为-π/3或-60°。图2.9b把正弦量信号表示为正弦信号 x sin （ t ），它的振幅和频率与余弦信号相同，只是相位变成了π/6或30°。
根据式（2.16）和式（2.17），图2.9中的余弦信号和正弦信号可分别写为
图2.9 正弦量信号的时域表示
a）表示为余弦信号 b）表示为正弦信号
从式（2.18）看，余弦信号 x cos （ t ）两个频率分量的频率分别为± f 0 ，幅值都等于1/2，相位分别为-π/3和π/3。由此得到，余弦信号 x cos （ t ）的正频率分量的频率等于 f 0 ，幅值等于0.5和相位等于-π/3；负频率分量的频率等于 -f 0 ，幅值等于0.5和相位等于π/3。根据这些数据画出的余弦信号 x cos （ t ）的频率谱如图2.10a所示。
对于式（2.19），先说明其中的复指数e -jπ / 2 和e jπ / 2 是如何产生的。两者都是从式（2.17）分母中的j变来的（因为j=e jπ / 2 ，所以1/j=e -jπ / 2 ）。另外，式（2.17）右边方括号内的减号，在式（2.19）中变成了加号，所以要乘以-1；而-1=e jπ 或e -jπ 。这使式（2.19）右边加号后面的第一个复指数从e -jπ / 2 变成e jπ / 2 。
由此，正弦信号 x sin （ t ）的两个频率分量的频率也分别为± f 0 ，幅值也都等于1/2，相位也分别为-π/3和π/3。或者说，正弦信号 x sin （ t ）的正频率分量的频率等于 f 0 ，幅值等于0.5和相位等于-π/3；负频率分量的频率等于 -f 0 ，幅值等于0.5和相位等于π/3。根据这些数据画出的正弦信号 x sin （ t ）的频率谱如图2.10b所示。由图2.10可以看出，图a和图b完全一样，因为两者是同一个信号。由此可以想到，在画正弦信号的频率谱时，先把它变成余弦信号后再画出，会比较容易。
在图2.10a和b中，上面的图称为幅值谱，下面的图称为相位谱。这两张图与图2.9a和b中的时域波形包含了相同的信息，但图2.10显得比较简洁、清晰。这是频域表示法的优点。此外，图2.10中的8条垂线（包括小圆点）叫作谱线；而由谱线组成的谱图（即图2.10a和b中的谱图）叫作线谱，因为它们都是由垂直的谱线组成的。这与本章下面要讲到的非周期信号的连续谱有不同的含义。再有，从图2.10看，幅值谱都是偶对称的，相位谱都是奇对称的。但前提是，时域信号必须是实信号。时域复信号（在通信等领域会遇到）的频率谱就没有这样的对称性。
图2.10 正弦量信号的频域表示
a）余弦信号的频率谱 b）正弦信号的频率谱
小测试 ： 要求写出正弦信号10sin（100π t +2π/3）频率谱的幅值、频率和相位。答：幅值为5，频率为±50Hz，相位为-π/6和π/6。
对于图2.10中的频率谱，可以有简洁的表示法。这就是把图中的幅值谱和相位谱合起来，变成图2.11a中的频率谱。如果余弦信号的相位等于零，图2.11a中的频率谱就变成图2.11b中的频率谱。由于图中的每条谱线都是用幅值和相位标出的，所以是一个复数。这种简洁的线谱图有时会很有用。
图2.11 正弦量信号的简洁频域表示法
a）相位等于-π/3的余弦信号 b）零相位的余弦信号
小测试 ： 写出正弦信号10sin（200π t +2π/3）的简洁频率谱的数据。答：频率为±100Hz，幅值与相位为5e -jπ / 6 和5e +jπ / 6 。
图2.10所示的频率谱被称为双边谱。当把正弦量信号展开为两个复指数时，就得到双边谱。与双边谱对应的是单边谱。单边谱是只包含正频率部分的频率谱。如果把图2.10中的双边谱变成单边谱，只需把信号的幅值加倍，而相位取正频率的相位。图2.12表示两个正弦量信号的单边谱。两者分别为余弦信号 x cos （ t ）=6cos（10π t +π/3）和正弦信号 x sin （ t ）=10sin（10π t +π/6）。余弦信号 x cos （ t ）的参数为幅值等于6，频率等于5Hz，相位等于π/3。对于正弦信号 x sin （ t ），可以先转换成余弦信号。它的幅值和频率保持不变，只是相位变成π/6-π/2=-π/3。从图2.12可以看出，这两个信号有不同的单边谱，所以是两个不同的信号。
图2.12 正弦量信号的单边谱
a）余弦信号的单边谱 b）正弦信号的单边谱
小测试 ： 写出正弦信号10sin（300π t +2π/3）单边谱的幅值、频率和相位。答：10，150Hz，π/6。
【 例题2.3 】有正弦信号 x sin （ t ）=5sin（1000π t -π/6），要求把它分解成一对复指数信号，并画出它的频率谱。
解 ：利用欧拉恒等式（2.15），正弦信号 x sin （ t ）可展开为
式（2.20）右边有两个j在分母上，把前一个写成e jπ / 2 ，移到分子上变成e -jπ / 2 ；后一个1/j与前面的负号合起来，变成j，再变成e jπ / 2 。这样，式（2.20）变为
式（2.21）已经把正弦信号 x sin （ t ）分解成了两个复指数信号，两者的模都是2.5，相位分别为-2π/3和2π/3，频率分别为±500Hz。正弦信号 x sin （ t ）的频率谱可根据式（2.21）画出，如图2.13所示。这个频率谱也是线谱。本例题如果先把正弦函数改写成余弦函数，相位要减去π/2，结果是一样的，但会比较容易。
图2.13 正弦信号的频率谱
【 例题2.4 】根据图2.14中的频率谱，写出这个正弦量信号的时域表达式。
图2.14 一个正弦量信号的频率谱
解 ：从图中可知，该正弦量信号的振幅为100×2=200，频率为1.5kHz。如果表示为余弦信号，由式（2.14）可知，它的相位应该等于正频率的相位。由于1/j=e -jπ / 2 ，余弦信号的相位就应该等于-π/2。如果表示为正弦信号，它的相位应该等于余弦信号的相位加上π/2，也就是等于零。所以，表示为正弦信号比较简单，即
式（2.22）可通过欧拉恒等式来验证
把式（2.23）与图2.14中的线谱比较，完全一样。
如果写成余弦信号，需在式（2.22）的正弦信号相位中减去π/2，即
小测试 ： 在式（2.22）中，如果变量 t 以秒为单位，那么3000π t 以什么为单位？答：弧度。
【 例题2.5 】要求画出余弦信号 x cos （ t ）=16cos（200π t +30°）的频率谱。
解 ：利用欧拉恒等式把余弦信号改写为
式（2.25）表示，余弦信号 x cos （ t ）的频率谱由正、负频率的两条谱线组成，它们的幅值都等于8，频率等于±100Hz，相位等于±π/6。根据上式，可以画出余弦信号 x cos （ t ）的幅值谱和相位谱，如图2.15所示。
图2.15 余弦信号的频率谱
【 例题2.6 】根据图2.16a中的频率谱，写出这个信号的时域表达式，并画出波形。
图2.16 由两个正弦量函数组成的信号
a）信号的频率谱 b）信号的时域波形
解 ：图2.16a中的信号在5kHz和10kHz的频率点上各有一个正弦量信号，把这两个正弦量信号用余弦信号表示比较容易（表示为正弦信号，相位需增加π/2）。5kHz频率点上的信号可写为
10kHz频率点上的信号可写为
所以图2.16a中正弦量信号的时域表达式为
由于 x 1 （ t ）和 x 2 （ t ）的频率不同，式（2.28）已无法化简。在图2.16b中画出了 x 1 （ t ）、 x 2 （ t ）和 x （ t ）三个信号的时域波形。由图中可知，由于 x 1 （ t ）与 x 2 （ t ）的频率不同，叠加后的信号就不再是正弦量信号[叠加后的重复频率等于 x 1 （ t ）和 x 2 （ t ）频率的最大公约数，这里是5kHz]。需要知道，只有两个同频率的正弦量信号叠加后，才仍然是正弦量信号，而且频率也不变。