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周期信号是指信号在时间上是不断重复的，比如图2.1a中的 x （ t ）。它以时间长度 T 0 进行重复，所以 T 0 被叫作周期信号的周期。它的倒数叫作周期信号的频率，图中用 f 0 表示，所以有 f 0 =1/ T 0 。
周期信号的主要特点是，总可以表示为若干个或无数个正弦量信号之和（正弦量信号包括正弦信号和余弦信号，所以正弦量信号可以是正弦信号，也可以是余弦信号）。比如，图2.1a中的周期信号 x （ t ）可以表示为图2.1b、c、d中三个正弦信号的叠加。这三个正弦信号的频率依次为 f 0 、2 f 0 和3 f 0 ，其中 f 0 为周期信号 x （ t ）的频率，所以图2.1b中的 x 1 （ t ）被称为 x （ t ）的基频分量，而图2.1c和d中的 x 2 （ t ）和 x 3 （ t ）被分别称为 x （ t ）的二次和三次谐波分量。 x 1 （ t ）～ x 3 （ t ）三个正弦信号的振幅依次为 A 1 、 A 2 和 A 3 ，相位依次为 θ 1 、 θ 2 和 θ 3 。周期信号还可以包含直流分量，这里的 x （ t ）没有直流分量。
图2.1中的情况其实是周期信号的傅里叶级数展开。由于周期信号可以表示为若干个正弦量信号之和，那么就可以把周期信号的讨论归结为对正弦量信号的讨论。所以在下面的讨论中，我们仅讨论正弦量信号，并把讨论的重点放在正弦量信号的相位上，因为振幅和频率是相对比较简单的（为简便起见，图2.1中的时间轴被同时用来表示相位。本书的其他地方有相同的用法）。
图2.1 一个周期信号可以分解为若干个正弦量信号
正弦量信号的相位与时间之间的换算很简单。把相位换算成时间，使用等式 t =（ θ /360°）× T 0 ；把时间换算成相位，使用等式 θ =（ t/T 0 ）×360°。比如在图2.2中，时间 t 1 = T 0 /4换算成相位就是 θ =（ t 1 / T 0 ）×360°=90°；而相位 θ =-135°换算成时间是 t 2 =（ θ /360°）× T 0 =-3 T 0 /8。
图2.2 正弦量信号相位与时间之间的换算
本小节讨论相位与时间的另一个问题，即同频率同相位的正弦信号和余弦信号的时间关系。这就是图2.3中的情况。为便于讨论，把图2.3a中正弦信号和余弦信号的相位都设定为零。对于其他的相位值，情况是一样的（图2.3b中的相位都等于90°）。
图2.3 同频率同相位的正弦信号和余弦信号的时间关系
正弦信号的相位是指幅值由负变正的过零点处与原点之间的距离，余弦函数的相位是指幅值到达正向峰值处与原点之间的距离（在信号处理中，信号和函数是同一个意思，可以互换）。
根据这个规定，图2.3a中正弦信号和余弦信号的相位都等于零。但从时间上看，零相位的余弦信号要比零相位的正弦信号在时间上领先 T 0 /4（ T 0 /4相当于90°相位）。对于相位不等于零的情况，比如正弦信号和余弦信号的相位都等于90°，这实际上是把图2.3a中的两条曲线同时左移 T 0 /4。结果是，两条曲线之间的时间关系保持不变，这就是图2.3b中的情况。确定图2.3b中两条曲线的相位很简单，比如对于正弦曲线，当 t =0时，幅值达到了正向峰值，所以相位是90°；对于余弦曲线，当 t =0时，幅值下降到零，所以相位也是90°。由此得出结论：对于同频率、同相位的余弦和正弦信号，余弦信号总要比正弦信号在时间上早出现 T 0 /4（由于周期信号的原因，早出现 T 0 /4也就是晚出现3 T 0 /4，或者，90°相位也就是-270°相位）。
小测试 ： 比较同频率的余弦信号cos（10π t +10°）和正弦信号sin（10π t +90°）在时间上的先后，并确定两者的频率。答：cos（12π t +10°）比sin（12π t +90°）领先约5.6ms，两者的频率都是5Hz。
图2.1b、c和d中的三个正弦量信号都被表示为正弦函数，但也可以表示为余弦函数，两者的差别只是在相位上加或减90°。这可以用图2.4来说明。
先把图2.4a中的正弦量信号表示为余弦函数，如图2.4b所示。图中余弦函数的峰值出现在 t =0的右边，所以相位是负值，具体为 θ cos =-60°，并可表示为
式（2.1）的正确性可以通过两个时间点来测试：①当 t =0时， x cos （0）=cos（-60°）=cos60°=0.5；②当2π f 0 t -60°=0时，即 t =（π/3）/（2π f 0 ）= T 0 /6时， x cos （ T 0 /6）=cos0°=1。图2.4b中确实如此，所以式（2.1）是正确的。
图2.4 正弦量信号的两种表示法
a）正弦量信号 b）表示为余弦信号 c）表示为正弦信号
图2.4a中的正弦量信号也可以表示为正弦函数，如图2.4c所示。图中正弦函数从负变正的过零点出现在 t =0的左边，所以相位为正值，具体为 θ sin =30°，表达式为
上式的正确性同样可以通过两个时间点来测试：①当 t =0时， x sin （0）=sin30°=0.5；②当2π f 0 t +30°=0即 t =（-π/6）/（2π f 0 ）= -T 0 /12时， x sin （0°）=0。图2.4c中的情况也确实如此，所以式（2.2）也是正确的。
本小节可归纳为：当余弦函数的正向峰值（或正弦函数从负变正的过零点）出现在 t =0的左边时，相位为正值，否则相位为零或负值。如果把余弦函数改写为正弦函数，相位需增加90°。
小测试 ： 把余弦信号cos（100π t +20°）改写为正弦信号。答：sin（100π t +110°）。
先回顾一下三角恒等式
如何来记忆式（2.3）和式（2.4）右边的加减号呢？对于式（2.3），余弦函数的角度越大，函数值越小（在第一象限内），所以等式左边的加号到了等式右边就是减号。对于式（2.4），正弦函数的角度越大，函数值越大（也是在第一象限内），所以等式左边的加号到了等式右边仍为加号。
现在令 α =2π f 0 t 和 β = θ ，上面两式分别变为
从式（2.5）看，一个相位不等于零的余弦函数被分解成一对零相位、同频率的余弦和正弦函数。从式（2.6）看，一个相位不等于零的正弦函数也被分解成一对零相位、同频率的余弦和正弦函数（把上面两式中的 θ 看作常数，所以cos θ 和sin θ 也都是常数，可作为正弦量信号的振幅）。
本小节可归纳为：一个相位不等于零的正弦函数或余弦函数总可以表示为一对同频率、零相位的正弦函数和余弦函数之和。或者反过来，一对同频率、零相位的正弦函数和余弦函数总可以合成为一个同频率、非零相位的正弦函数或余弦函数（在把周期信号展开为傅里叶级数时，会看到这个性质）。
【 例题2.1 】有一对频率等于100Hz的正弦和余弦信号3sin200π t 和4cos200π t ，两者的相位都等于零，振幅分别为3和4。要求把它们合成为一个非零相位的正弦信号或余弦信号。
解 ：这一对正弦和余弦信号的波形分别示于图2.5a和b中。先把两者分别改写为
在合成正弦信号时，可以使用式（2.6）。把式（2.7）中的
看成cos
θ
，把式（2.8）中的
看成sin
θ
，并可算得
θ
≈53 °。把式（2.7）和式（2.8）加起来，就得到合成的正弦信号表达式
图2.5 两个同频率、零相位的正弦和余弦信号合成为一个非零相位的正弦信号或余弦信号
在合成余弦信号时，可以使用式（2.5）。把式（2.7）中的
看成sin
θ
，把式（2.8）中的
看成cos
θ
，并可算得
θ
≈37 °。把式（2.7）和式（2.8）加起来，就得到合成的余弦信号
式（2.10）运算中利用了余弦函数为偶函数和正弦函数为奇函数的性质，即cos（-37°）=cos37°和sin（-37°）=-sin37°。合成的正弦和余弦信号的波形示于图2.5c中。两者是同一个波形，但相位不同。对于正弦信号，相位等于53 °；对于余弦信号，相位等于-37°。此外，从式（2.9）正弦信号的相位中减去90°，也可得到式（2.10）中相位等于-37 °的余弦信号。
【 例题2.2 】有非零相位的正弦信号 x sin （ t ）=5sin（100π t +30°），要求把它改写为一对同频率、零相位的正弦信号和余弦信号之和。
解 ：利用式（2.4）的三角恒等式， x sin （ t ）可展开为
图2.6表示式（2.11）的分解结果：图2.6a为原来的正弦信号 x sin （ t ）=5sin（100π t +30 °）；图2.6b为分解出来的零相位余弦信号2.5cos100π t ；图2.6c为分解出来的零相位正弦信号4.3sin100π t 。
图2.6 把一个非零相位的正弦信号分解为一对同频率、零相位的正弦信号和余弦信号之和
小测试 ： 写出把余弦信号cos（100π t +10°）延迟1ms后的表达式。答：cos（100π t -8°）。