数学的发展

数学看起来就是数字和方程，但是如果回忆起早期的数学课，你或许还记得其他一些东西，或许是一些形状、图案和图像表达，比如柱状图和文氏图。我所做的研究（数学领域一个极为抽象的分支，叫“范畴论”）里没有数字，也没有方程。如果数学既不研究数字，也不研究方程，那么它究竟研究什么？我通常把数学解释为“对事物如何运作的研究”，但它不研究任何旧事物，也不采用陈旧的研究手段。我称其为：

数学是对合乎逻辑的事物如何运作的逻辑研究。

这里出现的第一个问题就是，其实并不存在真正合乎逻辑的事物：生活中所有的事物都混合了逻辑与其他因素，比如随机、混乱、情绪。或许从另一个角度来看，这些事物也都是合乎逻辑的，只是过于复杂，我们无法用逻辑来阐释。例如，天气其实有逻辑可言，只是我们永远无法对大气层中正在发生的事情进行准确测量，因而无法用逻辑的方式来精确地预测天气。因此，天气并非不合逻辑，只是过于复杂。

大多数数学工作都利用我前面描述的方式——抽象化——来应对这样的局面。我们有意忽略某些事物的细节，从混乱的“真实”世界进入抽象的思想世界，在那里，所有事物都严格按照逻辑来运行，因为我们已经把不合逻辑的部分（暂时）排除在外。我不想把非抽象化的世界称为“真实”世界，因为我不认为抽象的想法是不真实的，所以我更愿意把非抽象化的世界称为我们可以触及的“具体”世界。

数学的一个迷人之处在于，它不由研究对象来定义。很多学科，比如历史学、生物学、心理学、经济学，都是由它们的研究对象来定义的，发展相关研究技术仅仅是为了更深入地研究这些对象。但是数学更像一个循环过程，我们的研究对象往往取决于我们的研究方法，这样我们就可以找到新的东西来研究，然后找到一些新的方法来研究这些东西。就如同下图所示的过程：

但实际上，每个箭头都给了我们崭新的事物，所以我们并不是在同一个平面上兜圈子，它更像一个螺旋：在循环往复的过程中不断上升。我们利用新方法寻找新的研究对象，为了研究新的对象而寻找新的方法，就像从数字开始，登上螺旋形的“楼梯”，如下图所示。

这样我们就有了一个永远向上的螺旋楼梯。我将会展示它的运作方式，我想沿着楼梯走一走，看看它能把我带到哪里。这么做的目的并不是要直接解决1+1的问题，而是进行一些背景探索，以便我们最终能以更有意义的方式来回答这个问题。

所有的“楼梯”都始于我们把身边的事物抽象化，从而得到了数字。数字要比饼干、奶牛等我们试图对其计数的东西更具逻辑性。然后我们会利用一些方法来研究数字，比如通过加、减、乘、除来探寻数字与数字之间的关系。

接下来我们意识到，或许还有更多的东西我们可以采用相同的方式进行研究，比如图形。我们发现，把身边的事物抽象化之后，我们能更明显地看到它们之间的相似性，比如窗户、门、桌子，显然它们都是长方形的物体。我们还发现，如果把一个半圆形卷起来，它就能变成一顶锥形的帽子，也可以变成一个交通锥，或者（把它反过来）变成一个美味可口的冰激凌蛋卷。顺便提一句，这就是我为什么说这是一本数学的情绪手册，不是数学的历史书。当然，人们在交通锥和冰激凌蛋卷出现之前很久就开始研究锥形了。

那么，我们该如何利用研究数字的方法来研究图形呢？或许让图形相加或相减，也就是把它们拼在一起，或者剪掉某一部分。我们也可以思考如何让图形相乘，但这就有点儿复杂了，因为我们不得不深入思考“乘”的含义。我们随后会谈到这件事。 8hgbIbsM8MSrOcBsIZIOb5f0Zr5seGf3DWNu4UO9PLl4wanLDWrVNZ4bIeA5ISPO