抽象化的概念

数字的发明是一项具有深远意义的伟大工作：我们创造了一个抽象概念。所谓“抽象”，是指我们为了考虑一个“理想化”的状态而忘记事物的某些细节。这种状态与现实世界中的实物有所不同，但它捕捉到了我们现在想要思考的一部分特征。它让我们远离现实世界，这样做的目的是寻找不同事物之间的相似之处，用同一种方法一次性理解更多事物，而不必做太多重复性的工作。从某种意义上说，我们简化了这个世界的基本构成要素，以便我们能够更有创意地重新构建这个世界。这有点儿像两种不同风格的拼图之间的差异：一种拼图是其碎片必须以特定的方式拼合在一起来呈现给定的图案；另一种拼图可以以任意方式拼合，其目的并不是让你拼成某种特定的图案，而是让你去探索所有可能的拼合方式。出于这个原因，我一直很喜欢一种叫“七巧板”的拼图游戏，它只有几个简单的几何图形：一个正方形、几个大小不同的三角形和一个平行四边形。据说它来自18世纪的中国，但相似的概念可以追溯到更早期的中国古代数学家。这几个几何图形可以拼合为一个正方形，如下图所示，但也可以创造出各种各样的图案，包括人、动物，以及你能想象到的所有物体，尽管有点儿风格化，比如一只兔子。

数字也是一种为我们展现这种无限可能性的手段，只不过没那么生动、形象。（我们会在第7章讨论数学中使用图形的问题。）除了不那么吸引人，如果你摆弄数字的唯一目的就是用具体的答案来回答具体的问题，然后被告知答案是对还是错，那么数字可能会显得相当封闭。

数字绝非数学的全部，但它们是我们学会如何使用抽象推理的开始。这个过程的关键步骤可以表述如下。

首先，判断我们对一件事物的哪些方面感兴趣。也许我们发现了不同事物之间的相似之处，并想搞清楚这种相似性是如何出现的。接下来我们将其抽象化：如果事物的相似之处是数量，那么我们可以获取一些数字，因为数字是我们当下关注的“精髓”。这就构成了一个崭新的抽象世界，我们可以在其中自由自在地探索，了解那里事物运行的规律，那里生活着什么神奇的生物，角落里隐藏着哪些怪异而美妙的风景。

如果这样的世界让我们感觉不自在，我们可以再创造一个值得深入探索的新世界，我们的确经常这样做。另一方面，如果想更多地了解这样的世界与我们身边的现实世界有何联系，或者如果想在身边的世界与抽象的世界之间建立一种不同的连接关系，我们也可以这样做。比如，我们可以用不同的方式衡量数量，用不同的方法计数事物，或者用许多不同的方式将数字与具体事物联系起来，比如，我们依据不同的标准对一家餐厅进行评分。如果我们想关注周围世界的另一个层面，比如研究形状而不是数量，我们也可以这样做。

这有点儿像你拿到了一个崭新的颜料盒，打算把某些颜色混合在一起看看效果如何。但数学颜料的神奇之处在于，它永远没有用完的那一天。你不会因为混合出不喜欢的颜色而“浪费”颜料，因为它们只是抽象的概念，你可以进行无穷无尽的尝试。摆弄这些数字不会把它们用完，所有抽象的概念都是如此。这就是数学最有趣也最容易让人获得满足感的一面。但它也引发了一个令人困惑的问题：这一切都是真实的吗？ Hp4tTrh4ZpYMRO6OoS7l4+H4YVN6K/jaKPP+fXR/niLcS5Bj7P2E08KEE7VjnGWc