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儿童的天性似乎就是喜欢寻找反例。所谓反例，就是证明某件事不正确的真实案例。宣称某事永远正确就像为其构筑了一道高墙，而寻找与之矛盾的例子就像为推倒这道高墙而付出的努力。这是一种重要的数学学科发展动力。
要想了解孩子们对1+1这个概念的认知，你可以尝试询问：“如果我给你一块蛋糕，再给你一块蛋糕，那么现在你有几块蛋糕？”但他们有可能会兴高采烈地说：“一块都没有，因为我把它们都吃掉了。”也有可能会说：“一块都没有，因为我不喜欢蛋糕。”父母们在互联网上贴出的无忌童言，总让我觉得兴味盎然。我最喜欢的一段对话是，当被问“乔有7个苹果，他用其中的5个苹果做了一个苹果派，他还剩下几个苹果”时，我朋友的孩子说：“他已经把苹果派吃掉了吗？”我喜欢那些在道理上正确的答案，而不是那些被公认为正确的答案。这是数学非常重要的一个层面，儿童的思维过程往往会揭露一些极为重要却经常被忽视的数学天性，也就是挑战不公正权威的天性。
孩子们挑战权威，或许是因为他们有意探索某些事物的边界，也可能是因为他们想寻找一种自我意识，毕竟这个世界没有留给他们太多的话语权。我清晰地记得在小时候，遵照大人们的指示做事是多么令人沮丧。而对某个成年人提出的具有引导性的问题，最有趣的回应方式是将问题的前提一举推翻，比如我会说我根本不喜欢蛋糕。
从某种程度上说，这样的回答有点儿恶作剧和破坏性的味道，但我觉得这也算是一种数学的动力。的确，数学或许就是某种恶作剧和破坏性的行为。换一种方式来说，数学就是在探寻事物的边界，就和孩子们的行为一样。我们想要搞清楚令某些事物为真的具体边界，这样我们就可以确定何时处于“安全”区域，然后在好奇心和勇气的驱使之下去探索更广阔的外部世界。这就像一个蹒跚学步的孩子有意跑远，想看看自己究竟跑到哪里才能让大人来追他们。思考1+1不等于2的成立条件就是一个绝佳的例子。
如果我说“我不是不累”，那就是说“我的确很累”。于是有的孩子发明了一个有趣的游戏，说“我不是不是不是不是不是不是不是不是不是不是不累”，进而变得有些歇斯底里，因为他们知道谁也记不住他们究竟说了几次“不是”。这让我想起了一道令人发狂的数学题，那是一个冗长、烦琐的计算过程，学生们很容易在负号上犯错。批改作业的痛苦之处在于，如果学生犯了2次错误，或者更糟糕犯了4次错误，他们的答案将是正确的。但是在数学的世界里，答案正确不是唯一的标准，过程也必须正确（下一章我会讨论这个问题），所以我不得不仔细查看每一个计算过程。
另一个让1+1=0的场景，就是所有的一切都已经是零。就像我小时候的那些糖果：我天生对人工色素过敏，而当时所有的糖果都含有人工色素，所以不管有多少糖果，对我来说都等于零。
有时候，四舍五入的误差也会导致1+1大于2。如果我们只讨论整数，那么1.4被视为1（最接近的整数），两个1.4就是2.8，应被视为3（最接近的整数）。所以在四舍五入的世界里，1+1有可能等于3。一个与此相似但稍有不同的情形是，如果你手里的钱只够买一杯咖啡，你的朋友也只带了够买一杯咖啡的钱，但把你们俩的钱合起来，或许可以买到第三杯咖啡，因为如果你们每个人手里的钱是一杯咖啡价格的1.5倍甚至1.9倍，你们就足够买3杯咖啡了。
有时候1+1大于2与繁殖有关。比如，你把一只公兔子与一只母兔子放在一起，之后你很有可能得到一大群兔子。还有可能是你把相对复杂的事物加在了一起，如果一对网球运动员与另一对网球运动员对垒，那么不同的排列组合会出现两对以上的网球运动员。如果第一对是A和B，第二对是C和D，我们就会有以下几种组合：AB、AC、AD、BC、BD、CD。所以一对网球运动员加另一对网球运动员就等于6对网球运动员。
有时候1+1=1：你把一堆沙子放在另一堆沙子上，结果还是一堆沙子。或者，就像我的一位艺术系学生指出的那样，如果把一种颜料与另一种颜料混合在一起，你只能得到一种颜色。或者，我曾经看到一个有趣的网络视频，如果你把一块意大利千层面放在另一块上面，它还是一块意大利千层面（只不过高一些）。
一个稍有不同的1+1=1的场景是，如果你有一张优惠券，买一杯咖啡可以免费得到一个甜甜圈，但每人仅限使用一张优惠券，那么即使有两张优惠券，你也只能得到一个甜甜圈（除非你把它送给别人）。或者你在火车上按下“开门”键，不管按多少次，效果都与按一次相同。至少它对列车开门的效果是一样的，但就你可以表达沮丧心情的程度而言可能有所不同，也许这就是为什么总有人站在那里不停地按。
现在，你或许觉得以上情形根本不是1+1不等于2的真正原因，因为它们都不是真正意义上的“相加”，或者相加的不是真正的数字，还可能是其他一些牵强附会的原因。你当然可以这样想，但这并非数学的本质。
而数学探讨的就是这些场景背后的意义。我们来看看事情按这种趋势发展的后果是什么，还有哪些与此类似的情况。让我们更清楚地了解1+1等于2以及不等于2的条件，这样我们就能比以前更深入地了解这个世界。
这就是数学的起源。为了探索1+1等于或不等于2的情形，我不希望仅仅去挖掘这个等式的起源，也想一路探究数学的起源。