1 数学从哪里来

为什么1+1=2？

对于这个问题，一个可能的回答是：“因为它就是这样！”它所隐含的意思是：“因为我就是这么说的！”这是一个让一代又一代孩子无比沮丧的回答。“因为我就是这么说的”意味着有那么一个高高在上的权威人物在制定规则，他可以随心所欲地使用他的权威而不需要解释任何理由，其他人必须臣服于这些规则。

由此产生沮丧感其实并不奇怪。实际上，数学所包含的一股强大冲动就是要打破所有的规则，找出这些规则不适用的阴暗场景，以表明所谓的权威人物其实并不像他们想象的那么有权威。

数学似乎是一个你不得不去遵守的规则世界，难怪它会给人僵化、枯燥之感。相比之下，我对数学的热爱源于我对打破规则的热爱，或者至少是对推动规则改变的热爱。这种行为经常让我产生一种羞怯感，因为我就像个永远都长不大的少年。我对数学的热爱还因为我总是对所有的事情问一个“为什么”，这更让我觉得自己就像个长不大的孩子。然而，恰恰是这两股冲动推动了人类认知的不断进步，尤其是对数学的理解，它们可以说是数学重要的起源。这一章我们就来谈谈这个问题。

我想强调一点，在日常生活中我是个奉公守法的人，因为我明白规则代表着群体的凝聚力，是社会安全的重要保障。我相信这些规则，也不介意遵守那些有明确目的性的规则。然而我不相信那些武断专横的规则，它们往往没有正当理由，或者我不相信它们所谓的正当理由。比如，“你必须每天整理好自己的床铺”（我实在不喜欢做这件事），或者“绝对不要用微波炉熔化巧克力”（这的确容易把事情搞糟，但只要你每隔15秒钟搅拌一次，我发现它是没有问题的）。

所以，我想去探究数学那些显而易见的“规则”来自哪里，以及数学这个概念来自哪里。我会尝试描述，它如何从一粒种子以自然的过程成长为参天大树。所谓种子，就是我们每个人，尤其是孩子，经常会提出的那些幼稚的问题，比如为什么“1+1=2”，而且不会在知道答案之后心满意足地离开。就像任何植物的种子一样，它们也需要以正确的方式去培养，需要肥沃的土壤、足够的空间来伸展它们庞大的根系，当然还需要营养。不幸的是，我们这些幼稚的问题往往没有以这种方式得到足够的滋养，而是被贴上“愚蠢”的标签丢在一旁。在数学研究中，深刻与幼稚问题之间的差别或许就在于不同的滋养方式，也就是说，它们本无差别，都是同样的种子。

不喜欢数学的人经常被那些明显带有专横意味的结论困扰，即宣称什么东西就是正确答案，而没有任何解释：“1+1就是等于2！”然而，探究某些结论背后的原因让我们有机会构建起数学强大的基础，使其具有清晰的脉络和缜密的论证过程。有些人觉得清晰性和可靠性令人心神愉悦，其他人则感觉到一种约束感和强迫感。但是类似于“为什么1+1=2”的问题让我们有机会发现，数学其实并没有明确的正确答案，而是在不同的背景下，不同的事情可能是真的。这将引导我们探索数字最初从何而来，算术概念的起源，以及我们如何把这些概念应用到其他数学问题，比如图形问题上。它涉及数学发展过程中很多重要的主题，从建立事物之间的联系开始，认真对待抽象的概念，然后一点一点扩展我们的思维过程，以涵盖我们周围更多的世界。

与其思考“为什么1+1=2”，我们还不如先深入一步，思考一下这个等式是否在所有条件下都成立。