前言

我上学的时候，最喜欢的一门课程就是制作毛绒玩具。我做过一只毛茸茸的鬈毛狗，和一只耷拉着天鹅绒般的耳朵、懒洋洋的小幼犬。我喜欢整个制作过程，从裁剪每一个形状，看着它们如何被神奇地拼凑成一个动物的样子，到把它们缝在一起，从内向外翻过来那神奇的一刻，以及塞进填充物后就像赋予它生命的愉悦过程。

你完全可以去买一个毛绒玩具，为什么还要自己做呢？几乎所有东西都有现成的产品，你为什么还要自己动手呢？

有时候是因为我们自己做出来的东西更好，我觉得自己做的蛋糕比从外面买来的更好吃。但有时候我们自己做的东西从客观上说算不上“更好”。我很喜欢弹钢琴，但是播放一张唱片或者去听一场音乐会，的确能让我享受到“更好”的音乐。我有时候甚至喜欢自己做衣服，尽管做出来的东西实属粗制滥造。

还有可能是因为便宜，自己剪头发要便宜得多，我就是这么做的，尽管专业理发师的作品看起来“更好”。

但是通常，自己动手会带来一种满足感。对我来说，食物、音乐、衣服都是如此，当然，不同的人会对不同的事物产生满足感。用另一种方式来阐述这个问题，或许就像徒手攀岩（我可做不来），不借助氧气瓶登上珠穆朗玛峰（不是我的专长），或者划船横渡大西洋（还是找别人吧）。抑或你要踏上露营探险之旅，你需要背上所有的东西，包括食物和帐篷，这样你就可以在野外享受一段自给自足的生活。

对我来说，数学就相当于自己动手制作一些东西：我自己来创造真理。仿佛是在思想的荒原中过着自给自足的生活。在我看来，这是一个充满兴奋、挫折、敬畏又极其愉悦的过程，这也是我接下来要讲述的事情。

我想要说说数学的“感觉”，而且不打算借助通常人们对它的理解方式。我会描述数学广阔的一面，它的创造性、想象力、探索性，以及能让我们去追求梦想、遵从内心的直觉、感受到理解的乐趣的那一部分数学，这就像驱散迷雾，重见阳光。

这不是一本数学教科书，也不是一本数学历史书，而是一部数学情绪手册。

数学在不同的人群中会引发不同的情绪反应。对有些人来说，它基本上代表了恐惧和愚笨的回忆。我想用一种不同的情感来展示数学。

有些人喜欢数学，有些人讨厌数学，可惜的是，有些数学热爱者谈论它的方式让那些不喜欢数学的人更讨厌它了。可以说，人们喜欢数学有两个截然不同的原因。有些人喜欢它是因为他们觉得数学有极为清晰的正误之别，他们很容易就能找到正确的答案，这让他们觉得自己很聪明。有些人讨厌数学也基于同样的原因，只不过出于一个相反的逻辑：数学有明确的正误之别，但是他们很难找到正确的答案，这让他们觉得自己很愚蠢。或者，更准确地说，那些轻松找到正确答案的人让很难找到正确答案的人觉得自己很愚蠢。而且，这些人甚至不喜欢正误之别这个概念。生活中充满了各种微妙的差异，他们不认为那些非黑即白的东西能捕捉到他们生活中最有趣的东西。

然而，这种非黑即白的僵化世界观仅仅是对数学的一种极为狭隘的理解。抽象的数学其实并没有明确的正误之别，尤其是在研究层面上，但毕竟只有极少数人能达到这个层面并见证它的真面目。一个非常有趣的现象是，数学家热爱数学的原因其实与数学厌恶者讨厌它的原因一样：他们喜爱数学的精妙之处和细微差别，并用它们来表述、探索生活中最有趣的东西。从根本上说，数学逻辑体现的不是一个不明确的答案，而是一个可以不断让我们在其中探索各类真相的世界。

所以有一个奇怪的结果：专业数学家和数学厌恶者对数学所秉持的态度极为相似。只不过前者的态度往往会得到鼓励和赞扬，而后者经常遭到鄙视甚至嘲笑，他们可能永远不会发现他们的思想和感觉与专业数学家是多么接近。

数学的客观现实与人们对数学的认知之间存在一定的差距，我希望能缩小这个差距。有太多的人出于一些不必要的原因对数学产生了反感情绪，也有太多的人觉得自己很愚蠢，就因为他们提出了一些听起来非常基础但实际上非常重要且深奥的数学问题，或者他们被告知不该提出这些实际上非常有趣的数学专业问题。我想要尝试回答这些问题，但更重要的是，我想要验证并赞扬这种渴望深入探究而不是盲目接受数学事实的精神。这非常重要，因为数学的全部意义就在于不要把任何事情视为理所当然。

我的目的不是要传播数学的福音，也不打算劝说所有的人都爱上数学。不同的事物对不同的人有不同的吸引力和阻力，因此没有一个解决方案能让所有人都爱上这门学科。我的目的仅仅是阐明数学究竟是什么样子的，破除围绕数学的那些迷思，消除人们的误解，避免由于错误的认知而产生的对数学的反感。如果你看到数学的本质但仍然兴味索然，那也凭你裁夺——我们不需要让所有人都喜欢上同一样东西。我只是觉得很遗憾，有那么多人仅仅看到了数学极为狭窄、缺乏想象力、独断专行的一面，容不下任何个人见解和好奇心的一面，就转身离去了。

个人投入感对我来说非常重要。有时候，尤其是当一天漫长的授课结束之后，疲劳感让我实在不愿动手做晚餐，尽管大多数情况下晚餐都是现成的，只需要打开一包意大利面煮熟就可以了。但是，我永远不会因为劳累而不愿意自己做蛋糕。我意识到这都是个人投入所致。我或许没有力气去做那些让我感觉既没有个人投入也没有创造力的事情，但我依然有力气去做一些虽然烦琐，却包含了更多个人投入和创造力，从而让我感到值得去做的事情。

这也是人们对数学望而却步的原因之一。如果你喜欢在一件事情上投入更多的精力和创造力，那么遵循既定公式的常规数学问题肯定不是那么有趣，因为你无须投入太多的精力。你可能更愿意花时间用培乐多彩泥做一套微缩茶具，就像我的班上一位艺术系学生在我们使用培乐多彩泥做数学练习时所做的那样，我告诉他们，在讨论时还可以继续使用这些彩泥。

在数学课上，我们经常会对部分学生的表现感到担忧。因为我们总想让这些学生把所有事情都“做对”、做准确，以确保他们能胜任将要从事的数学研究和相关专业工作，但事实上，基础数学课堂中的大部分学生将来并不会从事这类工作。试图让每个人都达到数学专业工作的标准水平，就像以专业厨师的水准教孩子们做饭。所以我们最好还是（我觉得无论是教数学还是教做饭）给他们展示尽可能多的可能性，培养他们的兴趣和好奇心，并充分相信他们在需要的情况下有能力学习更高深的技能。

每当我提起这件事时，总会有人举起手来说：“但是有一些基本的数学技巧在日常生活中是至关重要的呀！”我想的确如此，但或许没那么多，也没那么重要。很多令数学变得“至关重要”的生活场景其实大都是臆想中的产物。不管怎样，我们都会教给学生很多根本不重要的知识，我们需要权衡一下，我们用枯燥无味、画地为牢的方式让很多人对数学望而却步，为此付出的代价是否真的值得。

数学看似源自一套僵硬的规则，难怪它总会让人退避三舍。但实际上，数学源于好奇心，它来自人类本能的好奇心理，以及人们不满足于既有答案，试图进行更深入探索的欲望。也就是说，它来自问题。

你是否曾经提出过一些数学问题，之后被人嘲笑那是愚蠢的问题？孩子们也会提出很多天真的问题：数学是真实的吗？它来自哪里？我们怎么知道它是正确的？遗憾的是，人们大都不被鼓励提出这些问题，还被告知这些问题很“愚蠢”。但是数学的世界里没有愚蠢的问题。实际上，这些“愚蠢”的问题恰恰是数学家皓首穷经想要搞清楚的事情，也是推动数学研究、突破人类数学认知极限的动力。

似乎数学存在的意义就是要回答一些问题，但是数学研究最重要的一个方面其实是如何提出问题。在本书中，我会讲述这些貌似天真、模糊、幼稚、简单或混乱的问题是如何把我们引向最深奥的数学研究课题的。这些问题所代表的一些品质往往让我们无法与数学联系到一起：创造力、想象力、打破规则、娱乐性。

我们应当鼓励人们提出这类问题，而不是压制他们。

如果我们让学生感到他们不应该提出这些问题，那就等于告诉他们数学是一门僵化、专横的学科，容不得任何质疑，然而，这与数学的本质截然相反。数学的全部意义在于，它建立在极为缜密的基础之上，正是为了经受住深层次的质疑，所有的质疑。如果我们无法回答某些问题，作为数学家的本能反应不是压制这些问题，而是做更多的数学运算来找到这些问题的答案。

这就是为什么问题能把我们引向深奥的数学研究。

当你作为一名博士生开始从事专业领域的研究时，最困难的一件事就是该从哪个问题着手，这也往往是导师要扮演的最重要的角色之一。根据我在抽象范畴论领域所从事的研究，大部分工作都是首先弄清楚我们到底在问什么问题。在学校的数学课上，我们过分强调如何回答问题，忽视了如何提出问题。我曾经在网络上搜索“孩子们提出的最好的数学问题”，得到的结果都是如何给孩子们提出最好的数学问题。仿佛所有人都觉得我们只需要提出问题让孩子们来回答，这可真是大错特错。

我想鼓励并认可提出问题的行为，尤其是那些你一直想问但从未得到解答的问题，那些在人们口中不重要的问题，那些让人们说你只要认真做好作业就能知道答案的问题，那些让你感觉自己没有“数学脑筋”因为考试成绩优秀的人从来不会提出的问题，那些拖慢你前进的脚步因为你不想照猫画虎写下正确答案的问题。这本书就是关于这些问题的，因为它们是数学最深层形式的基础。我并不打算讨论一种通过加加减减就能得到答案的数学，或者找出三角形的一个角是多少度，计算某个随机图形的面积，或者只是为了取得一个好分数而解开某个毫无意义的方程。我所关注的，是那种推动研究人员投身抽象数学前沿的数学，是那种值得投入半生精力去理解的数学，是历经成百上千年人们依然一知半解的数学，是似乎对我们日常生活没有直接影响的数学，是无法立即解决某些具体问题、造出某种新机器的数学，是主要存在于我们大脑中的数学。

这样的数学是真实的吗？

我在学校中制作的毛茸茸的小狗是真实的吗？当然，它们不是真的小狗，它们都是不折不扣的毛绒玩具。

数学并不完全是“真实的生活”，但它依然是真实的。它是真实的思想、真实的见解，并能引发真实的理解力。我喜欢它给我的清晰与明确，也很遗憾地看到这样的特征有时会把它变成一个非黑即白的概念，而不是一门兼顾模糊性的学科。对于产生这种印象的人我怀有深深的同情，因为数学经常给人留下这样的印象，我在学校的数学课上也有这种体会。

下图表示随着时间的推移我对数学的喜爱程度，或者我对数学课的喜爱程度。

在我5岁刚知道数学是怎么回事时，我就爱上了它。但我和它的感情在小学阶段不断恶化，到了初中我开始彻底厌恶这门学科，因为我觉得它既乏味又迂腐。我一点儿也不责怪我的老师，这都是课程设置和考试制度的问题。在我开始接触少许高等数学之后，情况有了一些改观，尤其是普通中等教育证书（GCSE）的研究项目令我对数学钟爱有加。那都是一些开放性的课题，每个学期需要花费几周的时间来完成。我们从一个结构严谨的问题出发，独立探索由它引发的无限可能性。之后我开始学习A-Level进阶数学，我非常喜欢纯粹数学的一些内容，特别是抽象代数、归纳证明、极坐标（我在本书后面会提到这些内容）。直到我上了大学，事情才真正开始好转。等到我开始攻读博士学位时，我对数学的喜爱程度已经超过了图表所能表示的范围。当然，那个时候我们已经不再上课，而是通过阅读、集体讨论、参加研讨会来学习。

但实际上，我对数学的喜爱随着时间的推移并没有发生改变，或许我应该在上图中画一条恒定的水平线，远远高于我喜爱数学课的曲线。我很幸运，小时候母亲就让我看到了数学极为有趣、神秘、令人兴奋又令人难以置信的一面，与课本里的内容完全不同。这让我有了一个坚定的信念：数学不仅仅是课本里的东西，而且是一门有趣、神秘、令人兴奋又令人难以置信的学问。我对它的喜爱从未动摇过。我知道，很多人都没有一个能把他们领进数学这扇大门并耐心解答他们天真问题的母亲，所以他们对数学的喜爱或许就像我一样跌到了谷底，再也没有攀上高峰。这也是我希望我们能改变的一点。

我想帮助那些数学厌恶者克服他们的恐惧（也许还有创伤），了解一下数学家为什么如此喜爱数学，这与仅仅“喜欢数字”或乐于找到正确的答案大不相同。我想要解释清楚，人们厌恶数学的原因是非常不幸的，并不是基于数学真正的本质。我想要说明，那些天真、开放、“愚蠢”的数学问题绝对是有意义的，它们都是好问题，这样的问题在数学研究过程中是不可或缺的。我想要告诉你，如果你觉得自己不擅长数学，或者在学校里被认为数学成绩很糟糕，那么完全有可能你只是在探寻对数学更深层次的理解，而身边没有人能帮助你达到那个水平。我还要讲一讲真正的数学研究是什么样的：在数学的世界里探索，在神秘的底层丛林里渐渐深入，不断发掘更深奥的真理。

在每一个章节的开始，我都会提出一个貌似天真、有时也被视为“愚蠢”的问题，之后我会讲述对这个问题的深入探究将如何把我们引向一项重要的数学研究，通常是整个研究领域。这是一个缓慢探索的过程，需要拨开底层树丛看看下面还有些什么。有时候我们似乎不得不后退几步才能更清楚地了解我们究竟在做什么。有时我们也可能看起来只是迈出了很小的一步，却在某个瞬间发现我们其实已经越过了一座高山。所有这一切都会令人不安，但是接受少许智力上的不适感（有时候是很多）是在数学研究中取得进展的重要一步，这种不适感往往是发展和成长的起点。有时候我们还会有眩晕感，尤其是当我们发现自己的直觉与严密的逻辑推理结论出现巨大的差异，或者两种不同的直觉之间也存在差异时，就像我在新冠病毒感染疫情隔离两年后第一次看到一个朋友一样，感觉才分别一日，又恍若隔世。

我会从广义的数学概念讲起，然后逐步聚焦，首先讨论数学中一些具体的问题，然后讲述一些故事。所以前4章都是有关数学的常规概念：数学从哪里来（第1章），数学的逻辑（第2章），为什么要学习数学（第3章），什么是好的数学（第4章）。之后我会讨论数学的某些具体层面：字母（第5章）、公式（第6章）和图形（第7章）。

在第8章，我会讲一些小故事。先从幼稚的问题谈起，然后讲述数学家如何将这些问题与现有的知识结构联系起来，从深层次的数学研究中寻找问题的答案。

我将试着描述跟随直觉探索曲折复杂的数学思想，而不是奉命在有限时间内抵达目的地是什么样的感觉。抱着尽快抵达另一边的心理穿越一片森林，与学习如何穿越森林、欣赏沿途的生物并观察林下的灌木丛是完全不同的两件事。前者有其必要性，但后者具有更广泛的目的性，后者的过程更漫长、更艰苦，但有可能更容易获得满足感。我当然觉得自由探索一片广袤的土地更有满足感、更有乐趣，也更有启发性。正如我将要解释的那样，这样的方式甚至能在日常生活中让我受益，它比从事具体的工作，比如分摊账单或报税，具有更广泛的意义，因为它能让我用更清晰的头脑思考周围的一切。

或许，在能被简单描述、清晰定义的具体用途和难以界定、领域宽泛、相对普遍的适用性之间存在一些矛盾。但是难以界定并不意味着我们可以置之不理，恰恰相反，难以界定的事物往往是最值得我们关注的事物。这些都不是可以简单记忆、轻松背诵的数学事实，而是深奥的真理。

所以，本书探索的就是有关数学逻辑的真理，或者更准确地说，它是有关我们如何抵达数学逻辑的真理。真理本身固然重要，但是我想说的是，我们如何获得这些真理更重要，正如一句古话所说，“授人以鱼不如授人以渔”。如果我告诉你一些深奥的数学真理，那么我给予你的只是这些真理。但是如果我告诉你如何获得数学真理，那么所有的数学真理都会为你所用。从表面上看，本书呈现了一些具体的问题和答案，但是在更深的层次、更重要的层面上，本书讲述的是问题如何带领我们踏上一段征途，这条路把我们引向哪里，我们为什么要走上这条路，以及我们在沿途都看到了什么。

乍一看，数学似乎就是为了获得正确的答案，但实际上它是一个关于探索和发现的过程，是通往数学真理的过程，也是让我们知道是否已经掌握真理的过程。这段漫长的旅程始于好奇心，而好奇心以问题的形式表现出来。