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为什么不能除以零的问题困扰了几代数学家。有人认为原因显而易见：我们如果把一包饼干分给每个人，每人零块，那就永远都不能把饼干分完。但是这取决于如何解释“除”的概念，因此还有另一种解释：如果我们把一包饼干分给零个人，每个人得到几块饼干？这就有点儿棘手了，看起来每个人得到了零块饼干，但也可能每个人得到一块饼干，反正只有零个人，我甚至可以说每个人得到了两块饼干。我们说“每个人”，但一共也只有零个人，这种现象叫作“空集”：这些条件都能得到空洞的满足，因为我们把它应用在一个空集上。这就像我说我家里所有的大象都是紫色的，我家有零头大象，每一头都是紫色的。
为了搞清楚为什么不能除以零，我们需要更好地理解什么是“除法”。除法是个相当复杂的概念，比乘法更难理解，而乘法已经比加法复杂很多了。部分原因在于，我们在日常生活中对除法有两种不同的理解方式。
例如，要计算12除以6，你需要拿出12张纸牌，分给6个人。你可以像平常玩纸牌一样分给每人一张纸牌，然后从头开始再分给每人一张纸牌。最后看每人拿到了几张纸牌，因此结果是2。
但还有另外一种方法，这一次你还是拿出12张纸牌，把每6张牌放在一摞，最后看看一共分成了几摞，因此结果是2。
两种方法的差异可能令人很困惑。有一次，我帮助一名小学生解决除法的问题，她找到一本参考书，可是书里只解释了上述第一种方法，而她执着地想要使用第二种方法。
无论你用哪种方法，答案都是一样的，但过程截然不同。正如第一个例子的答案是“2张纸牌”，第二个例子的答案是“2摞”。在第一个例子中，你固定了摞数，计算每摞有几张纸牌；在第二个例子中，你固定了每摞的纸牌数，计算有几摞。而二者的答案竟然相同，这明显不是一个一目了然的结果，至少对我来说不那么一目了然，从数学逻辑上看也不是那么明显。因此我觉得，认为答案相同并非理所当然的人，要比认为它的确理所当然的人更像数学家。但是后者更有可能以最快的速度完成作业，并受到表扬，而前者坐在那里苦苦思索，对数学似乎有那么一点儿迟钝。
数学家不会使用上述任何一种方法给除法下定义，因为其中涉及太多的模糊地带。另一个原因是，我们已经有了一个相对成熟的方法，不需要另辟蹊径：就像我们应对负数一样，让它与某些运算过程相“抵消”，也就是进行逆运算。负数被我们当成加法的逆运算，它能抵消加法的运算过程。那么对于除法，我们也可以把它想象成乘法的逆运算。由此我们不仅可以重复利用既有的逻辑，还能用更严谨的方式讨论除以零的问题。